數(shù)理統(tǒng)計知識點（課堂PPT）

1、2/23/2022.1統(tǒng)計描述和統(tǒng)計推斷統(tǒng)計描述和統(tǒng)計推斷2/23/2022.21、 表示位置的統(tǒng)計量平均值和中位數(shù) 平平均均值值（或均值，數(shù)學期望） ：niiXnX11 中中位位數(shù)數(shù)：將數(shù)據(jù)由小到大排序后位于中間位置的那個數(shù)值.2、 表示變異程度的統(tǒng)計量標準差、方差和極差 標標準準差差：2112)(11niiXXns 它是各個數(shù)據(jù)與均值偏離程度的度量. 方方差差：標準差的平方. 極極差差：樣本中最大值與最小值之差.一、統(tǒng)計量一、統(tǒng)計量2/23/2022.3 3. 表示分布形狀的統(tǒng)計量偏度和峰度偏偏度度：niiXXsg1331)(1 峰峰度度：niiXXsg1442)(1 偏度反映分布的對稱性

2、，g1 0 稱為右偏態(tài)，此時數(shù)據(jù)位于均值右邊的比位于左邊的多；g1 0 稱為左偏態(tài)，情況相反；而 g1接近 0則可認為分布是對稱的. 峰度是分布形狀的另一種度量，正態(tài)分布的峰度為 3，若 g2比 3大很多，表示分布有沉重的尾巴，說明樣本中含有較多遠離均值的數(shù)據(jù)，因而峰度可用作衡量偏離正態(tài)分布的尺度之一. 4. k階階原原點點矩矩：nikikXnV11 k 階階中中心心矩矩：nikikXXnU1)(12/23/2022.4二、分布的近似求法二、分布的近似求法-頻率直方圖法頻率直方圖法1、 整理資料整理資料： 把樣本值 x1，x2，xn進行分組，先將它們依大小次序排列，得*2*1nxxx.在包含,

3、*1nxx的區(qū)間a，b內(nèi)插入一些等分點：,21bxxxan注意要使每一個區(qū)間,(1iixx（i=1，2，n-1）內(nèi)都有樣本觀測值 xi（i=1，2，n-1）落入其中.2、求求出出各各組組的的頻頻數(shù)數(shù)和和頻頻率率：統(tǒng)計出樣本觀測值在每個區(qū)間,(1iixx中出現(xiàn)的次數(shù)in，它就是這區(qū)間或這組的頻數(shù).計算頻率nnfii.3、作作頻頻率率直直方方圖圖：在直角坐標系的橫軸上，標出21,nxxx各點，分別以,(1iixx為底邊，作高為iixf的矩形，1, 2 , 1,1nixxxiii,即得頻率直方圖.2/23/2022.5三、幾個在統(tǒng)計中常用的概率分布三、幾個在統(tǒng)計中常用的概率分布-4-2024600.

4、050.10.150.20.250.30.350.41、正態(tài)分布正態(tài)分布),(2smN密度函數(shù)：222)(21)(smspxexp分布函數(shù)：dyexFyx222)(21)(smsp其中m為均值，2s為方差，x.標準正態(tài)分布：N（0，1）密度函數(shù)2221)(xexpjdyexyx2221)(Fp， 分布函數(shù)2/23/2022.60510152000.020.040.060.080.10.120.140.162/23/2022.7-6-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.42/23/2022.800.511.522.5300.10.20.30.40.50.60.7

5、0.80.91返回返回F分布F（10，50）的密度函數(shù)曲線2/23/2022.92/23/2022.10一、點估計的求法一、點估計的求法(一）矩估計法2/23/2022.11(二）極大似然估計法2/23/2022.12二、區(qū)間估計的求法二、區(qū)間估計的求法2/23/2022.13設樣本（X1，X2，Xn）來自正態(tài)母體 X，已知方差2sDX，EX 在置信水平 1-下的置信區(qū)間為,2121nuXnuXss.1、已知、已知DX，求，求EX的置信區(qū)間的置信區(qū)間2 未知方差未知方差DX，求，求EX的置信區(qū)間的置信區(qū)間EX 在置信水平 1-下的置信區(qū)間為,2121nstXnstX.(一一)數(shù)學期望的置信區(qū)間

