變異量數(shù)與分布形狀

1、第3章 變異量數(shù)與分佈形狀變異量數(shù)與分佈形狀 前言 只用集中量數(shù)來描述資料是不夠的。忽略了資料點(diǎn)的分散情形，可能會做出錯誤的判斷。 以下介紹幾種反映資料分散情形的量數(shù)，包括全距、四分位距、平均絕對離差、標(biāo)準(zhǔn)差等。除此之外，利用數(shù)字呈現(xiàn)資料的集中和分散情形，不如直接呈現(xiàn)資料的分佈圖。 第一節(jié) 變異量數(shù) （1） 全距全距/範(fàn)圍（範(fàn)圍（range） 全距就是最大值減最小值。全距越大表示分?jǐn)?shù)的離散程度越大。 Excel並沒提供函數(shù)直接計算全距。不過可利用MAX求得最大值，用MIN求得最小值，然後相減即得全距。除此之外，也可利用Excel提供的敘述統(tǒng)計內(nèi)設(shè)功能，求得最大值和最小值。 第一節(jié) 變異量數(shù) （

2、2） 四分位距（四分位距（interquartile range） 如果將數(shù)值由小至大排列，第N個分?jǐn)?shù)就是第一個四分位數(shù)（quartile），以Q1來表示；第N個分?jǐn)?shù)就是第二個四分位數(shù)（Q2），Q2也就是中位數(shù)；第N個分?jǐn)?shù)就是第三個四分位數(shù)（Q3）。 所謂四分位距就是： Q = (Q3 - Q1) 第一節(jié) 變異量數(shù) （3） 平均絕對離差（平均絕對離差（mean absolute deviation） 每個分?jǐn)?shù)減去平均數(shù)，叫做離均差（deviation from the mean）。離均差取絕對值後加總，再取其平均值就是平均絕對離差。即： NXMADNi1第一節(jié) 變異量數(shù) （4） 例如1, 2,

3、 3, 4, 5等數(shù)字的平均數(shù)為3，離均差分別為-2, -1, 0, 1, 2。絕對值離均差為2, 1, 0, 1, 2。 Excel的AVEDEV函數(shù)可用以計算平均絕對離差。如鍵入=AVEDEV(1,2,3,4,5) 就可以得到平均絕對離差為1.2。 2 . 1521012MAD第一節(jié) 變異量數(shù) （5） 變異數(shù)（變異數(shù)（variance） 如果資料是母體，變異數(shù)就是每個分?jǐn)?shù)減去母體平均數(shù)（即離均差），加以平方，然後加總，最後除以個數(shù)，即為變異數(shù)（可想成：離均差平方的平均數(shù)）。NXNii122第一節(jié) 變異量數(shù) （6） 例如有一公平骰子，令出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為X，數(shù)值分別為1, 2, 3, 4, 5, 6

4、。則X的平均數(shù)為3.5，變異數(shù)為2.92。 92. 26) 5 . 36 () 5 . 35 () 5 . 34 () 5 . 33 () 5 . 32 () 5 . 31 (2222222第一節(jié) 變異量數(shù) （7） 如果是從母體抽取少數(shù)樣本時，樣本變異數(shù)（sample variance）算法為1122NXXSNii第一節(jié) 變異量數(shù) （8） 例如有5個資料點(diǎn)為樣本，數(shù)值分別為1, 2, 3, 4, 5，則樣本平均數(shù)為3，樣本變異數(shù)為2.5。5 . 215) 35 () 34 () 33 () 32 () 31 (222222S第一節(jié) 變異量數(shù) （9） 標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)差（standard devia

5、tion）標(biāo)準(zhǔn)差就是變異數(shù)開根號。 可分為母體標(biāo)準(zhǔn)差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。NXNii12112NXXSNii第一節(jié) 變異量數(shù) （10） Excel的VARP和VAR兩函數(shù)分別用以計算母體變異數(shù)和樣本變異數(shù)。STDEVP和STDEV則分別用以計算母體標(biāo)準(zhǔn)差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差（其中P代表母體population）。=VARP(1,2,3,4,5)得母體變異數(shù)為2。=VAR(1,2,3,4,5)得樣本變異數(shù)2.5。=STDEVP(1,2,3,4,5)得母體標(biāo)準(zhǔn)差1.414。=STDEV(1,2,3,4,5)得樣本標(biāo)準(zhǔn)差1.581。 第一節(jié) 變異量數(shù) （11） 變異係數(shù)（變異係數(shù)（coefficient of va

6、riation）標(biāo)準(zhǔn)差除以平均數(shù)就是變異係數(shù)。由於計算變異數(shù)（或標(biāo)準(zhǔn)差）時，因?yàn)槊總€值都要減去平均數(shù)，因此變異數(shù)必然受到平均數(shù)的影響。為了避免變異指標(biāo)受到平均數(shù)的影響，將標(biāo)準(zhǔn)差除以平均數(shù)，形成變異係數(shù)。第一節(jié) 變異量數(shù) （12） 在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)裡，實(shí)驗(yàn)組接受了某種閱讀技巧訓(xùn)練，控制組則無，每組各10人。實(shí)驗(yàn)組的標(biāo)準(zhǔn)差3.52約為控制組7.01的一半，控制組的變異係數(shù)0.14不到實(shí)驗(yàn)組0.35的一半。 標(biāo)準(zhǔn)差 平均數(shù) 變異係數(shù) 實(shí)驗(yàn)組 6 6 7 8 9 10 11 12 13 18 3.52 10 0.35 控制組 38 43 45 46 50 50 52 56 57 63 7.01 50 0.1

