2013年高考理科數(shù)學全國大綱卷試題與答案word解析版

1、2013年普通高等學校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學理工農(nóng)醫(yī)類(大綱全國卷)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1(2013大綱全國，理1)設(shè)集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，則M中元素的個數(shù)為()A3 B4 C5 D62(2013大綱全國，理2)()A8 B8 C8i D8i3(2013大綱全國，理3)已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，則()A4 B3 C2 D14(2013大綱全國，理4)已知函數(shù)f(x)的定義域為(1,0)，則函數(shù)f(2x1)的定義域為()A(1,1) B C(1,0) D5(20

2、13大綱全國，理5)函數(shù)f(x)(x0)的反函數(shù)f1(x)()A(x0) B(x0) C2x1(xR) D2x1(x0)6(2013大綱全國，理6)已知數(shù)列an滿足3an1an0，a2，則an的前10項和等于()A6(1310) B(1310) C3(1310) D3(1310)7(2013大綱全國，理7)(1x)8(1y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是()A56 B84 C112 D1688(2013大綱全國，理8)橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是2，1，那么直線PA1斜率的取值范圍是()A B C D9(2013大綱全國，理9)若函數(shù)f(x)x2a

3、x在是增函數(shù)，則a的取值范圍是()A1,0 B1，) C0,3 D3，)10(2013大綱全國，理10)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()A B C D11(2013大綱全國，理11)已知拋物線C：y28x與點M(2,2)，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點若，則k()A B C D212(2013大綱全國，理12)已知函數(shù)f(x)cos xsin 2x，下列結(jié)論中錯誤的是()Ayf(x)的圖像關(guān)于點(，0)中心對稱 Byf(x)的圖像關(guān)于直線對稱Cf(x)的最大值為 Df(x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)二、填空題：本大題共

4、4小題，每小題5分13(2013大綱全國，理13)已知是第三象限角，sin ，則cot _.14(2013大綱全國，理14)6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有_種(用數(shù)字作答)15(2013大綱全國，理15)記不等式組所表示的平面區(qū)域為D.若直線ya(x1)與D有公共點，則a的取值范圍是_16(2013大綱全國，理16)已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長等于球O的半徑，OK，且圓O與圓K所在的平面所成的一個二面角為60°，則球O的表面積等于_三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17(2013大綱全國，理17)(本小題滿分10分)等差數(shù)列an的前

5、n項和為Sn.已知S3，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，求an的通項公式18(2013大綱全國，理18)(本小題滿分12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，(abc)(abc)ac.(1)求B；(2)若sin Asin C，求C. 19(2013大綱全國，理19)(本小題滿分12分)如圖，四棱錐PABCD中，ABCBAD90°，BC2AD，PAB和PAD都是等邊三角形 (1)證明：PBCD；(2)求二面角APDC的大小20(2013大綱全國，理20)(本小題滿分12分)甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結(jié)束時，負的一方在下一局當裁判設(shè)各

6、局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨立，第1局甲當裁判(1)求第4局甲當裁判的概率；(2)X表示前4局中乙當裁判的次數(shù)，求X的數(shù)學期望21(2013大綱全國，理21)(本小題滿分12分)已知雙曲線C：(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y2與C的兩個交點間的距離為.(1)求a，b；(2)設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，且|AF1|BF1|，證明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列22(2013大綱全國，理22)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x).(1)若x0時，f(x)0，求的最小值；(2)設(shè)數(shù)列an的通項，證明：a2nanln 2

7、.2013年普通高等學校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學理工農(nóng)醫(yī)類(大綱全國卷)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1答案：B解析：由題意知xab，aA，bB，則x的可能取值為5,6,7,8.因此集合M共有4個元素故選B.2答案：A解析：.故選A.3答案：B解析：由(mn)(mn)|m|2|n|20(1)21(2)2403.故選B.4 答案：B解析：由題意知12x10，則1x.故選B.5答案：A解析：由題意知2yx(y0)，因此f1(x)(x0)故選A.6答案：C解析：3an1an0，an1.數(shù)列an是以為公比的等比數(shù)列a2，a14.S103(1

8、310)故選C.7答案：D解析：因為(1x)8的展開式中x2的系數(shù)為，(1y)4的展開式中y2的系數(shù)為，所以x2y2的系數(shù)為.故選D.8 答案：B解析：設(shè)P點坐標為(x0，y0)，則，于是.故.2，1，.故選B.9答案：D解析：由條件知f(x)2xa0在上恒成立，即在上恒成立函數(shù)在上為減函數(shù)，.a3.故選D.10 答案：A解析：如下圖，連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)C1O，過C作CHC1O于點H.CH平面C1BD，HDC為CD與平面BDC1所成的角設(shè)AA12AB2，則，.由等面積法，得C1O·CHOC·CC1，即，.sinHDC.故選A.11答案：D解析：由題意知拋物線C的焦點

