《第13章-三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明》學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、 安徽滁州市第五中學(xué)胡大柱 打造中國(guó)一流的學(xué)習(xí)資料?第13章 三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明?學(xué)習(xí)要求：1理解三角形的角平分線、中線、高線的概念及性質(zhì)。會(huì)用刻度尺和量角器畫(huà)出任意三角形的角平分線、中線和高。2掌握三角形的分類(lèi)，理解并掌握三角形的三邊關(guān)系。3掌握三角形內(nèi)角和定理及推論，三角形的外角性質(zhì)與外角和。4了解三角形的穩(wěn)定性。知識(shí)要點(diǎn)：一、三角形中的邊角關(guān)系1三角形有三條內(nèi)角平分線，三條中線，三條高線，它們都相交于一點(diǎn)。注意：三角形的中線平分三角形的面積。2. 三角形三邊間的不等關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。   注意：判斷三條

2、線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形時(shí)，就看這三條線段是否滿足任何兩邊之和大于第三邊，其簡(jiǎn)便方法是看兩條較短線段的和是否大于第三條最長(zhǎng)的線段。3三角形各角之間的關(guān)系：    三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180°。    三角形的外角和等于360°每個(gè)頂點(diǎn)處只取一個(gè)外角；    三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；    三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。4三角形的分類(lèi)三角形按邊的關(guān)系可以如下分類(lèi)：三角形按角的關(guān)系可以如下分類(lèi)：5三角形具

3、有穩(wěn)定性。知識(shí)結(jié)構(gòu)：二、命題與證明1判斷一件事情的句子是命題，疑問(wèn)句、感慨句不是命題，計(jì)算不是命題，畫(huà)法不是命題。2命題都可以寫(xiě)成：“如果，那么。的形式。為了語(yǔ)句通順往往要加“字，但不改變順序。3命題由題設(shè)、結(jié)論兩局部組成?！叭绻竺娴氖穷}設(shè)，“那么后面的是結(jié)論。4命題分為真命題和假命題。真命題需要證明，假命題只要舉出一個(gè)反例。5將命題的題設(shè)和結(jié)論交換就得到原命題的逆命題。逆命題可真可假。6公理和定理都是真命題，公理不需要證明，定理必須證明。7定理的逆命題如是真命題就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命題。8命題的證明方法和步驟。證明需要掌握的判定與性質(zhì)：1兩直線平行同位角相

4、等。同位角相等兩直線平行。2兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)。內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行。同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行。3角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。4線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。5三角形內(nèi)角和定理和推論。三角形中位線定理。6三角形全等：“SSS、“SAS、“ASA。全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。7等腰三角形的判定與性質(zhì)。8直角三角形的判定與性質(zhì)。9反證法假設(shè)，推理，矛盾，結(jié)論。?第13章 三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明?練習(xí)題一、填空題：1三角形的一邊是8，另一邊是1，第三邊如果是整數(shù)，那么第三邊是_ _，這個(gè)三角形是_ _三角形。2三角形兩邊的長(zhǎng)分別為1和

5、2，如果第三邊的長(zhǎng)也是整數(shù)，那么第三邊的長(zhǎng)為_(kāi) _。3三角形的三邊長(zhǎng)分別為，那么的取值范圍是_ _。4三角形的三邊為，那么的取值范圍是_ _。5a，b，c為ABC的三條邊，化簡(jiǎn)|bac|_ _。6在ABC中，ABAC，AD是中線，ABC的周長(zhǎng)為34cm，ABD的周長(zhǎng)為30cm， 求AD的長(zhǎng)。7如圖，CE平分ACB，且CEDB，DABDBA，AC18cm，CBD的周長(zhǎng)為28 cm，那么DB_ _。8. 等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和9，那么第三邊的長(zhǎng)為_(kāi) _。9. 等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm， 1假設(shè)其中一邊長(zhǎng)為6cm，那么腰長(zhǎng)為_(kāi) _；2假設(shè)其中一邊長(zhǎng)為5cm，那么腰長(zhǎng)為_(kāi) _。10等腰ABC中，

