正弦定理說(shuō)課稿

1、正弦定理說(shuō)課稿各位老師大家好！今天我說(shuō)課的題目是正弦定理 ，選自北師大版必修五第二章 解三角形第一節(jié)。下面主要從以下幾個(gè)方面對(duì)本課進(jìn)行說(shuō)明。教材分析1、教材地位解三角形這一章內(nèi)容，是初中解直角三角形內(nèi)容的拓展與延續(xù)，也是高一三 角函數(shù)與平面向量在解三角形中的應(yīng)用。初中階段著重定性的討論三角形中線(xiàn)段 與角的位置關(guān)系，本章主要是定量地揭示三角形邊、角之間的數(shù)量關(guān)系。本章內(nèi)容在高 考中主要與三角函數(shù)、 平面向量等知識(shí)聯(lián)系起來(lái)以及在立體幾何問(wèn)題求解中的應(yīng)用。 正 弦定理是解斜三角形的基本工具之一，同時(shí)它的推導(dǎo)過(guò)程也為余弦定理的推導(dǎo)設(shè)下伏 筆，因此它具有承上啟下的重要地位， 并且它還是解決實(shí)際生活中與三

2、角形有關(guān)的問(wèn)題 的有力工具。據(jù)此，我們制定以下教學(xué)目標(biāo)2、教學(xué)目標(biāo)(1) 知識(shí)與技能正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及基本應(yīng)用(2) 過(guò)程與方法 通過(guò)對(duì)直角三角形邊角數(shù)量關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理，體驗(yàn)用特殊到一般的思 想方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的過(guò)程。(3) 情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān) 在觀(guān)察、探索、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、解決問(wèn)題的過(guò)程中，用心體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想方法，培 養(yǎng)多思考的習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。3、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)(1)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及基本應(yīng)用正弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀(guān)規(guī)律， 是解三角形的重要工具， 也是三角函數(shù)與平面向量知識(shí)在三角形中的應(yīng)用 . 因此，本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容是正弦定理證明與基本應(yīng)用 . )

3、 (2)難點(diǎn)：證明方法推導(dǎo)的多樣性 .(在證明過(guò)程中通過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生的研討，對(duì)知識(shí)多角度地挖掘來(lái)證明定理 . 因此，本節(jié) 課難點(diǎn)的內(nèi)容是證法的多樣性 .)教學(xué)過(guò)程1、設(shè)疑引入，創(chuàng)設(shè)情景興趣是最好的老師 ,如果一節(jié)課有個(gè)好的開(kāi)頭，那就意味著成功了一半，因此通過(guò)問(wèn)題引入，巧設(shè)疑問(wèn)來(lái)激發(fā)學(xué)生的思維，激活學(xué)生的求知欲首先提出問(wèn)題：為了求得不可直接到達(dá)的兩點(diǎn) A、B之間的距離，通常另選一點(diǎn)C, 測(cè)得a，b和角口（圖1）。如果。=90:那是一個(gè)簡(jiǎn)單的解直角三角形的問(wèn)題；但若=-90，那就是斜三角形的問(wèn)題了，如何求得 AB的距離呢？這樣，由實(shí)際的問(wèn)題步步深入，提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生知道僅利用直角三角形來(lái)解決

4、實(shí)際問(wèn)題還存在局限性，提 出求解斜三角形的必要性，激發(fā)學(xué)生探索新知識(shí)的興趣。B（圖1）接著，教師給學(xué)生指明一個(gè)探究的方向，ab. _. tti-rsin A ， sin B， sin C = 1 ，即ccahc證明一（1 ）（等面積法）分別作三邊上的高所以S ABC= -BCAD =丄BCABsin B22S ABCACBE =-ACBCsin C22ACABACBC所以得，冋理可證sin Bsin Csin Bsin A在直角三角形這樣的特殊情況下，有abcc， c， c =sin AsinBsinC故，在此提出冋題1，對(duì)任意的三角形，是否都存在sin A sin B sin C-呢？引導(dǎo)學(xué)