6、數(shù)學期望的置信區(qū)間（二）方差的區(qū)間估計（二）方差的區(qū)間估計返回返回2/23/2022.142.兩個正態(tài)總體均值差和方差比的置信區(qū)間12222212121222211221212122111122xyznnnsnsxy tnnnnnnmmssss 的1- 置信區(qū)間方差， 已知時為方差未知時為如果置信區(qū)間包含原點，說明這兩個總體均值沒有顯著差別2/23/2022.15212222112221221212211,1,11,1sss Fnns Fnnss兩個總體方差比的1- 置信區(qū)間如果置信區(qū)間包含1，認為兩個總體方差沒有顯著差別2/23/2022.161.參數(shù)檢驗參數(shù)檢驗：如果觀測的分布函數(shù)類型已知

7、，這時構(gòu)造出的 統(tǒng)計量依賴于總體的分布函數(shù)，這種檢驗稱為參數(shù)檢驗. 參數(shù)檢驗的目的往往是對總體的參數(shù)及其有關(guān)性質(zhì)作出明 確的判斷. 對總體X的分布律或分布參數(shù)作某種假設，根據(jù)抽取的樣本觀察值，運用數(shù)理統(tǒng)計的分析方法，檢驗這種假設是否正確，從而決定接受假設或拒絕假設.2.非參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗：如果所檢驗的假設并非是對某個參數(shù)作出明 確的判斷，因而必須要求構(gòu)造出的檢驗統(tǒng)計量的分布函數(shù) 不依賴于觀測值的分布函數(shù)類型，這種檢驗叫非參數(shù)檢驗. 如要求判斷總體分布類型的檢驗就是非參數(shù)檢驗.2/23/2022.17假設檢驗的一般步驟是假設檢驗的一般步驟是：2/23/2022.18（一）單個正態(tài)總體均值檢驗（

8、一）單個正態(tài)總體均值檢驗一、參數(shù)檢驗一、參數(shù)檢驗設取出一容量為 n 的樣本，得到均值X和標準差 s，現(xiàn)要對總體均值m是否等于某給定值0m進行檢驗.記00:mmH； 01:mmH稱 H0為原原假假設設，H1為備備擇擇假假設設，兩者擇其一：接受 H0；拒絕 H0，即接受 H1.2/23/2022.19 用 u檢檢驗驗，檢驗的拒絕域為21uzW 即 2121uzuzW或 用樣本方差2s代替總體方差2s，這種檢驗叫 t檢檢驗驗.總體方差2s已知統(tǒng)計量 z=nXsm0總體方差2s未知統(tǒng)計量tnsX0mH0H1在顯著水平下拒絕 H0，若0mm0mm21 uz) 1(21ntt0mm0mm1uz) 1(1n

9、tt0mm0mm1uz) 1(1ntt1、總總體體方方差差2s已已知知2總總體體方方差差2s未未知知2/23/2022.20（二）單個正態(tài)總體方差檢驗（二）單個正態(tài)總體方差檢驗設 X1，X2，Xn是來自正態(tài)總體),(2smN的樣本，欲檢驗假設：2020:ssH 2021:ssH（或 202ss 或 202ss）這叫2檢檢驗驗.均值m已知統(tǒng)計量212202)(1msniiX均值m未知統(tǒng)計量212202)(1XXniisH0H1在顯著水平下拒絕 H0，若202ss202ss)(222n或)(2212n) 1(222n或) 1(2212n202ss202ss)(212n) 1(212n202ss20

10、2ss)(22n) 1(22n（三）兩個正態(tài)總體均值檢驗（三）兩個正態(tài)總體均值檢驗2、21s與與22s未未知知但但相相等等時時2/23/2022.22例 在平爐上進行一項試驗，以確定改變操作方法是否會增加鋼的得率，試驗是在同一只平爐上進行的。每煉一爐鋼時，除操作方法外，其他條件都盡可能做到相同。先用標準方法煉一爐，然后用新方法煉一爐，以后交替進行，各煉了10爐，其得率分別為（1）標準方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3（2）新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.

11、1解：檢驗假設 012:Hmm1:Hmm122/23/2022.232112220.051 2120.0522121122010,76.3,3.325,10,79.43,2.225,0.05(18) 1.7341(2)4.295(18)1.7341(1)(1)nxsnystnn nnX YttnnnsnsHmm12取，帶入所以拒絕 ，認為,新操作方法較原來方法為優(yōu)。（四）兩個正態(tài)總體方差檢驗（四）兩個正態(tài)總體方差檢驗設樣本 X1，X2，Xn1與 Y1，Y2，Yn2分別來自正態(tài)總體),(211smN與),(222smN，檢驗假設： 22210:ssH 22211:ssH（或2221ss或2221