6、ABAC，BC6cm，那么ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是_ _。11等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為15厘米和6厘米兩局部，那么此三角形的底邊長(zhǎng)為_(kāi) _。12等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為15厘米和11厘米兩局部，那么此三角形的底邊長(zhǎng)為_(kāi) _。13寫(xiě)出“等腰三角形兩底角相等的逆命題_。14一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為14，那么這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為_(kāi) _。15三角形的最小角不大于_ _度，最大角不小于_ _度。16三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有_ _個(gè)銳角，三個(gè)外角中最多有_ _個(gè)銳角。17在ABC中，假設(shè)C2AB，那么C_ _度。18在ABC中，A BC，那么B_ _。

7、19如果ABC的一個(gè)外角等于150°，且BC，那么A_ _。20如圖，120°，225°，A50°，那么BDC的度數(shù)是_ _。21如圖，在ABC中，A80°，ABC和ACB的外角平分線相交于點(diǎn)D，那么BDC_ _。22紙片ABC中，A65°，B75°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在ABC內(nèi)如圖，假設(shè)120°，那么2的度數(shù)為_(kāi) _。第20題圖 第21題圖 第22題圖23紙片ABC中，A65°，B75°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在ABC外如圖，假設(shè)220°，那么1的度數(shù)為_(kāi) _。24認(rèn)真閱

8、讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾的探究片段，完成所提出的問(wèn)題。探究1：如圖1，在ABC中，O是ABC與ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)BOC90° A，理由如下：BO和CO分別是ABC和ACB的角平分線，1ABC，2ACB12 (ABCACB)又ABCACB180°A12 (180 °A)90°ABOC180°12180°90°A90°A。探究2：如圖2中，O是ABC與外角ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析BOC與A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。探究3：如圖3中，O是外角DBC與外角ECB的平

9、分線BO和CO的交點(diǎn)，那么BOC與A有怎樣的關(guān)系？只寫(xiě)結(jié)論，不需證明。結(jié)論： 。 25如圖，A80°，1假設(shè)點(diǎn)O為兩角平分線的交點(diǎn)，那么BOC_ _；2假設(shè)點(diǎn)O為兩條高的交點(diǎn)，BOC_ _。26. 如圖，ABC的面積等于，D為AB的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，且AE2EC，O為DC與BE交點(diǎn)，假設(shè)DBO的面積為，CEO的面積為，那么_ _。27如圖，ABC的B的外角的平分線與C的外角的平分線交于點(diǎn)P，連接AP。假設(shè)BPC50°，那么PAC_ _度。第25題圖 第26題圖 第27題圖202728如圖，ABC的外角ACD的平分線CP與內(nèi)角ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，假設(shè)BPC40&

10、#176;，那么CAP_ _度。二、選擇題：1在以下長(zhǎng)度的四根木棒中，能與3cm，7cm兩根木棒圍成一個(gè)三角形的 A7cm B4cm C3cm D10cm2假設(shè)ABC的三邊長(zhǎng)分別為整數(shù)，周長(zhǎng)為11，且有一邊為4，那么這個(gè)三角形的最大邊長(zhǎng)為 A.7 B.6 C.5 D.43假設(shè)ABC的三邊之長(zhǎng)都是整數(shù)，周長(zhǎng)小于10，那么這樣的三角形共有 A6個(gè) B7個(gè) C8個(gè) D9個(gè)4三角形的三邊分別為3，12a，8，那么a的取值范圍是 A.6a3 B.5a2 C.2a5 D.a5或a25. 一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為奇數(shù)，其中兩條邊長(zhǎng)分別為4和2021，那么滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)是   

11、    A. 3               B. 4               C. 5               D. 66四條線段的長(zhǎng)度分別

