第2章-靜力學

1、流體力學湖南城市學院土木院19:23:18EXITv 流體流體靜力學研究流體的平衡規(guī)律，由平衡條靜力學研究流體的平衡規(guī)律，由平衡條件求靜壓強分布，并求靜水總壓力件求靜壓強分布，并求靜水總壓力。EXITu2-1.靜止流體中壓強的特性u2-2.流體平衡微分方程u2-3.重力作用下流體靜壓強的分布規(guī)律u2-4.壓強的測量u2-5.流體的相對平衡u2-6.液體作用在平面上的總壓力u2-7.作用在曲面上的液體壓力19:23:18EXIT 法向應力稱為靜壓強法向應力稱為靜壓強方向：內法線方向：內法線方向，即受方向，即受壓（壓（流體不能受拉流體不能受拉）靜壓靜壓強是否與作用面方位強是否與作用面方位有關？有關

2、？一、一、靜止流體的應力只有內法向分量靜止流體的應力只有內法向分量 靜壓強靜壓強 靜止流體的應力只有法向分量（流體質靜止流體的應力只有法向分量（流體質點之間沒有相對運動，不存在切應力）。點之間沒有相對運動，不存在切應力）。Pnn21 流體靜壓強及其特性EXITPnn靜止流體中一點的應力靜止流體中一點的應力在這個表達式中，已在這個表達式中，已包含了應力四要素：包含了應力四要素：作用點、作用面、受作用點、作用面、受力側和作用方向。力側和作用方向。21 流體靜壓強及其特性nzyxpzyxpnn),(),(EXIT二、靜壓強的大小與作用面的方位無關二、靜壓強的大小與作用面的方位無關 Y 是質量力在是質

3、量力在 y 方向的分量方向的分量zxAAnydd21),cos(ddynzyxVddd61d0d),cos(ddVYApApnnyyyndxdydzpxpnpzpyxyznoM 在靜止流體中取出以在靜止流體中取出以 M 為頂點的四面體流體微元，它受到的質量力和表面為頂點的四面體流體微元，它受到的質量力和表面力必是平衡的，以力必是平衡的，以 y 方向方向為例，寫出平衡方程為例，寫出平衡方程21 流體靜壓強及其特性nyppEXIT其中其中斜面的方位斜面的方位 n 是是任取的，這就證明了任取的，這就證明了靜壓靜壓強的大小與作用面的方位無關強的大小與作用面的方位無關。 當四面體微元趨于當四面體微元趨于

4、M點點時，注意到質量力比起面力時，注意到質量力比起面力為 高 階 無 窮 小 ， 即 得為 高 階 無 窮 小 ， 即 得 pn=py，同理有，同理有 pn=px，pn=pzzyxnpppp21 流體靜壓強及其特性EXIT一、一、平衡微分方程的推導平衡微分方程的推導 表面力在表面力在 y 方向上的分量只有方向上的分量只有左右左右面元面元上的壓力上的壓力，面力合力，面力合力為為zyxypzxyyppzxpddddd)d(ddoyyppddxdzpxyzdy 在靜止流體中取出六面體流體在靜止流體中取出六面體流體微元，分析其在微元，分析其在 y 方向的受力。方向的受力。微元所受微元所受 y 方向上的

5、質量力為方向上的質量力為zyxYddd22 流體的平衡微分方程dyypppEXIToyyppddxdzpxyzdy平衡方程為平衡方程為或或同理有同理有和和其中其中 X, Y, Z 是質量力是質量力 f 的三個分量。的三個分量。01ypY01zpZ00ypYFy01xpX22 流體的平衡微分方程EXIT 稱 為 靜 壓稱 為 靜 壓 強 的強 的 梯 度 。 它梯 度 。 它 是 數(shù) 量 場是 數(shù) 量 場 p ( x , y , z ) 對 應 的 一對 應 的 一 個矢量場。個矢量場。01pf01xpX01ypY01zpZ kjizpypxpp 稱為哈米爾頓稱為哈米爾頓算子算子kjizyx平衡

