第三章貝葉斯估計理論(LMMSE和小結(jié))

1、信號檢測與估計信號檢測與估計Signal Detection and Estimation貝葉斯估計理論LMMSE和小結(jié)羅義軍QQ:896442923貝葉斯估計理論內(nèi)容安排主要內(nèi)容主要內(nèi)容引言引言線性貝葉斯估計量（線性貝葉斯估計量（LMMSE）估計量總結(jié)估計量總結(jié)一般貝葉斯估計量選擇估計量使得平均代價（貝葉斯風(fēng)險）最小對給定代價函數(shù)，可得最優(yōu)估計量的形式三種代價函數(shù)圖11.2 不同代價函數(shù)的估計量最小均方誤差（MMSE）估計最大后驗概率（MAP）估計條件中位數(shù)估計LMMSE的引入MMSE含有多重積分，MAP含有多維最大值求解問題。聯(lián)合高斯假設(shè)條件下容易得到，一般情況下難以求得不能做出高斯假定時

2、，選擇保留MMSE準(zhǔn)則 限定估計量線性LMMSE估計類似于BLUE估計量的顯式可由前兩階矩來確定卡爾曼濾波器是維納濾波器的重要推廣貝葉斯估計理論內(nèi)容安排主要內(nèi)容主要內(nèi)容引言引言線性貝葉斯估計量（線性貝葉斯估計量（LMMSE）估計量總結(jié)估計量總結(jié)線性MMSE估計假定標(biāo)量參數(shù)給定數(shù)據(jù)矢量假定：聯(lián)合PDF未知；已知前兩階矩； X與統(tǒng)計相關(guān)目標(biāo)：求滿足如下形式的最佳估計量選擇加權(quán)系數(shù) 使貝葉斯MSE最小，導(dǎo)出的估計量稱為LMMSE估計量最佳加權(quán)系數(shù)的推導(dǎo)代入得對 求偏導(dǎo)數(shù)，代入可得這里標(biāo)量！展開可得對加權(quán)系數(shù) 求偏導(dǎo)可得注意：LMMSE估計僅需1階和2階矩，不需PDF代入并化簡可得若 和 統(tǒng)計獨立，則

3、完全基于先驗信息，數(shù)據(jù)無用例12.1 WGN中具有均勻先驗PDF的DC電平若 ，00 ,AuA A需要積分而無法得到閉合形式的解因此，采用LMMSE回顧例10.11N幾何解釋l內(nèi)積空間(IP Spaces)l矢量：全部隨機變量集合/0均值、有限方差（ZMFV）l標(biāo)量：全部實數(shù)集合l內(nèi)積： = EXYl構(gòu)成內(nèi)積空間首先：是矢量空間l用于估計標(biāo)量隨機變量l由N個隨機變量的線性組合進行估計應(yīng)用正交原理假定 可逆矢量LMMSE估計待估參數(shù)線性估計量目標(biāo)：對每個元素，使 最小可將矩陣A的第i行和矢量a第i個元素，看成 的標(biāo)量LMMSE估計量的形式已知每個待估參數(shù)的標(biāo)量LMMSE形式得出相應(yīng)的解 組合為矢

4、量形式 矢量LMMSE的解矢量LMMSE估計若相似地，可得 矩陣LMMSE估計量的兩個性質(zhì)l1. 在線性變換上是可以轉(zhuǎn)換的 若 且 為LMMSE估計量， 則 為 的LMMSE估計量l2. 未知參數(shù)之和的LMMSE估計量是每個估計量之和 若 則貝葉斯高斯-馬爾可夫定理令數(shù)據(jù)為應(yīng)用前面的結(jié)果，可得與貝葉斯線性估計（已包含高斯假定）形式相同除非最佳估計線性，通常為次佳估計LMMSE只需得到均值和協(xié)方差矩陣則若定理4.2一般線性模型的MVUE定理11.1貝葉斯線性模型下MMSE估計序貫LMMSE估計與序貫LS方法相同固定參數(shù)個數(shù)（在此為隨機的），增加數(shù)據(jù)樣本數(shù)目數(shù)據(jù)模型目標(biāo)： 給定基于 的估計 ，當(dāng)新

5、的數(shù)據(jù)樣本 到達時，更新估計到求序貫LMMSEl在此，我們利用矢量空間得到“白噪聲中的直流電平”的解，再推廣到一般情況假定 和 均為0均值，給定 ，其LMMSE估計再由 尋求該估計的序貫更新看作矢量空間首先估計新數(shù)據(jù) ，即求利用正交原理由 提供的新的非冗余信息，稱為“新息”由舊數(shù)據(jù)，估計新數(shù)據(jù)預(yù)測A在誤差矢量上的投影正是所求的修正項回顧特性：新息序列新息序列是：推導(dǎo)和應(yīng)用序貫LMMSE的關(guān)鍵正交的（即不相關(guān)的）矢量序列1. 在信號處理和控制中非常重要一般序貫LMMSE估計 初始化：無數(shù)據(jù)，利用先驗信息 估計量更新： 序貫LMMSE框圖框圖與序貫LS相同 回顧貝葉斯MSE最小的估計量稱為LMMS

6、E估計量 注意：LMMSE估計僅需1階和2階矩，不需PDFl矢量：全部隨機變量集合/0均值、有限方差（ZMFV）l標(biāo)量：全部實數(shù)集合l內(nèi)積： = EXYl構(gòu)成內(nèi)積空間上節(jié)課回顧上節(jié)課回顧矢量LMMSE估計若 矩陣上節(jié)課回顧 初始化：無數(shù)據(jù)，利用先驗信息 估計量更新： 一般序貫LMMSE估計信號處理的例子維納濾波器信號模型：問題表述：用線性濾波器處理 ，得到去噪的信號，使得所求信號相關(guān)的 最小WSS廣義平穩(wěn)濾波、平滑、預(yù)測FIR維納濾波原理上：實際中：IIR維納濾波可看作 ，此時維納濾波為時不變的則維納-霍夫等式為可采用 “譜因式分解”求得維納濾波為IIR時不變的定長FIR維納濾波數(shù)據(jù)：FIR平滑器為便于解釋，考慮N=1的情況：IIR平滑器基于數(shù)據(jù) 估計維納-霍夫方程為：IIR維納濾波1步預(yù)測的結(jié)果：對于自回歸AR（3）貝葉斯估計理論內(nèi)容安排主要內(nèi)容主要內(nèi)容引言引言線性貝葉斯估計量（線性貝葉斯估計量（LMMSE）估計量總結(jié)估計量總結(jié)估計方法l在經(jīng)典方法 中，數(shù)據(jù)信息總結(jié)在概率密度函數(shù)p(x;)中，其中PDF是的函數(shù)。l在貝葉斯方法 中，由于先驗PDFp()描述了有關(guān)的知識而增加了數(shù)據(jù)的信息。數(shù)據(jù)信息總結(jié)