12、ss）21122212110)(1)(1niiniiYnXnFmm， 2221ssF （設2221ss ）2/23/2022.25對上例中的數(shù)據(jù)，檢驗兩種煉鋼方法得鋼率的波動性是否存在顯著差異？22012:Hss221:Hss122112220.0050.005210.0050.00520.0052010,76.3,3.325,10,79.43,2.225,0.01(9,9)(9,9)6.541(9,9)0.1531.49(9,9)6.54(9,9)nxsnysFFSFFFSH取，所以接受，認為兩總體方差相等，即兩總體具有方差齊性。2/23/2022.26（一）皮爾遜（一）皮爾遜 擬合優(yōu)度檢驗

13、法擬合優(yōu)度檢驗法樣本S容量為n，有k個分組, 實際組頻數(shù)分別為 即樣本值 落在 的個數(shù)構(gòu)造統(tǒng)計量拒絕域為否則，需估計分布的參數(shù)檢驗統(tǒng)計量 2二、非參數(shù)檢驗二、非參數(shù)檢驗12,(2)kfffk PSHPSH不來自來自:,:102221() (1)kiiiifnpkpn22(1)Wk12,nx xx12,KA AAiAiipp A50n 221kiiifnn p22(1)Wkr pii為p 的極大似然估計，r為估計的參數(shù)個數(shù)2/23/2022.27（二）概率紙檢驗法（二）概率紙檢驗法 概率紙是一種判斷總體分布的簡便工具.使用它們，可以很快地判斷總體分布的類型.概率紙的種類很多.返回返回2/23/2

14、022.28 *1*1*0,1,nkknxxkFxxxxnxx以下內(nèi)容課后自己練習2/23/2022.29統(tǒng)計工具箱中的基本統(tǒng)計命令統(tǒng)計工具箱中的基本統(tǒng)計命令1.數(shù)據(jù)的錄入、保存和調(diào)用數(shù)據(jù)的錄入、保存和調(diào)用2.基本統(tǒng)計量基本統(tǒng)計量3.常見概率分布的函數(shù)常見概率分布的函數(shù)4.4.頻頻 數(shù)數(shù) 直直 方方 圖圖 的的 描描 繪繪5.參數(shù)估計參數(shù)估計6.假設檢驗假設檢驗7.綜合實例綜合實例返回返回2/23/2022.30一、數(shù)據(jù)的錄入、保存和調(diào)用一、數(shù)據(jù)的錄入、保存和調(diào)用 例例1 上海市區(qū)社會商品零售總額和全民所有制職工工資總額的數(shù)據(jù)如下年份78798081828284858687職工 工 資 總 額

15、（億元）23.827.631.632.433.734.943.252.863.873.4商品 零 售 總 額（億元）41.451.861.767.968.777.595.9137.4155.0175.02/23/2022.311、年份數(shù)據(jù)以1為增量，用產(chǎn)生向量的方法輸入。 命令格式： x=a:h:bx=a:h:b t=78:872、分別以x和y代表變量職工工資總額和商品零售總額。 x=23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4 y=41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.03、

16、將變量t、x、y的數(shù)據(jù)保存在文件data中。 save data t x y 4、進行統(tǒng)計分析時，調(diào)用數(shù)據(jù)文件data中的數(shù)據(jù)。 load dataTo MATLAB(txy)2/23/2022.321、輸入矩陣：data=78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88; 23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4; 41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.02、將矩陣data的數(shù)據(jù)保存在文件data1中：save data1 data3 3、進行統(tǒng)計分析時，

17、先用命令： load data1load data1 調(diào)用數(shù)據(jù)文件data1中的數(shù)據(jù)，再用以下命令分別將矩陣data的第一、二、三行的數(shù)據(jù)賦給變量t、x、y： t=data(1,:) x=data(2,:) y=data(3,:)若要調(diào)用矩陣data的第j列的數(shù)據(jù)，可用命令： data(:,j)To MATLAB(data)返回返回2/23/2022.33二、基本統(tǒng)計量二、基本統(tǒng)計量對隨機變量x，計算其基本統(tǒng)計量的命令如下：均值：mean(x)mean(x)中位數(shù)：median(x)median(x)標準差：std(x)std(x) 方差：var(x)var(x)偏度：skewness(x)