5、生自己探索證明方法。sinA si nB sinC這樣由特殊情況到一般問(wèn)題的提出，符合由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識(shí)過(guò)程。（在證明方法的探索過(guò)程中，說(shuō)明以下問(wèn)題，以幫助學(xué)生獲得證明思路：1 強(qiáng)調(diào)將猜想轉(zhuǎn)化為定理，需要嚴(yán)格的理論證明。2 鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)作高轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形進(jìn)行證明，即引導(dǎo)方法一。3 提示學(xué)生思考哪些知識(shí)能把長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，繼而思考用向量分析，用數(shù)量積作為工 具證明定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，即引導(dǎo)方法4 思考是否還有其他的方法來(lái)證明正弦定理，提示，做三角形的外接圓構(gòu)造直角三角形，即引導(dǎo) 方法三。）2、帶疑探究，嚴(yán)謹(jǐn)推理（等面積法較為簡(jiǎn)單、學(xué)生容易理解并獨(dú)立完成，

6、將一般三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形問(wèn)題, 此法體現(xiàn)了劃歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想）證明二（平面向量法）：過(guò)A作單位向量j垂直于A(yíng)CCac+cb=ab兩邊同乘以單位向量jj ?( AC +CB)= j ?AB 則:j ?AC +j?CB=j| j | ?| AC |cos90 +| j | ?| CB |cos(90 -C)=| j | ?| AB |cos(90 -A) asin C =csin Aa = csin A sinC同理：若過(guò)C作j垂直于CB得:c = b a = b = csinC sin Bsin A sin B sinC當(dāng)厶ABC為鈍角三角形時(shí)，設(shè) A>90過(guò)A作單位向量j垂

7、直于向量AC ,則j與AB的夾角為A-90 ,j與CB的夾角為90 -C.同樣可得a _ b _ csin A sin B sin Ccsi nC=2Rsin A sinB sinC=2R（平面向量法較為復(fù)雜， 但以向量作為工具來(lái)研究解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，也體現(xiàn)了向量的工具性，并且以銳角三角型為例說(shuō)明，可以讓學(xué)生下去之后完成鈍角三角形的證明，再加深此法的理解和應(yīng)用）以上兩種方法都說(shuō)明定理的成立 ，提出問(wèn)題2 :定理的比值有什么特殊意義？引入方法三。證明三（外接圓法） 如圖，在 ABC中，已知BC = a，AC= b，AB = 6作厶ABC的外接圓，O為圓心，連 接BO并延長(zhǎng)交圓于B',設(shè)BB&

8、#39;= 2R.則根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以得到:/ BAB'= 90°,/ C=Z B c sin C 二 sin B2R同理可得一=2R, b2Rsin A sinB（此法在將一般三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題時(shí)，通過(guò)構(gòu)建三角形的外接圓來(lái)進(jìn)行證明, 不但證明了定理并且說(shuō)明了正弦定理比值的幾何意義即三角形的外接圓直徑）（總結(jié)：以上三種證法在本質(zhì)上都是同一證法，只不過(guò)是從代數(shù)、 幾何與平面向量的幾個(gè)角度構(gòu)造直角三角形，通過(guò)尋找等量關(guān)系達(dá)到證明等式得目的，在證明過(guò)程中，我們以銳角三角型為例 進(jìn)行說(shuō)明，在此應(yīng)注意提醒學(xué)生考慮問(wèn)題的全面性，即注意對(duì)鈍角

9、三角形情況的證明，體會(huì)分類(lèi)討 論思想的應(yīng)用）通過(guò)以上三種證法，我們說(shuō)明對(duì)于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形來(lái)說(shuō)，上 面的關(guān)系式均成立，因此我們得到下面的定理正弦定理：在一個(gè)三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，abC即亠 =2R （ R為厶ABC外接圓半徑）。sin A sinB sinC（這一部分的設(shè)計(jì)，首先通過(guò)實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生的思維盡快進(jìn)入探究正弦定理這個(gè)主題，逐步完成“情境思考”一一“提出問(wèn)題”一一“研究特例”一一“歸納猜想”一一“理論探究”一一“解決問(wèn)題”這一思維和解決問(wèn)題的操作過(guò)程，進(jìn)而形成解決問(wèn)題的能力。同時(shí)，由實(shí)際問(wèn)題出發(fā)又與第三部分正弦定理的應(yīng)用相銜接。）以上是本節(jié)課的新課講解過(guò)程

