32 三角形內(nèi)角和定理的證明

1、精 華 名 師 輔 導(dǎo)教學(xué)內(nèi)容：三角形內(nèi)角和定理的證明【基礎(chǔ)知識精講】1.內(nèi)角和定理及推論定理：三角形三個內(nèi)角之和等于180.已知ABC，求證A+B+C=180(圖3.3-1)圖3.3-1分析 本題要添設(shè)輔助線，而輔助線的出現(xiàn)不是突發(fā)奇想得到的，而是按已知，結(jié)合求證及結(jié)論逐步分析后水到渠成的.要證內(nèi)角和180，可先找到一個180，而三角形內(nèi)、外角和180，這樣，第一條輔助線延長BC至D就自然出現(xiàn)，現(xiàn)將問題轉(zhuǎn)化為證A+B=ACD.可考慮在ACD內(nèi)作一個ACE=A，若可行則CEAB.進(jìn)而ECD=B，從而證得結(jié)論.考慮到ACD與A，大小關(guān)系暫不知道，由上述分析，可改變輔助線CE的出現(xiàn)方式，即：作CE

2、AB.這樣，A=ACE. B=ECD,從而得結(jié)論.具體證明見課本.推論1.直角三角形兩銳角互余.推論2.三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角和.推論3.三角形外角大于任一不相鄰內(nèi)角.分析 推論2，3中，都是指外角與不相鄰的兩內(nèi)角間的關(guān)系，它與相鄰的內(nèi)角除互補(bǔ)外，無其他明顯的大小關(guān)系.2.關(guān)于三角形按角分類鑒于三角形內(nèi)角和180,故一個三角形中最多只有一個直角或鈍角(否則和就超過180)而必有兩個銳角，我們可根據(jù)第三個內(nèi)角(兩個銳角以外的內(nèi)角)的大小進(jìn)行分類.(1)第三個角為銳角，即三個內(nèi)角均為銳角，則稱為銳角三角形.（2）第三個角為鈍角，即三內(nèi)角中有一個是鈍角，則稱為鈍角三角形.(3)第三個角為真角，即

3、有一個內(nèi)角為直角，則稱為直角三角形.又(1)(2)合稱為斜三角形，即分類如下.三角形集合圖示注：斜三角形不要記為“斜角”三角形.按邊分類與按角分類地位是同等的，可交叉使用(如：等腰銳角三角形，不等邊鈍角三角形等等).這里我們只要了解最常見的等腰直角三角形即可.3.關(guān)于直角三角形(也記為Rt)直角三角形作為一類特殊三角形，以后各章節(jié)還將作專題研究.這里只介紹一些基本知識：各邊的名稱：夾直角的兩條邊稱為直角邊，第三邊為斜邊.推論1 已給出兩銳角的關(guān)系.由于點到直線的連線段中，垂線段最短，我們有結(jié)論：直角三角形斜邊大于任意一條直角邊.即：直角三角形三邊中，斜邊最長.如果一個直角三角形同時又是等腰三角

4、形.則稱為等腰直角三角形.由上述結(jié)論可知，相等的兩邊必為直角邊，且內(nèi)角中每個銳角為45.我們也將等腰直角三角形定義為：兩條直角邊相等的三角形為等腰直角三角形.另外：由面積公式可知：直角三角形斜邊上的高與斜邊的積等于兩直角邊的積.即若CD為RtABC斜邊上的高，則ACBC=CDAD.【重點難點解析】重點：是內(nèi)角和定理及推論；難點：在于這些知識結(jié)合前面相關(guān)知識的運用.例1 ABC中，ABC=237.則此三角形為：A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形分析 判斷三角形按角分類為哪一種三角形，可先求出三個角的度數(shù)，再判斷角.也可只求出最大角的度數(shù)，再根據(jù)最大角的范圍判斷三角

5、形是哪一類三角形.解：設(shè)A=2x,依題意B=3x, C=7x.又A+B+C=180 12x=180 x=15求得 A=30 B=45 C=105 選C也可直接求出C=10590 選C另解：設(shè)同上，=6x7x7x=90 C90 選C第二種解法中巧妙利用有一個角為鈍角的三角形是鈍角三角形，不求角度，直接得結(jié)論.上述兩解法均利用代數(shù)方法解幾何問題，這種思想方法很重要.另設(shè)未知數(shù)時，閉幕式未簡單設(shè)某一個角為x，而是利用已知比例巧設(shè)，以達(dá)到簡化計算之目的.例2 已知：CD為RtABC斜邊上的高(圖3.3-2).求證ACD=B,BCD=A.圖3.3-2分析 充分利用直角三角形兩銳角互余是解決本題之要點.證