12、為4、6、8、10，可以組成三角形的組數(shù)為A.4 B.3 C.2 D.17等腰三角形一腰上的中線分周長(zhǎng)為15和12兩局部，那么此三角形底邊之長(zhǎng)為 A7 B11 C7或11 D不能確定8一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為237，這個(gè)三角形一定是 A直角三角形 B等腰三角形 C銳角三角形 D鈍角三角形9一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比是156，那么其最大內(nèi)角的度數(shù) A60° B75° C90° D120°10如果三角形的一個(gè)內(nèi)角等于其它兩個(gè)內(nèi)角的和，這個(gè)三角形是 A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D. 斜三角形11三角形的一個(gè)外角大于相鄰的一個(gè)內(nèi)角，那么

13、它是 A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定12在ABC中，如果AB90°，那么ABC是 A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.斜三角形13. 三角形中，最大角的取值范圍是    A.         B.  C.        D. 14在ABC中，ABAC，D在AC上，且BDBCAD，那么A的度數(shù)為 A30° B36° C45° D72°

14、15直角三角形的兩個(gè)銳角的平分線所交成的角的度數(shù)是 A.45° B.135° C.45°或135° D.以上答案都不對(duì)16如圖，ABC中，A50°，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，那么12的大小為 A130° B.230° C.180° D.310°17如圖，A32°，B45°，C38°那么DFE等于 A.120° B.115° C.110° D.105°ADB1CE2第16題圖 第17題圖18在ABC中，B50°，ABAC，那么

15、A的取值范圍是 A0°A180° B0°A800C50°A130° D80°A130°19假設(shè)、是三角形的三個(gè)內(nèi)角，而，那么、中，銳角的個(gè)數(shù)的錯(cuò)誤判斷是 C A可能沒(méi)有銳角 B可能有一個(gè)銳角C可能有兩個(gè)銳角 D最多一個(gè)銳角20如果三角形的一個(gè)外角等于它相鄰內(nèi)角的2倍，且等于它不相鄰內(nèi)角的4倍，那么這個(gè)三角形一定是 A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D正三角形21在ABC中如圖1，假設(shè)P點(diǎn)是ABC和ACB的角平分線的交點(diǎn)，那么P90°A；如圖2，假設(shè)P點(diǎn)是ABC和外角ACE的角平分線的交點(diǎn)，那么PA；如圖3，

16、假設(shè)P點(diǎn)是外角CBF和BCE的角平分線的交點(diǎn)，那么P90°A。上述說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是 A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)22. 如下圖，在ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、AD、CE 的中點(diǎn)，且，那么S陰影等于 A.2cm2 B.1cm2 C 2 D 223如圖，ABC為直角三角形，C90°，假設(shè)沿圖中虛線剪去C，那么12等于 A315° B270° C180° D135°5. 如圖，在ABC中，D是BC上一點(diǎn)，假設(shè)BC，13，那么1與2的關(guān)系為    A. 122   

17、0;                B. 212180°C. 132180°         D. 312180°24. 如圖，在ABC中，D是BC上一點(diǎn)，假設(shè)BC，13，那么1與2的關(guān)系為        A. 122     &

18、#160;              B. C.          D. 第22題圖 第23題圖 第24題圖25如圖，把ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE外部A/的位置，那么A、1與2的數(shù)量關(guān)系，結(jié)論正確是A12A B1222AC212A D12A226如圖，ABC的兩個(gè)外角的平分線相交于D，假設(shè)B50°，那么ADCA60° B80° C65&#

19、176; D40°27如圖，ABC的外角平分線CP和內(nèi)角平分線BP相交于點(diǎn)P，假設(shè)BPC35°，那么CAPA.45° B.50° C.55° D.65°第25題圖 第26題圖 第27題圖三、解答以下各題： 1ABC的三邊長(zhǎng)分別為4、9、x，求x的取值范圍；求ABC周長(zhǎng)的取值范圍；當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，求x；當(dāng)ABC的周長(zhǎng)為偶數(shù)時(shí)，求x；當(dāng)ABC周長(zhǎng)是5的倍數(shù)時(shí)，求x；假設(shè)ABC為等腰三角形，求x。2ABC的三條邊為整數(shù)，且，求的值。3對(duì)于同一平面內(nèi)的三條直線a、b、c，給出以下五個(gè)論斷：1ab；2bc；3ab；4ac；5ac。以其中兩個(gè)論斷為