6、平衡微分方程的微分方程的矢量形式矢量形式其中其中22 流體的平衡微分方程EXIT 的的三個分量是壓強在三個坐標軸方向的方向導數(shù)，它三個分量是壓強在三個坐標軸方向的方向導數(shù)，它反映了數(shù)量場在空間上的不均勻性。反映了數(shù)量場在空間上的不均勻性。 流體的平衡微分方程實質上表明了質量力和壓差力之間的平流體的平衡微分方程實質上表明了質量力和壓差力之間的平衡。衡。 壓強對流體受力的影響是通過壓差來體現(xiàn)的。壓強對流體受力的影響是通過壓差來體現(xiàn)的。 p 平衡平衡微分方程的物理意義微分方程的物理意義22 流體的平衡微分方程EXIT2022-2-2212二、流體平衡微分方程式(全微分)01xpX01zpZ01ypY

7、乘以乘以dx乘以乘以dy乘以乘以dzv三式相加，整理三式相加，整理0d1dxxpxX0d1dyypyY0d1dzzpzZzzpyypxxpzZyYxXddd)ddd(22 流體的平衡微分方程EXIT2022-2-2213二、流體平衡微分方程式(全微分)v 所以zzpyypxxpzZyYxXddd)ddd(v 流體靜壓強是空間坐標的連續(xù)函數(shù)，它的全微分為zzpyypxxppdddd )ddd(dzZyYxXp歐拉平衡方程的綜合形式（壓強微分公式）在靜止流體中在靜止流體中，壓強，壓強的增量取決的增量取決于質量力。于質量力。22 流體的平衡微分方程EXIT19:23:2022 流體的平衡微分方程三、

8、等壓面流體中壓強相等的點組成的平面或曲面由)ddd(dzZyYxXp可知等壓面方程0dddzZyYxX等壓面矢量表達形式0 l dfdl在x，y，z方向的投影為dx,dy,dz上式表明：等壓面與質量力正交從物理意義上說：單位質量力沿等壓面任意方向做功為零EXIT2022-2-2215四、質量力勢函數(shù)v如果存在一個函數(shù)F（x,y，z），使得質量力的投影等于這個函數(shù)的偏導數(shù)，即zFZyFYxFX則稱F(x,y,z)為質量力勢函數(shù)，對應的質量力稱為有勢質量力，簡稱有勢力此時等壓面也有0dddzZyYxXdzzFdyyFdxxFdF等壓面也是等勢面22 流體的平衡微分方程EXIT23 重力作用下的液體

9、平衡 重力作用下的平衡方程重力作用下的平衡方程 靜壓強分布規(guī)律靜壓強分布規(guī)律 絕對壓強、相對壓強、真空絕對壓強、相對壓強、真空 位置水頭、壓強水頭、測壓管位置水頭、壓強水頭、測壓管水頭水頭EXIT一一. . 重力作用下的平衡方程重力作用下的平衡方程 01pf0 xp0yp01zpggzpddkfgz 軸鉛垂向上，流體不可壓縮。軸鉛垂向上，流體不可壓縮。01xpX01zpZ01ypYEXIT二二. . 靜壓強分布規(guī)律靜壓強分布規(guī)律 積分積分gzpdd 重力場重力場中靜止中靜止液體液體中：中： 壓強隨位置壓強隨位置高程而線高程而線性性變化；變化； 等壓面與等壓面與質量力（重質量力（重力）垂直；力）

10、垂直； 是常數(shù)。是常數(shù)。 gpzCzgpCgpz或或EXIT 要知道靜止流體中具體的壓強分布，關鍵是知道其中某一點的壓強，從而確定積要知道靜止流體中具體的壓強分布，關鍵是知道其中某一點的壓強，從而確定積分常數(shù)分常數(shù) C)(00zzgppgpzgpz00若若 z=z0時時, p=p0, 則則或或Cgpzhgpp0EXITB三三. . 絕對壓強、相對壓強、絕對壓強、相對壓強、真空壓強真空壓強 A絕對壓強基準絕對壓強基準A點絕點絕對壓強對壓強B點真空壓強點真空壓強A點相點相對壓強對壓強B點絕對壓強點絕對壓強相對壓強基準相對壓強基準O大氣壓強大氣壓強 paO壓強壓強 壓強壓強 p記值的零點不同，有不同