6、 CD為RtABC斜邊上的高，A+B=90,又在RtACD中，BCD+B=90ACD=B BCD=A.例3 已知：如圖3.3-3，AD，BE為ABC的高.圖3.3-3求證：CAD=CBE.分析 考查RtACD與RtBCE即可得出結(jié)論，或設(shè)AD，BE交于P，考查AEP和BDP亦可.證一 ADBC CAD+C=90同理CBD+C=90(BEAC) CAD=CBE.證二 設(shè)AD，BE交于P，ADBC,BEAC.在APE和BPD中，EAP+APE=90 DBP+DPB=90.又APE=DPBEAP=DBP 即CAD=CBE.例4 P為ABC內(nèi)一點，求證(1) BPCA;(2)若P為B，C的角平分線交點

7、,求BPC-A的值.圖3.3-4分析 本題可利用內(nèi)角和公式直接計算比較大小，亦可通過輔助線利用推論來得結(jié)論.解一 (1)BPC=180-(PBC+PCB) A=180-(ABC+ACB)又 ABCPBC ACBPCB BPCA.(2)PBC=ABC PCB=ACB.P=180-(PBC+PCB)P-A=180-(ABC+ACB+A)=180-180=90解二 (1)延長BP交AC于Q. BPC為PQC的角BPCPQC 又PQC為ABQ的外角.PQCA BPCA.(2) BPC=ACP+PQC=ACB+A+ABC=(ACB+ABC+2A)=(180+A)=90+ABPC-A=90本題還可通過連A

8、P并延長來解決，證明過程讀者可自己解決.例5 如圖3.3-5，求A+B+C+D+E的度數(shù).圖3.3-5分析 學(xué)會對圖形的觀察是解決本題關(guān)鍵所在，分別考查ACM、BDN及EMN即可得結(jié)論.解 1為ACM的外角1=A+C2為BDN的外角2=B+D在EMN中，1+2+E=180A+B+C+D+E=180【難題巧解點撥】例1 如圖3.3-6線段AD，BC交于Q，OD平分CDA交BC于H，OB平分ABC平AD于G，求.圖3.3-6分析 充分觀察圖形，合理利用各角之間的關(guān)系是解決本題關(guān)鍵，圖中眾多三角形中，找出與O，A，C相關(guān)三角形很重要.解 在CHD和OHB中，C+4=O+2 在OGD和AGB中，A+1

9、=O+3 + A+C+1+4=2O+2+31=2 3=4 A+=2O =2.例2 如圖3.3-7,ABC的三條角平分線AD，BE，CF交于一點O，OGBC于G.求證：BOD=COG.圖3.3-7分析 本題可利用本節(jié)重難點解析例4第(2)問的結(jié)論，考慮到O為BAC和ABC的角平分線交點AOB=90+ACB，再利用直角三角兩銳角互余，在RtOGC中，用OCG表示GOC.證 O為三內(nèi)角平分線交點AOB=180-(ABC+BAC)=90+ACB,BOD=180-AOB=90-ACB=90-OCDOGBC于G GOC=90-OCD BOD=COG.例3 ABC中，三內(nèi)角度數(shù)均為整數(shù)，ABC,且4C=7A

10、，求B的度數(shù).分析 利用4C=7A AC=47設(shè)A=4k，C=7k(k為正整數(shù)) B=180-11k.又 ABC 4k180-11k7k解得 10k12 又k為正整數(shù) k=11B=180-1111=59【命題趨勢分析】三角形內(nèi)角和定理及三個推論，在幾何中有著廣泛的應(yīng)用，歷來就是考試熱點所在，結(jié)合前后知識，解決有關(guān)角度大小關(guān)系等問題，角度相等、不等的計算、證明及求值問題，常以各種題型出現(xiàn)(判斷、選擇、填空各類題型均可出現(xiàn))【典型熱點考題】例1 ABC三內(nèi)角比為234，求三外角的比.分析 不妨設(shè)ABC=234,對應(yīng)的三個角角為、，本題可利用內(nèi)角和公式及已知求出各內(nèi)角，再求出相應(yīng)的外角，最后求此，亦

11、可利用外角等于不相鄰內(nèi)角和，不求出具體角度來求出比.解一 ABC=234 A+B+C=180 A=40 B=60 C=80 =140 =120 =100 ：=765.解二 ABC=234 設(shè)A=2k B=3k C=4k(k0).則=B+C=7k =A+C=6k =A+B=5k.=765.兩解比較，解法二顯然簡單一些.例2 對任意一個ABC,總存在一個最小的內(nèi)角,則的取值范圍是( ).A.6090 B.045C.030 D.060解：不妨設(shè)ABC三內(nèi)角為，且.3+=18060 選D.例3 ABC中，B，C的外角平分線交于D，則下列等式成立的是( )圖3.3-8A. A+D=90 B.A-D=90C. A+D=90 D.A-D=90分析 本題關(guān)鍵在于準(zhǔn)確分析A與D關(guān)系，合理利用內(nèi)角和定理及推論.解 D=180-(1+2)1=BCE=(A+ABC) 2=CBF=(A+ACB) D=180-(A+ABC+ACB+A) =180-(180+A)=90-A D+A=90 選C本例與重難點解析中的例4第二問為有關(guān)三角形兩內(nèi)角和角平分線所成角的重要結(jié)論.即：ABC中，若B，C平分線