20、條件，一個(gè)論斷為結(jié)論，組成一個(gè)你認(rèn)為正確的命題。4證明：兩條平行直線被第三條直線所截，一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直。5有5根木條，其長(zhǎng)度分別為4，8，8，10，12，用其中三根可以組成幾種不同形狀的三角形？6如圖，在ABC中，A96°，延長(zhǎng)BC到D，ABC與ACD的平分線相交于，BC與CD的平分線相交于，依此類(lèi)推，BC與CD的平分線相交于，那么的大小是多少？7在ABC中，A50°，高BE，CF所在的直線交于點(diǎn)O，求BOC的度數(shù)。 81如圖a，在ABC中，CB，ADBC于D，AE平分BAC，那么EAD與B，C有何數(shù)量關(guān)系？    2如圖b，AE平

21、分BAC，F(xiàn)為其上一點(diǎn)，且FDBC于D，這時(shí)EFD與B、C又有何數(shù)量關(guān)系？    3如圖c，AE平分BAC，F(xiàn)為AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)DBC于D，這時(shí)AFD與B、C又有何數(shù)量關(guān)系？    9如圖，P為ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：BPC A；BPCABPAACP；ABACPBPC。10. 如圖中的幾個(gè)圖形是五角星和它的變形  1圖1中是一個(gè)五角星，求ABCDE。  2圖1中點(diǎn)A向下移到BE上，五個(gè)角的和有無(wú)變化？即CADBCDE如圖2，說(shuō)明你的結(jié)論的正確性。  3把圖2中點(diǎn)C向上移動(dòng)到BD上，

22、五個(gè)角的和即CADBACEDE有無(wú)變化？如圖3，說(shuō)明你的結(jié)論的正確性。11如圖ABC中，B和C外角平分線相交于點(diǎn)P。1假設(shè)ABC30°，ACB70°，求BPC度數(shù)。2假設(shè)ABC，BPC，求ACB度數(shù)。12ABC是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)D、E分別是ABC邊上的兩點(diǎn)。1如果紙片沿直線腳折疊，使點(diǎn)A正好落在線段AC上，如圖1，此時(shí)A與BDA的關(guān)系是 ；2如果紙片沿直線DE折疊，使點(diǎn)A落在ABC的內(nèi)部，如圖2，試猜測(cè)A和BDA、CEA的關(guān)系是 BDA+CEA=2A；3如果紙片沿直線DE折疊，使點(diǎn)A落在ABC的外部，如圖3，那么此時(shí)A和BDA、CEA的關(guān)系是 BDA-CEA=2A，請(qǐng)說(shuō)

23、明理由。13如下圖，BE、CD交于A點(diǎn)，C和E的平分線相交于F。1試求：F與B，D有何等量關(guān)系？2當(dāng)BDF24x時(shí)，x為多少？14假設(shè)ABC的三邊之長(zhǎng)都是整數(shù)，周長(zhǎng)小于10，那么這樣的三角形共有幾個(gè)？15有一位同學(xué)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)書(shū)上看到這樣一道題：“ABC的三邊長(zhǎng)分別是a，b，c。且a、b、c的值滿足等式|bc2a|bc520，求b的取值在什么范圍？。你能解答這道題嗎？16在 ABC中，ABC ，且A4C，求B的范圍。17在ABC中，A是最大角，C是最小角，且A2C，求C的取值范圍。?第13章 三角形中的邊角關(guān)系?練習(xí)題答案一、填空題：18，等腰。 22。 3。 4 52b2c。 6AD13c