11、的名稱：記值的零點不同，有不同的名稱： 以以完全真空為零完全真空為零點，記為點，記為 pabs絕對壓強兩者的關系為兩者的關系為: pr= pabs- - pa 以以當?shù)卮髿鈮寒數(shù)卮髿鈮?pa 為零為零點，記為點，記為 pr 相 對相 對 壓 強壓 強為負值時，其絕對為負值時，其絕對值稱為真空壓強。值稱為真空壓強。 相對壓強真空壓強EXITBA絕對壓強基準絕對壓強基準A點絕點絕對壓強對壓強B點真空壓強點真空壓強A點相點相對壓強對壓強B點絕對壓強點絕對壓強相對壓強基準相對壓強基準O大氣壓強大氣壓強 paO壓強壓強 今后討論壓強一般指相今后討論壓強一般指相對壓強，省略下標，記為對壓強，省略下標，記為

12、 p p ，若指絕對壓強則特別注明。若指絕對壓強則特別注明。EXIT 下圖：液面液面以下以下 h 處的相對壓強為處的相對壓強為 gh ，液體（，液體（g）確定后，高度）確定后，高度也可度量壓也可度量壓強，稱為強，稱為液柱高液柱高，例如：，例如：m(H2O)，mm(Hg) 等。特別地，將水柱高稱為等。特別地，將水柱高稱為水水頭頭。把真空壓強轉換成水柱高表示，稱為。把真空壓強轉換成水柱高表示，稱為真空度真空度。 hp=0hgp 一 個 工 程 大 氣 壓 為一 個 工 程 大 氣 壓 為 98.10 kN/m2，相當于，相當于 1 0 m ( H2O ) 或或 7 3 6 mm(Hg)EXIT四四

13、. . 位置水頭、壓強水頭、測壓管水頭位置水頭、壓強水頭、測壓管水頭 在靜水壓強分布公式在靜水壓強分布公式 中，各項都為長度量綱，稱中，各項都為長度量綱，稱為水頭（液柱高）。為水頭（液柱高）。 Cgpz 位置水頭位置水頭，以任取水平面為基準面，以任取水平面為基準面 z=0 ，鉛垂向，鉛垂向 上為正。上為正。 z 壓強水頭壓強水頭，以大氣壓為基準，用相對壓強代入計，以大氣壓為基準，用相對壓強代入計 算。算。 gp 測壓管水頭測壓管水頭。 gpzEXIT 根據(jù)下圖來說明側壓管水頭的含義根據(jù)下圖來說明側壓管水頭的含義要測定測點的壓強，可在垂直要測定測點的壓強，可在垂直于壁面打孔，接出于壁面打孔，接出

14、一端開口與大氣相通的玻璃一端開口與大氣相通的玻璃管，即為測壓管。管，即為測壓管。gpA/AzgpB/BzOO 測壓管內的靜止液面上測壓管內的靜止液面上 p = 0 ，其液面高程即為，其液面高程即為測點處的測點處的 ，所以，所以叫測壓管水頭。叫測壓管水頭。 gpz 測壓管水頭的含義EXITAzBzOO 測靜壓只須一根測壓管 gpA/gpB/ 如果容器內的液體是如果容器內的液體是靜止的，一根測壓管測靜止的，一根測壓管測得的測壓管水頭也就是得的測壓管水頭也就是容器內液體中任何一點容器內液體中任何一點的測壓管水頭。如接上的測壓管水頭。如接上多根測壓管，則各測壓多根測壓管，則各測壓管中的液面都將位于同管

15、中的液面都將位于同一水平面上。一水平面上。EXIT 敞口容器和封口容器接上測壓管后的情況EXIT 總勢能總勢能 位置位置水頭（勢能）與壓強水頭（勢能）可以互水頭（勢能）與壓強水頭（勢能）可以互相轉換，但它們之和相轉換，但它們之和 測壓管水頭（總勢能）是保持不變的。測壓管水頭（總勢能）是保持不變的。gpz 各項水頭也可理解成單位重量液體的能量 位置勢能位置勢能（從基準面（從基準面 z = 0 算起鉛垂向上為正算起鉛垂向上為正 ） z 壓強勢能壓強勢能（從大氣（從大氣壓強算起）壓強算起）gp 液體的平衡規(guī)律表明EXIT2-5 液體的相對平衡油罐車以加速度a運動，液面上的壓強為p0，與水平面呈a角。