9、坐標為(2,0)，則直線AB的方程為yk(x2)，將其代入y28x，得k2x24(k22)x4k20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x24.由，(x12，y12)·(x22，y22)0.(x12)(x22)(y12)(y22)0，即x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)40.由解得k2.故選D.12答案：C解析：由題意知f(x)2cos2x·sin x2(1sin2x)sin x.令tsin x，t1,1，則g(t)2(1t2)t2t2t3.令g(t)26t20，得.當t±1時，函數(shù)值為0；當時，函數(shù)值為；當時，函數(shù)值為.g(t)m

10、ax，即f(x)的最大值為.故選C.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13答案：解析：由題意知cos .故cot .14答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有種，再將甲、乙插入這4人形成的5個間隔中，有種排法，因此甲、乙不相鄰的不同排法有(種)15答案：解析：作出題中不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示直線ya(x1)過定點C(1,0)，由圖并結(jié)合題意可知，kAC4，要使直線ya(x1)與平面區(qū)域D有公共點，則a4.16答案：16解析：如下圖，設(shè)MN為兩圓的公共弦，E為MN的中點，則OEMN，KEMN，結(jié)合題意可知OEK60°.又MNR，OMN為正三角形OE.又OKEK

11、，OE·sin 60°.R2.S4R216.三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17解：設(shè)an的公差為d.由S3得3a2，故a20或a23.由S1，S2，S4成等比數(shù)列得S1S4.又S1a2d，S22a2d，S44a22d，故(2a2d)2(a2d)(4a22d)若a20，則d22d2，所以d0，此時Sn0，不合題意；若a23，則(6d)2(3d)(122d)，解得d0或d2.因此an的通項公式為an3或an2n1.18解：(1)因為(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理得cos B，因此B120°.(2)由(1)知AC60

12、76;，所以cos(AC)cos Acos Csin Asin Ccos Acos Csin Asin C2sin Asin Ccos(AC)2sin Asin C，故AC30°或AC30°，因此C15°或C45°.19(1)證明：取BC的中點E，連結(jié)DE，則ABED為正方形過P作PO平面ABCD，垂足為O.連結(jié)OA，OB，OD，OE.由PAB和PAD都是等邊三角形知PAPBPD，所以O(shè)AOBOD，即點O為正方形ABED對角線的交點，故OEBD，從而PBOE.因為O是BD的中點，E是BC的中點，所以O(shè)ECD.因此PBCD.(2)解法一：由(1)知CDPB

13、，CDPO，PBPOP，故CD平面PBD.又PD平面PBD，所以CDPD.取PD的中點F，PC的中點G，連結(jié)FG，則FGCD，F(xiàn)GPD.連結(jié)AF，由APD為等邊三角形可得AFPD.所以AFG為二面角APDC的平面角連結(jié)AG，EG，則EGPB.又PBAE，所以EGAE.設(shè)AB2，則AE，EG1，故AG3.在AFG中，F(xiàn)G，AG3，所以cosAFG.因此二面角APDC的大小為.解法二：由(1)知，OE，OB，OP兩兩垂直以O(shè)為坐標原點，的方向為x軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.設(shè)|2，則A(，0,0)，D(0，0)，C(，0)，P(0,0，)(，)，(0，)(，0，)，(，0)設(shè)平

14、面PCD的法向量為n1(x，y，z)，則n1·(x，y，z)·(，)0，n1·(x，y，z)·(0，)0，可得2xyz0，yz0.取y1，得x0，z1，故n1(0，1,1)設(shè)平面PAD的法向量為n2(m，p，q)，則n2·(m，p，q)·(，0，)0，n2·(m，p，q)·(，0)0，可得mq0，mp0.取m1，得p1，q1，故n2(1,1，1)于是cosn1，n2.由于n1，n2等于二面角APDC的平面角，所以二面角APDC的大小為.20解：(1)記A1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”，A2表示事件“第3局甲參加比賽

15、時，結(jié)果為甲負”，A表示事件“第4局甲當裁判”則AA1·A2.P(A)P(A1·A2)P(A1)P(A2).(2)X的可能取值為0,1,2.記A3表示事件“第3局乙和丙比賽時，結(jié)果為乙勝丙”，B1表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比賽時，結(jié)果為乙勝甲”，B3表示事件“第3局乙參加比賽時，結(jié)果為乙負”則P(X0)P(B1·B2·A3)P(B1)P(B2)·P(A3)，P(X2)P(·B3)P()P(B3)，P(X1)1P(X0)P(X2)，EX0·P(X0)1·P(X1)2·P(X2).21(1)解：由題設(shè)知3，即9，故b28a2.所以C的方程為8x2y28a2.將y2代入上式，求得.由題設(shè)知，解得a21.所以a1，b.(2)證明：由(1)知，F(xiàn)1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)，C的方程為8x2y28.由題意可設(shè)l的方程為yk(x3)，代入并化簡得(k28)x26k2x9k280.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x11，x21，x1x2，x1·x2.于是|AF1|(3x11)，|BF1|3x21.由|AF1|BF1|得(3x11)3x21，即x1x2.故，解得k2，從而x1·x2.由于|AF2|13x1，|BF2|3x21，故|AB|A