八年級下冊第十八章《勾股定理》水平測試(1)

1、八年級下冊第十八章勾股定理水平測試（1）一、試試你的身手（每小題3分，共24分）1三角形的三邊滿足a2b2c2，這個三角形是 三角形，它的最大邊是 2在直角三角形ABC中， C90°，BC24，CA7，AB 3在ABC中，若其三條邊的長度分別為9、12、15，則以兩個這樣的三角形所拼成的四邊形的面積是 4如圖1所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，正方形A，B，C的面積分別是8cm2，10cm2，14cm2，則正方形D的面積是 cm25如圖2，在ABC中，C90°，BC60cm，CA80cm，一只蝸牛從C點(diǎn)出發(fā)，以每分鐘2

2、0cm的速度沿CAABBC的路徑再回到C點(diǎn)，需要 分鐘的時間6已知x、y為正數(shù)，且x2-4+(y2-16)20，如果以x、y的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為 7在布置新年聯(lián)歡會的會場時，小虎準(zhǔn)備把同學(xué)們做的拉花用上，他搬來了一架高為2.5米的梯子，要想把拉花掛在高2.4米的墻上（設(shè)梯子上端要到達(dá)或超過掛拉花的高度才能掛上），小虎應(yīng)把梯子的底端放在距離墻 米處8如圖3是2002年北京第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽，由4個全等的直角三角形拼合而成，若圖中大小正方形的面積分別為52和4，則直角三角形的兩直角邊分別為 和 （注：兩直角邊長均為整數(shù)）二、相信你的

3、選擇（每小題3分，共24分）1下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（ ）A6，12，13B3，4，7C4，7.5，8.5D8，15，162要登上某建筑物，靠墻有一架梯子，底端離建筑物5m，頂端離地面12m，則梯子的長度為（ ）A12mB13mC14mD15m3直角三角形兩直角邊邊長分別為6cm和8cm，則連接這兩條直角邊中點(diǎn)的線段長為（ ）A10cmB3cmC4cmD5cm4若將直角三角形的兩直角邊同時擴(kuò)大2倍，則斜邊擴(kuò)大為原來的（ ）A2倍B3倍C4倍D5倍5下列說法中， 不正確的是（ ）A三個角的度數(shù)之比為134的三角形是直角三角形B三個角的度數(shù)之比為345的三角形是直角三角形C三邊長度之比為345的三

4、角形是直角三角形D三邊長度之比為94041的三角形是直角三角形6三角形的三邊長滿足關(guān)系：(a+b)2=c2+2ab，則這個三角形是（ ）A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形7某直角三角形的周長為30，且一條直角邊為5，則另一直角邊為（ ）A3B4C12D138如果正方形ABCD的面積為29，則對角線AC的長度為（ ）ABCD三、挑戰(zhàn)你的技能（共60分）1（10分）如圖4，你能計(jì)算出各直角三角形中未知邊的長嗎？2（10分）如圖5所示，有一條小路穿過長方形的草地ABCD，若AB60m，BC84m，AE100m，則這條小路的面積是多少?3（10分）如圖6，在ABC中，BAC120

5、6;，B30°，ADAB，垂足為A，CD1cm，求AB的長 4（10分）小芳家門前有一個花圃，呈三角形狀，小芳想知道該三角形是不是一個直角三角形，請問她可以用什么辦法來作出判斷？你能幫她設(shè)計(jì)一種方案嗎？5（10分）如圖7，在ABC中，ABAC25，點(diǎn)D在BC上，AD24，BD7，試問AD平分BAC嗎？為什么？6（10分）如圖8所示，四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且ABBC求證：ACCD四、拓廣探索（本題12分）觀察下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)？3245，521213，722425，924041，這到底是巧合，還是有什么規(guī)律蘊(yùn)涵其中呢？（1）填空：132 + ；（