16、在流體中任取一點M，受到的質量力包括重力和虛加慣性力。 1.等壓面方程：等壓面方程：積分得等壓面方程 Cgzaxgaarctga傾斜角為 等壓面為一簇傾斜平面。 gZYaX00ZdzYdyXdxEXIT自由液面 0C0sgzax得 2-5 液體的相對平衡szagxZdzYdyXdxdpgdzadxdpCgzaxp)(2. 壓強壓強的分布：的分布：積分后，有00, 0ppzx時，當gzaxpp0將x代入：ghpzzgpps00EXIT圓形容器繞軸線以等角速度旋轉，自由液面形成拋物面，壓強為p0。取拋物面的頂點為坐標原點，作用在流體上的質量力包括重力和虛加的離心慣性力。任取流體中某一點M，其到旋轉

17、軸的距離為r，垂直坐標為z。 zzryrx,sin,cosaa2-5 液體的相對平衡gZyYxX22單位質量力EXIT積分后，有2-5 液體的相對平衡1. 等壓面方程：等壓面方程：1222Cgzr022gdzydyxdxZdzYdyXdx01C的等壓面為自由液面。 自由液面方程 0222sgzrgrzs222不同常數(shù)C1代表不同的等壓面，等壓面為一族旋轉拋物面。 EXIT2. 壓強壓強的分布：的分布：gdzydyxdxZdzYdyXdxdp2200),0(0ppzryx時，當Czgrgp)2(22積分后，有zgrgpp2220由 ghpzzgpps00grzs222得 2-5 液體的相對平衡E

18、XIT一、測量儀表彈性式測壓計：大量程直接觀測。電測式測壓計：壓力傳感器。遠程動態(tài)測量。液柱式測壓計：用于低壓實驗場所。簡單，直觀，精度高 。圖2.4.1所示.2-4 壓強的測量EXIT2、測壓管 測量方法： A點的絕對壓強 pAabs =pa+ghA點的表壓強 pA= pAabs -pa=gh2-4 壓強的測量圖2.4.1圖2.4.2EXIT1、U型型測壓計測壓計測壓原理：等壓面性質測壓原理：等壓面性質測壓公式：如測壓公式：如圖2.4.3中，兩種液體的交界面上的點中，兩種液體的交界面上的點1和點和點2是是等壓面，所以點等壓面，所以點1和點和點2的靜壓強相等，即的靜壓強相等，即p1=p2。設。

19、設A點的絕點的絕對壓強為對壓強為pAabs，則有則有p1=pAabs+ 1gh1p2=pa+ 2gh2p1=p2，所以，所以pAabs+ 1gh1=pa+ 2gh2A點的絕對壓強：點的絕對壓強：pAabs=pa+ 2gh2- 1gh1A點的表壓強：點的表壓強：pA=pAabs-pa= 2gh2- 1gh1 （壓力表所讀得的數(shù)值）注意：工作液體的密度要大于被測液體的密度，并且這兩種注意：工作液體的密度要大于被測液體的密度，并且這兩種液體不能摻混。液體不能摻混。2-4 壓強的測量EXIT2-4 壓強的測量圖2.4.3EXIT2、U型型差壓計差壓計測量兩點間的壓強差測量兩點間的壓強差測試原理：如測試

20、原理：如圖2.4.4所示存在兩個所示存在兩個等壓面等壓面1-2和和3-3在在1-2等壓面上有：等壓面上有：p1=p2=p3+ 1gh1在在3-3等壓面上有：等壓面上有：pB=p3+ ghB而：而：pA=p1+ ghA即：即：pA=p3+ 1gh1+ ghA=pB+ 1gh1+ ghA- ghB于是于是pA-pB= 1gh1+ ghA- ghB= 1gh1- g(hB-hA)= 1gh1- gh1=( 1- )gh12-4 壓強的測量EXIT2-4 壓強的測量圖2.4.4EXIT例例2-1 已知: pa = 1.01325105 Pa, h = 3.5 m, =1000 kg/m3 求: 絕對壓

21、強pB = ?, 相對壓強pB=?解：由圖可知： pB = pa + gh = 1.01325105 + 10009.8073.5 =1.356105 Pa pB = pB - pa = gh = 10009.8073.5 = 3.34104 PaEXIT例例2-2 已知: pa = 1.013105 Pa, hv = 1.5 m, =1000 kg/m3求: p0 = ?, pv=?解：由圖中的等壓面可知： p0 = pa - ghv = 1.01325105 - 1000 9.8071.5 =8.66104 Pa pv= pa p0 = ghv = 1000 9.8071.5 = 1.47