18、峰度：kurtosis(x)例例 對例1中的職工工資總額x，可計算上述基本統(tǒng)計量。To MATLAB(tjl)返回返回2/23/2022.34三三、常見概率分布的函數(shù)常見概率分布的函數(shù)常見的幾種分布的命令字符為：正態(tài)分布：norm 指數(shù)分布：exp帕松分布：poiss 分布：beta威布爾分布：weib 2分布：chi2 t 分布：t F 分布：FMatlab工具箱對每一種分布都提供五類函數(shù)，其命令字符為：概率密度：pdf pdf 概率分布：cdfcdf逆概率分布：inv inv 均值與方差：statstat隨機數(shù)生成：rnd （當需要一種分布的某一類函數(shù)時，將以上所列的分布命令字符與函數(shù)命令

19、字符接起來，并輸入自變量（可以是標量、數(shù)組或矩陣）和參數(shù)即可.）2/23/2022.35例例 2 畫出正態(tài)分布) 1 , 0(N和)2 , 0(2N的概率密度函數(shù)圖形.在Matlab中輸入以下命令：x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2);plot(x,y,x,z)1、密度函數(shù)、密度函數(shù)：p=normpdf(x,mu,sigma) (當mu=0,sigma=1時可缺省)To MATLAB(liti2)如對均值為mu、標準差為sigma的正態(tài)分布，舉例如下：2/23/2022.36例例 3 3 計算標準正態(tài)分布的概率 P-1X1. 命令為：P=nor

20、mcdf(1)-normcdf(-1) 結(jié)果為：P =0.6827To MATLAB(liti3)3、逆概率分布、逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma). 即求出x ，使得PXx=P.此命令可用來求分位數(shù).2、概率分布、概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)例例 4 取05. 0，求21u 21u的含義是：) 1 , 0( NX,PX50），按中心極限定理，它近似地 服從正態(tài)分布；二.使用Matlab工具箱中具有特定分布總體的估計命令.（1）muhat, muci = expfit(X,alpha)- 在顯著性水平alpha下，求指數(shù)分布的數(shù)據(jù)X的均值的點估計及其

21、區(qū)間估計.（2）lambdahat, lambdaci = poissfit(X,alpha)- 在顯著性水平alpha下，求泊松分布的數(shù)據(jù)X 的參數(shù)的點估計及其區(qū)間估計.（3）phat, pci = weibfit(X,alpha)- 在顯著性水平alpha下，求Weibull分布的數(shù)據(jù)X 的參數(shù)的點估計及其區(qū)間估計.返回返回2/23/2022.41六、假設檢驗六、假設檢驗 在總體服從正態(tài)分布的情況下，可用以下命令進行假設檢驗.1、總體方差總體方差sigma2已知時，總體均值的檢驗使用已知時，總體均值的檢驗使用 z-檢驗檢驗 h,sig,ci = ztest(x,m,sigma,alpha,

22、tail)檢驗數(shù)據(jù) x 的關(guān)于均值的某一假設是否成立，其中sigma 為已知方差， alpha 為顯著性水平，究竟檢驗什么假設取決于 tail 的取值：tail = 0，檢驗假設“x 的均值等于 m ”tail = 1，檢驗假設“x 的均值大于 m ”tail =-1，檢驗假設“x 的均值小于 m ”tail的缺省值為 0， alpha的缺省值為 0.05. 返回值 h 為一個布爾值，h=1 表示可以拒絕假設，h=0 表示不可以拒絕假設，sig 為假設成立的概率，ci 為均值的 1-alpha 置信區(qū)間.2/23/2022.42 例例7 Matlab統(tǒng)計工具箱中的數(shù)據(jù)文件gas.mat.中提供

23、了美國1993年一月份和二月份的汽油平均價格（price1,price2分別是一，二月份的油價，單位為美分），它是容量為20的雙樣本.假設一月份油價的標準偏差是一加侖四分幣（s=4），試檢驗一月份油價的均值是否等于115.解解 作假設：m = 115.首先取出數(shù)據(jù)，用以下命令： load gas然后用以下命令檢驗 h,sig,ci = ztest(price1,115,4)返回：h = 0，sig = 0.8668，ci = 113.3970 116.9030.檢驗結(jié)果: 1. 布爾變量h=0, 表示不拒絕零假設. 說明提出的假設均值115 是合理的. 2. sig-值為0.8668, 遠超過