7、4 第二節(jié) 各種變異量數(shù)的比較 （1） 全距的優(yōu)點(diǎn)在於計算容易，容易理解。缺點(diǎn)是只利用最大和最小值，完全漠視了其他值的存在，無法精確反應(yīng)所有資料的分散情形。 四分位距將極端的前1/4和後1/4去除，而利用第三個與第一個四分位數(shù)的差距來表示分散情形，因此避免了全距受到極端值影響的缺點(diǎn)。不過，四分位距的計算顯然不如全距來得方便，因?yàn)楸仨殞①Y料由小到大排序。和全距一樣，四分位距也沒使用到所有的資料點(diǎn)。 第二節(jié) 各種變異量數(shù)的比較 （2） 平均絕對離差則使用了全部的資料，這是比較恰當(dāng)?shù)淖鞣?。此外，平均絕對離差也蠻容易理解。不過，由於計算平均絕對離差必須先求絕對值，因此運(yùn)算並不方便。 標(biāo)準(zhǔn)差和平均絕對離

8、差的意義非常類似，因此不難理解。變異數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差還有方便四則運(yùn)算，以及可用以推估母體參數(shù)（母體變異數(shù)、母體標(biāo)準(zhǔn)差）的好處，因此是推論統(tǒng)計的基石。 第二節(jié) 各種變異量數(shù)的比較 （3） 變異數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差）比平均絕對離差容易受到極端值的影響，這是因?yàn)橛嬎阕儺悢?shù)時使用了平方的關(guān)係。 例如1, 2, 3, 4, 5的母體標(biāo)準(zhǔn)差為1.41，平均絕對離差為1.20，兩者頗為接近。如果資料是1, 2, 3, 4, 10，則兩者分別為3.16和2.40，可見標(biāo)準(zhǔn)差受到極端值的影響比平均絕對離差來得大。 變異係數(shù)可以消去平均數(shù)的影響，如果要比較兩種平均數(shù)差異很大的資料的分散情形，利用變異係數(shù)比用標(biāo)準(zhǔn)差來得恰當(dāng)了。 變

9、異量數(shù) 計算 理解 使用資料點(diǎn) 推論母體 全距 易 易 部份 無法 四分位距 易 易 部份 無法 平均絕對離差 難 難 全部 無法 標(biāo)準(zhǔn)差 難 難 全部 可以 第三節(jié) 柴氏不等式定理 （1） 柴氏不等式（Chebyshevs Inequality） 該定理表示：數(shù)值在平均數(shù)上下k個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的機(jī)率不小於1-1/k2。即 P(|X |) k 1 1/ k2 柴氏不等式定理適用於任何的分佈，包括間斷機(jī)率分佈和連續(xù)機(jī)率分佈，樣本和母體的分佈。 第三節(jié) 柴氏不等式定理 （2） 例如智商的平均數(shù) = 100，標(biāo)準(zhǔn)差 = 15，則數(shù)值在平均數(shù)100 1之內(nèi)（即介於85到115之間）的機(jī)率不小於0（=1-1

10、/12）。 數(shù)值在平均數(shù)100 2之內(nèi)（即介於70到130之間）的機(jī)率不小於3/4（=1-1/22）。 數(shù)值在平均數(shù)100 3之內(nèi)（即介於55到145之間）的機(jī)率不小於8/9（=1-1/32）。 第四節(jié) 分佈形狀 （1） 最佳描述資料的方法就是呈現(xiàn)所有的資料點(diǎn)，包括資料的分佈形狀，配合集中量數(shù)和變異量數(shù)，將更能完整呈現(xiàn)資料的特性。 例如調(diào)查100位中學(xué)生每週流連網(wǎng)路咖啡店的時數(shù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)平均數(shù)為5.68，標(biāo)準(zhǔn)差為5.77。看到這樣的數(shù)字，我們就會以為多數(shù)人每週花在網(wǎng)咖的時間為5到6小時。0510152025303540455002468101214時數(shù)頻率上圖稱為直方圖（histogram）。

11、直方圖類似長條圖，不過直方圖中的長條沒有空隙。這是因?yàn)橹狈綀D的X軸的變項(xiàng)是連續(xù)的量變項(xiàng)。 第四節(jié) 分佈形狀 （2） 隨著分佈形狀的改變，集中量數(shù)，如平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)三者的關(guān)係會有所變化。 圖 (a)呈現(xiàn)的是所有的資料數(shù)值都是一樣的次數(shù)，例如每週去網(wǎng)咖的時間為0、2、4、6、8、10、12、14小時的人數(shù)都是10人。此時平均數(shù)和中位數(shù)相同，但並無眾數(shù)。這稱為均勻分佈（uniform distribution）。 平均數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù) 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù) 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù) 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù) 眾數(shù) (a) (b) (c) (d) (e) 第四節(jié) 分佈形狀 （3） 如果分佈像圖 (b)所示，呈現(xiàn)左右對稱的單峰分佈（unimodal distribution），平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)三者相同。成年男性或女性的身高應(yīng)該都是這種單峰且對稱的分佈。 如果分佈如圖(c)，大部份的數(shù)值集中在右邊，成單峰分佈，則眾數(shù)大於中位數(shù)，中位數(shù)大於平均數(shù)。這種分佈又稱為左偏態(tài)分佈或負(fù)偏態(tài)分佈（negatively skewed distribution），因?yàn)樽筮叺奈舶秃荛L。第四節(jié) 分佈形狀 （4） 如果分佈如圖(d)，大部份的數(shù)值集中在左邊