22、104 PaEXIT 2.6 靜止液體作用在平面上的靜止液體作用在平面上的總壓力總壓力dA、h、 h = y sin F =A dF= A gy sindA = g sin A ydA = g sin yc A = g hcA一. 總壓力的大小dF=(p-pa)dA= ghdA = g sin ydA EXIT（大小、方向和作用位置）（大小、方向和作用位置） 平面受到的總壓力方向垂直于平面.合力矩定理:合力對某軸的矩等于各分力對該軸的矩之和.二二.總壓力總壓力的作用點的作用點(壓力中心壓力中心)EXIT二二.總壓力總壓力的作用點的作用點(壓力中心壓力中心)FyD=A A ydF=A A yg

23、hdA=A A yg y sindA = A A g y2 sindA =g sin Ix x Ix 受力面對受力面對x軸的面積慣性矩軸的面積慣性矩Ix = Ic + yc2A（ Ic受力面對過形心軸的慣性矩）受力面對過形心軸的慣性矩）由于由于 F = g sin yc A 所以有：所以有： g sin yc A yD = g sin( Ic + yc2A) 故：故：yD =yc+ Ic / (ycA)EXIT 一些常見形狀的一些常見形狀的 Ic 計算式：計算式：矩形：設水平軸長為矩形：設水平軸長為b，與水平軸垂直的軸長為，與水平軸垂直的軸長為h，則：，則： Ic = bh3/12 /12 y

24、c = h/2 /2 三角形：設水平底邊長為三角形：設水平底邊長為b，與水平底邊垂直的高為，與水平底邊垂直的高為h，則：，則： Ic = bh3/36 /36 yc = 2h/3 /3 圓形：設圓的半徑圓形：設圓的半徑r，則：，則： Ic = r4/4 /4 yc = r EXIT例2-3已知: h= 1.5 m, B=2.0m, = 1000 kg/m3 , 求: F = ?， yD=？ 解：從圖中可知： F = g hcA = g hBh/2 = g Bh2/2 = 10009.807103 1.52 = 2.205 104 N yD= yc + Ic/(ycA) =h/2 + (Bh3/

25、12) /(h2B/2) =h/2 + h/6 = 1 m EXIT例例2-4已知: h= 1 m,閘門寬B=1.0m, H=3m,=1000 kg/m3 , = 60 求: 提升閘門所需拉力T = ？ 解：從圖中?？芍?F = g hcA = g HBH/(2sin) = g BH2/(2sin) = 10009.807132 /(2sin60) = 5.092104 N yD= yc + Ic/（yc A） =H/(2sin)+BH 3/(6H2B sin) = H/(2sin)+ H/(6sin) =4H/(6sin)T=l F/x=(yD +h/sin)F /(H+h)/tan)=

26、7.6383104 N EXIT1. 平面上靜水壓強的平均值為作用面（平面圖形）平面上靜水壓強的平均值為作用面（平面圖形）形心處的壓強?？倝毫Υ笮〉扔谧饔妹嫘涡男涡奶幍膲簭??？倝毫Υ笮〉扔谧饔妹嫘涡?C 處處的壓強的壓強 pC =g g hc乘乘上作用面的面積上作用面的面積 A . F= pC A2. 平面上均勻分布力的合力作用點將是其形心，而平面上均勻分布力的合力作用點將是其形心，而靜壓強分布是不均勻的，浸沒在液面下越深處壓靜壓強分布是不均勻的，浸沒在液面下越深處壓強越大，所以總壓力作用點位于作用面形心以下。強越大，所以總壓力作用點位于作用面形心以下。 結論結論EXIT 2.7 靜止液體作用在曲面上的總壓力靜止液體作用在曲面上的總壓力 dF= (p-p)dA = g hdA dFz= dFsin= g hdAsin=g hdAz dAsin=dAz dFx= dFcos=g hdAcos=g hdAx dAcos=dAx 是dA的法線與水平x軸的夾角，等于dA的切線與垂直面夾角。二維曲面（柱面）母線在一條曲線上連續(xù)滑動形成的曲面，母線垂直圖面EXIT2.7 靜止液體作用在曲面上靜止液體作用在曲面上的總壓力的總壓力 總壓