一階線(xiàn)性常系數(shù)雙曲性方程的有限差分方法的研究2012.5.3

1、 引言 主要討論雙曲性方程及雙曲性方程組的差分方法。從簡(jiǎn)單的一屆線(xiàn)性雙曲型方程開(kāi)始，構(gòu)造差分格式，分析其穩(wěn)定性及其他性質(zhì)，然后推廣到一屆線(xiàn)性雙曲性方程組。雙曲方程與 橢圓方程，拋物方程的重要區(qū)別，是雙曲方程具有特征和特征關(guān)系，其解對(duì)初值有局部依賴(lài)性質(zhì)。 初值的函數(shù)性質(zhì)（如間斷，弱間斷等）也沿特征傳播，因而解一般無(wú)光滑性，迄今已發(fā)展許多逼近雙曲方程的差分格式，這里只介紹常見(jiàn)的九種方法，討論了各種求解方法，分析了其性質(zhì)，最后對(duì)初邊值問(wèn)題及二維問(wèn)題進(jìn)行了討論。1 一階線(xiàn)性常系數(shù)雙曲型方程先考慮線(xiàn)性常系數(shù)方程 ,t>0 其中a為給定常數(shù)，這是最簡(jiǎn)單的雙曲型方程，一般稱(chēng)其為對(duì)流方程。雖然（1.1）

2、式非常簡(jiǎn)單，但是其差分格式的構(gòu)造以及差分格式性質(zhì)的討論是討論復(fù)雜的雙曲型方程和方程組的基礎(chǔ)。它的差分格式可以推廣到變系數(shù)方程，方程組以及擬線(xiàn)性方程和方程組。對(duì)于方程（1.1）附以初始條件 u(x,0)=u(x), 在第一章中討論了初值問(wèn)題（1.1），（1.2）式的解，其解沿方程（1.1）的特征線(xiàn) 是常數(shù)，并可表示為 下面討論雙曲性方程的應(yīng)風(fēng)格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-wendroff格式，Courant-Friedrichs-Lewy條件利用偏微分方程的特征線(xiàn)來(lái)構(gòu)造有限差分格式，蛙跳格式，數(shù)值例子。1.1 迎風(fēng)格式 迎風(fēng)格式在實(shí)際計(jì)算中引起了普遍的重視，從而產(chǎn)生了很多好的方

3、法和技巧。迎風(fēng)各式的 基本思想是簡(jiǎn)單的，就是在雙曲型方程中關(guān)于空間偏導(dǎo)數(shù)用在特征線(xiàn)方向一側(cè)的單邊差商來(lái)代替，（1.1）式的迎風(fēng)各式是 , a>0 的截?cái)嗾`差和穩(wěn)定性: , a>0 / (兩邊乘于）,得 + 所以 截?cái)嗾`差為 迎風(fēng)格式對(duì)一階精度,對(duì)一階精度.當(dāng)時(shí),故迎風(fēng)格式相容. 下面討論迎風(fēng)格式（1.4)的穩(wěn)定性：先把差分格式變化為便于計(jì)算的形式 0 其中網(wǎng)格式 令 則 = 4 當(dāng) 時(shí)原差分格式是穩(wěn)定的。所以迎風(fēng)格式（1.4）是條件穩(wěn)定。根據(jù)Lax等價(jià)定理,迎風(fēng)格式的收斂性條件為. 迎風(fēng)格式 的截?cái)嗾`差和穩(wěn)定性： , 兩邊除于, 得 (兩邊乘于）得 + =所以 =截?cái)嗾`差為 迎風(fēng)格