10、，下面通過(guò)四個(gè)例題，來(lái)深化和鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。3、實(shí)例分析，深化理解教師分析，正弦定理 b C2R實(shí)際上可以寫(xiě)成三個(gè)等式，實(shí)際應(yīng)用sin A sin B sin C時(shí)根據(jù)題意選取，每一個(gè)等式中有兩邊與兩角，引導(dǎo)學(xué)生歸納出正弦定理可解決的兩類(lèi) 解三角形問(wèn)題：（1）已知兩角與一邊（2）已知兩邊與其中一邊的對(duì)角即知三求一，另正弦定理適合于任何三角形。例1若沁二進(jìn)二空C貝打“Be是（a b cA.等邊三角形B.有一內(nèi)角是30C.等腰直角三角形D.有一內(nèi)角是30°的等腰三角形（C這個(gè)問(wèn)題較為簡(jiǎn)單，是直接由正弦定理及已知條件對(duì)比發(fā)現(xiàn) sin B 二 cosB, sinC 二 cosC 故 B

11、二 C =45°, A = 90°）例 2、在厶ABC 證明 ccosB FcosC 二 a。（利用正弦定理將等式左端邊轉(zhuǎn)化為角表示，再結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)即體現(xiàn) 通過(guò)正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化的功能）例3、已知在 ABC中，c =10,A =45°,C =30°,求a,b和B以及.ABC的外接圓面積。sin A sin Ca csinA 10sin45® si nCsin 30 °又 B =180° - (A C) =105°10si n105sin30=20si n75 = 20b c sin Bsin C, c

12、sin B .b = sin C（利用正弦定理解斜三角形的應(yīng)用一：已知兩角及一邊，并且考察了正弦定理比值的幾何意義）例4、在厶ABC中，已知a = 20，b = 28，A = 40，求B （精確到1 ）和c （保 留兩個(gè)有效數(shù)字）。bsi nA 28s in 40解：sin B0.8999a20.B1 =64 ， B2 -116當(dāng) B1 =64 時(shí)，G =180 -(B1 A) =180 -(64 40 )=76 ，20 si n76sin 40:30a sin。. C1sin A當(dāng) B2 =116 時(shí)，C2 =180 -(B2 A) =180 -(116 4024c2二型"週3si

13、n A sin 40（正弦定理解斜三角形的應(yīng)用二：已知兩邊及一邊對(duì)角。 在此例中出現(xiàn)了多解的情況在講完本例后，提出問(wèn)題 3：如何從理論角度說(shuō)明在利用正弦定理解已知兩邊及一邊對(duì)角過(guò)程中解的情況？ 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，為下節(jié)課的講解做好鋪墊。）4、總結(jié)提高，明確要點(diǎn)1、理解三角形的面積公式，熟悉正弦定理用向量來(lái)證明的推導(dǎo)過(guò)程，教師可引導(dǎo) 學(xué)生課后再去探究其它證明方法，為下一節(jié)課的余弦定理的推導(dǎo)埋下伏筆。ab2、在正弦定理中，若/C=90，則有sinA=，sinB=-，即為直角三角形中的cc邊角關(guān)系，與初中學(xué)過(guò)的知識(shí)相吻合。把知識(shí)又從一般過(guò)渡到特殊，由抽象到具體。2、正弦定理的兩個(gè)應(yīng)用：（1）已知

14、三角形中兩角及一邊，求其他元素； （2）已知 三角形中兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其他元素，這時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生加以敘述，培養(yǎng)學(xué)生的 歸納總結(jié)能力。5、課堂練習(xí)、提高鞏固1. + , n-0.15tC=101 4°,13-75. 851 求的扎2. 裡中芒二丨/=氛=4鬧/崙翻"二*3. 知期.dWGjt平徑旳展的內(nèi)櫃JLW用爭(zhēng).齣敢辰和 /MH曠始卄從IW半槿*（這三個(gè)練習(xí)題是針對(duì)以上例題設(shè)計(jì)的鞏固練習(xí)。練習(xí)1、2分別是針對(duì)例3、例4的強(qiáng)化練習(xí)。練習(xí)3是正弦定理及比值幾何意義的應(yīng)用）6、深入思考，課后延申（1）課后證明鈍角三角形的情況。（為了鞏固向量方法的證明）（2）還有沒(méi)什么其它的證明方法。（例如坐標(biāo)法）（3） 根據(jù)正弦定理的特點(diǎn)設(shè)計(jì)三道題，要有一定的代表性。（為下一節(jié)課正弦定理 應(yīng)用做準(zhǔn)備）評(píng)價(jià)分析我認(rèn)為我的這堂課的設(shè)計(jì)基本符合