6、2）請寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（3）結(jié)合勾股定理有關(guān)知識，說明你的結(jié)論的正確性參考答案：一、1直角，225310841751262070.784，6二、14CBDA 58BBCA三、1（1）；（2）234略5所以平分，理由略6證明略四、（1）84，85（2）任意一個大于1的奇數(shù)的平方可以拆成兩個連續(xù)整數(shù)的和，并且這兩個連續(xù)整數(shù)與原來的奇數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)（3）略八年級下冊第十八勾股定理水平測試一、試試你的身手（每小題3分，共24分）1一個三角形的三個內(nèi)角之比為123，則三角形是 三角形；若這三個內(nèi)角所對的三邊分別為a、b、c（設(shè)最長邊為c），則此三角形的三邊的關(guān)系是 2已知等腰直角三角形的斜邊長為2，

7、則直角邊長為 ，若直角邊長為2，則斜邊長為 3在RtABC中，C90°，若AB41，AC9，則BC ； 若AC1.5，BC2，則AB 4已知兩條線段的長分別為11cm和60cm，當(dāng)?shù)谌龡l線段的長為 cm時，這3條線段能組成一個直角三角形 5如圖1，將一根長24厘米的筷子，置于底面直徑為6厘米，高為8厘米的圓柱形水杯中，則筷子露在杯子外面的長度至少為 厘米6如圖2，ACCE，ADBE13，BC5，DE7，那么AC 7等腰直角三角形有一邊長為8cm，則底邊上的高是 ，面積是 8如圖3，一個機(jī)器人從A點(diǎn)出發(fā)，拐了幾個直角的彎后到達(dá)B點(diǎn)位置，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，點(diǎn)A和點(diǎn)B的直線距離是 二、相信你

8、的選擇（每小題3分，共24分）1如圖4，兩個較大正方形的面積分別為225，289，則字母A所代表的正方形的面積為（ ）A4B8C16D642小麗和小芳二人同時從公園去圖書館，都是每分鐘走50米，小麗走直線用了10分鐘，小芳先去家拿錢再去圖書館，小芳到家用了6分鐘，從家到圖書館用了8分鐘，小芳從公園到圖書館拐了個（設(shè)公園到小芳家及小芳家到圖書館都是直線）（ ）A銳角B直角C鈍角D不能確定3一直角三角形的一條直角邊長是7cm，另一條直角邊與斜邊長的和是49cm，則斜邊的長（ ）A18cmB20cmC24cmD25cm4如圖5，四邊形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，則陰影部分

9、的面積是（ ）A16B18C19D215在直角三角形中，斜邊與較小直角邊的和、差分別為18、8，則較長直角邊的長為（ ）A20B16C12D86在ABC中，若AB15，AC13，高AD12，則ABC的周長是（ ）A42B32C42或32D37或337如圖6，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（ ）ACD、EF、GHBAB、EF、GHCAB、CD、GHDAB、CD、EF8如圖7，在ABC中，C90°，D為BC邊的中點(diǎn)，DEAB于E，則AE2-BE2等于（ ）AAC2BBD2CBC2DDE2三、挑戰(zhàn)你的技能（共58分）1（1

10、1分）一個三角形三條邊的比為51213，且周長為60cm，求它的面積2（11分）在數(shù)軸上作出表示的點(diǎn)3（12分）如圖8，是一個四邊形的邊角料，東東通過測量，獲得了如下數(shù)據(jù)：AB3cm，BC12cm，CD13cm，AD4cm，東東由此認(rèn)為這個四邊形中A恰好是直角，你認(rèn)為東東的判斷正確嗎？如果你認(rèn)為他正確，請說明其中的理由；如果你認(rèn)為他不正確，那你認(rèn)為需要什么條件，才可以判斷A是直角？4（12分）如圖9，一游泳池長48米，小方和小朱進(jìn)行游泳比賽，小方平均速度為3米/秒，小朱為3.1米/秒但小朱一心想快，不看方向沿斜線游，而小方直游，倆人到達(dá)終點(diǎn)的位置相距14米按各人的平均速度計(jì)算，誰先到達(dá)終點(diǎn)?5

11、（12分）如圖10（1）所示為一上面無蓋的正方體紙盒，現(xiàn)將其剪開展成平面圖，如圖10（2）所示已知展開圖中每個正方形的邊長為1求在該展開圖中可畫出最長線段的長度？這樣的線段可畫幾條？四、拓廣探索（本題14分）已知：在RtABC中，C90°，A、B、C的對邊分別為a、b、c，設(shè)ABC的面積為S，周長為l（1）填表：三邊a、b、cabc3、4、525、12、1348、15、176（2）如果abcm，觀察上表猜想： (用含有m的代數(shù)式表示)（3）證明（2）中的結(jié)論參考答案：一、1直角，21，2340，2.5461或51461274或4，16或810二、14DBDC 58CCBA三、12圖略