4、式 的穩(wěn)定性：將方程改變便于計(jì)算的形式： 令 所以 () 2 1222 122 144 當(dāng)差分格式時(shí)（1.5）是穩(wěn)定的例 討論差分格式 的截?cái)嗾`差和穩(wěn)定性解 截?cái)嗾` 因?yàn)?所以 + T(x , t) 所以 差分格式 的截?cái)嗾`差為 即差分格式是一階精度的。 討論它的穩(wěn)定性: 先把差分格式 改寫(xiě)為 令 并將其代入時(shí)有 由于a<0 所以取=0 差分格式 是絕對(duì)不穩(wěn)定的。 1.2 Lax-Friedrichs格式 討論逼近對(duì)流方程（1.1）的一個(gè)中心差分格式 的截?cái)嗾`差和穩(wěn)定性L(fǎng)ax-Friedrich s格式的截?cái)嗾`差： （兩邊乘于）得 + 因?yàn)?所以 T(x , t) 差分格式（1.8）的截

5、斷誤差為 . 討論（1.8）穩(wěn)定性先把差分格式（1.8）改寫(xiě)為 （）0 （其中） 令 并將其代入則有 1 1 1 （） 所以 差分格式（1.8）是絕對(duì)不穩(wěn)定的。 1.3 Lax -Wendroff 格式 前面討論的應(yīng)風(fēng)格是和Lax-Friedrichs格式是一階精度的差分格式。1960年Lax-Friedrichs構(gòu)造出一個(gè)二階精度的二層格式，這個(gè)差分格式在實(shí)際計(jì)算中得到了充分的重視。這個(gè)格式的構(gòu)造與前面格式的推導(dǎo)有不同，采用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)之外，還用到微分方程本身。 設(shè)是微分方程（1.1）的光滑解，將在點(diǎn)處做Taylor展開(kāi) 利用微分方程（1.1）有 ， 把這兩式代入前式有 ： 再采用中

6、心差商逼近上式中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，有 因此得到 略去高階項(xiàng)，可以得到如下的差分格式 （1.14）的截?cái)嗾`差和穩(wěn)定性截?cái)嗾`差： 從差分格式的構(gòu)造可以看出（1.14）是二階精度的差分格式。其節(jié)點(diǎn)分布差分格式（1.14）稱(chēng)為L(zhǎng)ax-Friedrichs格式。容易求出差分格式（1.14）的增長(zhǎng)因子為 1 于是，如果滿(mǎn)足條件 那么有所以L(fǎng)ax - wendroff 格式的穩(wěn)定性條件為（1.15）式 1.4 Courant-Friedrichs-Lewy條件 先分析差分格式的解依賴(lài)區(qū)域，然后從差分格式解的依賴(lài)區(qū)域和對(duì)流方程初值問(wèn)題解的依賴(lài)區(qū)域的關(guān)系推導(dǎo)出差分格式收斂的一個(gè)必要條件。這個(gè)條Courant-Fried

7、richs-Lewy條件或稱(chēng)C,F,L條件，也又稱(chēng)為Courant條件。為確定起見(jiàn)，令微分方程（1.1）中的常數(shù)a>0.差分格式采用Lax-wendroff格式作為例子進(jìn)行分析為了計(jì)算，要用到，；而為計(jì)算這3個(gè)值，又要用到，。如此遞推下去，為了計(jì)算，就要用到，見(jiàn)圖（3.4）這說(shuō)明計(jì)算僅依賴(lài)于微分方程（1.1）的初值（1.2）在區(qū)間上的網(wǎng)格點(diǎn)，,上的值， ，稱(chēng)區(qū)域上所有網(wǎng)格點(diǎn)為差分格式的解在點(diǎn)的依賴(lài)區(qū)域 差分格式的解收斂到微分方程初值問(wèn)題的解的必要條件為，即差分格式解的依賴(lài)區(qū)域端點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)間必須包含相應(yīng)的偏微分方程初值問(wèn)題的依賴(lài)區(qū)域。簡(jiǎn)單地說(shuō)，差分格式的依賴(lài)區(qū)域包含偏微分方程初值問(wèn)題的依賴(lài)