24、0.5, 不能拒絕零假設 3. 95%的置信區(qū)間為113.4, 116.9, 它完全包括115, 且精度很 高. To MATLAB（liti7）2/23/2022.432、總體方差總體方差sigma2未知時，總體均值的檢驗使用未知時，總體均值的檢驗使用t-檢驗檢驗 h,sig,ci = ttest(x,m,alpha,tail)檢驗數(shù)據(jù) x 的關(guān)于均值的某一假設是否成立，其中alpha 為顯著性水平，究竟檢驗什么假設取決于 tail 的取值：tail = 0，檢驗假設“x 的均值等于 m ”tail = 1，檢驗假設“x 的均值大于 m ”tail =-1，檢驗假設“x 的均值小于 m ”t

25、ail的缺省值為 0， alpha的缺省值為 0.05. 返回值 h 為一個布爾值，h=1 表示可以拒絕假設，h=0 表示不可以拒絕假設，sig 為假設成立的概率，ci 為均值的 1-alpha 置信區(qū)間.2/23/2022.44返回：h = 1，sig = 4.9517e-004，ci =116.8 120.2.檢驗結(jié)果: 1. 布爾變量h=1, 表示拒絕零假設. 說明提出的假 設油價均值115是不合理的. 2. 95%的置信區(qū)間為116.8 120.2, 它不包括 115, 故不能接受假設. 3. sig-值為4.9517e-004, 遠小于0.5, 不能接受零 假設. To MATLAB

26、（liti8）例例8 試檢驗例8中二月份油價 Price2的均值是否等于115.解解 作假設：m = 115，price2為二月份的油價，不知其方差，故用以下命令檢驗h,sig,ci = ttest( price2 ,115)2/23/2022.453、兩總體均值的假設檢驗兩總體均值的假設檢驗使用使用 t-檢驗檢驗 h,sig,ci = ttest2(x,y,alpha,tail)檢驗數(shù)據(jù) x ，y 的關(guān)于均值的某一假設是否成立，其中alpha 為顯著性水平，究竟檢驗什么假設取決于 tail 的取值：tail = 0，檢驗假設“x 的均值等于 y 的均值 ”tail = 1，檢驗假設“x 的均

27、值大于 y 的均值 ”tail =-1，檢驗假設“x 的均值小于 y 的均值 ”tail的缺省值為 0， alpha的缺省值為 0.05. 返回值 h 為一個布爾值，h=1 表示可以拒絕假設，h=0 表示不可以拒絕假設，sig 為假設成立的概率，ci 為與x與y均值差的的 1-alpha 置信區(qū)間.2/23/2022.46返回：h = 1，sig = 0.0083，ci =-5.8,-0.9.檢驗結(jié)果:1. 布爾變量h=1, 表示拒絕零假設. 說明提出的 假設“油價均值相同”是不合理的. 2. 95%的置信區(qū)間為-5.8,-0.9,說明一月份油 價比二月份油價約低1至6分. 3. sig-值為

28、0.0083, 遠小于0.5, 不能接受“油價均 相同”假設. To MATLAB（liti9）例例9 試檢驗例8中一月份油價Price1與二月份的油價Price2均值是否相同.解解 用以下命令檢驗h,sig,ci = ttest2(price1,price2)2/23/2022.474、非參數(shù)檢驗：總體分布的檢驗非參數(shù)檢驗：總體分布的檢驗Matlab工具箱提供了兩個對總體分布進行檢驗的命令:（1）h = normplot(x)（2）h = weibplot(x) 此命令顯示數(shù)據(jù)矩陣x的正態(tài)概率圖.如果數(shù)據(jù)來自于正態(tài)分布，則圖形顯示出直線性形態(tài).而其它概率分布函數(shù)顯示出曲線形態(tài). 此命令顯示數(shù)

29、據(jù)矩陣x的Weibull概率圖.如果數(shù)據(jù)來自于Weibull分布，則圖形將顯示出直線性形態(tài).而其它概率分布函數(shù)將顯示出曲線形態(tài).返回返回2/23/2022.48例例10 一道工序用自動化車床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等會出現(xiàn)故障.故障是完全隨機的，并假定生產(chǎn)任一零件時出現(xiàn)故障機會均相同.工作人員是通過檢查零件來確定工序是否出現(xiàn)故障的.現(xiàn)積累有100次故障紀錄，故障出現(xiàn)時該刀具完成的零件數(shù)如下： 459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734

30、 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851試觀察該刀具出現(xiàn)故障時完成的零件數(shù)屬于哪種分布.2/23/2022.49解解 1、數(shù)據(jù)輸入To MATLAB（liti101）2、作頻數(shù)直方圖 hist(x,10) 3、分布的正態(tài)性檢驗 normplot(x)4、參數(shù)估計： muhat,sigm