24、m。 78cm； 8. 9。9.16cm或7cm；2cm。 10周長(zhǎng)12。 111。 1210厘米或厘米。 13有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形； 1420°或120°； 1560，60； 162，1； 17120°； 1860°； 1930°或120°； 2095°； 2150°； 22解：如圖，CEFCFECABC，CEFCFEAB85°55°140°，又將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在ABC內(nèi)，CEFCFCEFCFE140°，CECCEC140°140°

25、280°，120°，2180°×2CECCEC1360°280°20°60°故答案為：60。23解：如圖，A65°，B75°，C180°AB180°65°75°40°；又將三角形紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在ABC外，CC40°，而325C180°，54C440°，220°，320°440°40°180°，3480°，1180°80°100&

26、#176;。故答案為100。24BOCA，BOC90°A； 25. 1130°；2100°或80°； 26. 2； 27解：延長(zhǎng)BA，做PNAD，PFBA，PMBC，設(shè)PCDx°，CP平分ACD，BCPPCDx°，PMPN，BP平分ABC，ABPPBC，PFPN，PFPM，APC50°，BAPPACx50°，ABCBCDBAC2x°x°50°x°50°100°，CBF100°，在RtPFB和RtPMB中，PAPA，PMPF，RtPFBRtPMB，

27、FAPPAC40°。2850°。二、選擇題：1.A 2.C 3. D 4.B 5. B 6.C 7.C 8.D 9.C 10.C 11.D 12.B 13. C 14.B 15.C 16.B 17.B 18.B 19.C 20.B 21.C 22.A 23.B 24.D 25.D 26C 27C?？键c(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理。分析：根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出CAPFAP，即可得出答案。解：延長(zhǎng)BA，作PNBD，PFBA，PMAC，設(shè)PCDx°，CP平分ACD，ACPPCDx°，PMPN，BP平分ABC

28、，ABPPBC，PFPN，PFPM，BPC35°，ABPPBCx35°，BACACDABC2x°x°35°x°35°70°，CAF110°，在RtPFA和RtPMA中，PAPA，PMPF，RtPFARtPMA，F(xiàn)APPAC55°。應(yīng)選C。三、解答以下各題：15x13；18ABC的周長(zhǎng)26；當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)， x6、8、10、12；當(dāng)ABC的周長(zhǎng)為偶數(shù)時(shí)， x7、9、11；當(dāng)ABC周長(zhǎng)是5的倍數(shù)時(shí)，x7、12；假設(shè)ABC為等腰三角形，x9。2，那么整數(shù)。3答案不惟一，如果，那么；如果，那么；如果，那么

29、等。4要畫(huà)圖，寫(xiě)、求證、證明。56種4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、1263°。7BOC50°或130°；8解：1ADBC，ADC90°， CAD90°C AE平分BAC， EACBAC，BAC180°B CEAC180°B C90°B C，EADEAC CAD90°B C90°C (CB)。    2如圖b，過(guò)A作AGBC于G，由1知EAG(CB)。AGBC，F(xiàn)DBC，AGCFDG90°，F(xiàn)DAG，EFDEAG，EFD(CB)。    3如圖c，過(guò)點(diǎn)A作AGBC于G，由1知EAG(CB)。AGBC，F(xiàn)DBC，AGBFDC90°，F(xiàn)DAB，AFDEAG，AFD(CB)。    說(shuō)明：在處理三角形中角的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)需要從整體出發(fā)進(jìn)行思考，有時(shí)也可以通過(guò)適當(dāng)添加輔助線使未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已解決的問(wèn)題，像此題這種類(lèi)型的題目，既要看到圖形的變化，又要抓住變化中的內(nèi)在聯(lián)系。9延長(zhǎng)BP交AC于D。BPCPDCA；BPCPDCACP；PDCAABP；BPCAABPACP。ABADBD。PDDCPC。ABADPDDCBDPC。