8、區(qū)域。這個(gè)條件成為Courant-Friedrichs-Lriedrichs-Lewy 條件。 1.5 利用偏微分方程的特征線(xiàn)來(lái)構(gòu)造有限差分格式 特征線(xiàn)概念在雙曲型方程中有很重要作用。借助于雙曲性方程的解在特征線(xiàn)上為常數(shù)這一事實(shí)，可以構(gòu)造出（1.1）式,（1.2）式的各種差分格式。為確定起見(jiàn)設(shè)在時(shí)間層上網(wǎng)格點(diǎn)A，B，C和D上u的值 已給定（已計(jì)算出的近似值或初值）。要計(jì)算出在時(shí)間層上的網(wǎng)格點(diǎn) 上的值，見(jiàn)圖（1.5）.假定C，F(xiàn) ，L條件成立。那么過(guò)點(diǎn)特征線(xiàn)與BC 交于點(diǎn)Q，由微分方程解的性質(zhì)知，但當(dāng)Q不是網(wǎng)格點(diǎn)時(shí)，是未知的由于， 和為時(shí)間層上網(wǎng)格點(diǎn)上值已給定，因此可用插值方法給出 的近似值利用

9、B，C兩點(diǎn)上的值進(jìn)行線(xiàn)性插值就可以得到 由此可推導(dǎo)出差分格式 其中 ，這就是迎風(fēng)格式，如果改用B，D兩點(diǎn)進(jìn)行線(xiàn)性插值，則有 由此得到 我們可以把此式改寫(xiě)為 立即可以看出，這是Lax-Friedrichs格式. 1.6蛙跳格式 下面考慮逼近對(duì)流方程（1.1）的一個(gè)三層格式 此格式的節(jié)點(diǎn)分布如圖（1.6）。這個(gè)差分格式稱(chēng)為蛙條格式。容易看出這是一個(gè)二階精度的格式?？梢园眩?.18）式寫(xiě)成便于計(jì)算的形成 其中 ，在計(jì)算時(shí)，初值（ ）的離散處，還要用一個(gè)二層格式計(jì)算出 那一層值 ，由于（1.18）式比Lax-wendroff格式，Beam-warming格式要簡(jiǎn)單。下面討論蛙條格式（1.18）的穩(wěn)定性

10、: (） （） 等式兩邊除于得： （） （） 等式兩邊乘上得： （） 因?yàn)?T(x ,t) 截?cái)嗾`差為： T(x , t) 證畢. 由于 令 ， 用 Fourier 方法 令 并將其代入上式就可得到增長(zhǎng)矩陣 （） （） 所以增長(zhǎng)矩陣為 。它的特征值為 如果 ，則有因此，當(dāng)時(shí)，如當(dāng),那么 當(dāng)時(shí)，那么 ， 由此得出 .從而知，當(dāng)時(shí)，蛙跳格式不穩(wěn)定.1.7數(shù)值例子 考慮初值問(wèn)題 其中 取h=0.01，用 Lax-Friedrich s格式，迎風(fēng)格式，Lax-wendroff格式以及Beam-warming格式，計(jì)算至 時(shí)，計(jì)算結(jié)果與初值問(wèn)題的解析解見(jiàn)圖 。對(duì)于前兩個(gè)格式 （Lax-Friedrich s格式和迎風(fēng)格式）把解抹平了。而后兩個(gè)格式（Lax-wendroff格式和Beam-warming格式）出現(xiàn)了振蕩。這些現(xiàn)象的出現(xiàn)是這些格式的正?，F(xiàn)象。在擬線(xiàn)雙曲型方程組的間斷解計(jì)算中為消去此類(lèi)現(xiàn)象已研究出了很多良好的方法。 總結(jié)： 參考文獻(xiàn) 陸金甫,關(guān)治.偏微分方程數(shù)值解法.北京：清華大學(xué)出版社，2010,53-58頁(yè) 李榮華.偏微分方程數(shù)值解法，北京：高等教育出版社，2005 致謝 在喀什師范學(xué)院的教育下經(jīng)過(guò)五年的學(xué)習(xí)，使我在做人做事各個(gè)方面得到了很大的提高。在