12、3不正確，可添加或4小方先到達(dá)終點(diǎn)5最長的線段長為這樣的線段可畫4條四、解：（1）從上往下依次填，；（2）； （3）證明略Ww w.x kb 點(diǎn)擊勾股定理之特色題本文將在各地課改實(shí)驗(yàn)區(qū)的中考試題中，涉及勾股定理知識內(nèi)容的特色創(chuàng)新題采擷幾例，供讀者學(xué)習(xí)鑒賞一. 清新扮靚的規(guī)律探究題例1（成都市）如圖，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，已知正方形ABCD的面積為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為，（n為正整數(shù)），那么第8個正方形的面積 _【解析】：求解這類題目的常見策略是：“從特殊到一般”即是先通過觀察幾個特殊的數(shù)式

13、中的變數(shù)與不變數(shù)，得出一 般規(guī)律，然后再利用其一般規(guī)律求解所要解決的問題對于此題，由勾股定理、正方形的面積計(jì)算公式易求得：， 照此規(guī)律可知：，新 課 標(biāo)第 一網(wǎng)觀察數(shù)1、2、4、8、16易知：，于是可知因此，二. 考查閱讀理解能力的材料分析題例2（臨安）閱讀下列題目的解題過程： 已知a、b、c為的三邊，且滿足，試判斷的形狀 解： 問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號： ；（2）錯誤的原因?yàn)椋?（3）本題正確的結(jié)論為： .【解析】：材料閱讀題是近年中考的熱點(diǎn)命題，其類型多種多樣，本題屬于“判斷糾錯型”題目集中考查了因式分解、勾股定理等知識在由得到等式?jīng)]有錯，錯在將這個等

14、式兩邊同除了一個可能為零的式子若，則有，從而得，這時，為等腰三角形因此：（1） 選C（2） 沒有考慮(3) 三. 滲透新課程理念的圖形拼接題例3（長春）如圖，在RtABC中，C = 90°，AC = 4，BC = 3在RtABC的外部拼接一個合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個等腰三角形，如圖所示要求：在答題卡的兩個備用圖中分別畫出兩種與示例不同的拼接方法，并在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長（請同學(xué)們先用鉛筆畫現(xiàn)草圖，確定后再用0.5毫米的黑色簽字筆畫出正確的圖形） 示例圖 備用圖 【解析】：要在RtABC的外部拼接一個合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個等腰三角形，關(guān)鍵是腰與

15、底邊的確定；要求在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長，這需要用到勾股定理知識下面四種拼接方法可供參考四. 極具“熱點(diǎn)”的動態(tài)探究題例4（泉州）:如圖，一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾斜角為求AO與BO的長；若梯子頂端A沿NO下滑，同時底端B沿OM向右滑行. 如圖2，設(shè)A點(diǎn)下滑到C點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到D點(diǎn)，并且AC:BD=2:3，試計(jì)算梯子頂端A沿NO下滑多少米?X k b1.c o m 【解析】：對于沒有學(xué)習(xí)解直角三角形知識的同學(xué)而言，求解此題有一定的難度但若是利用等邊三角形就可以推出的一個性質(zhì)：“在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一

16、半”，結(jié)合勾股定理求解，還是容易解答的中,O=,=,OAB=，又4米， 米.由勾股定理得：（米）.設(shè)在中, 根據(jù)勾股定理: - 所以， AC=2x=即梯子頂端A沿NO下滑了米. 勾股定理中的常見題型例析 勾股定理是幾何計(jì)算中運(yùn)用最多的一個知識點(diǎn)考查的主要方式是將其綜合到幾何應(yīng)用的解答題中，常見的題型有以下幾種：一、探究開放題例1如圖1，設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以第二個正方形的對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去（1）記正方形ABCD的邊長為1，依上述方法所作的正方形的邊長依次為，求出，的值（2）根據(jù)以上規(guī)律寫出第n

17、個正方形的邊長的表達(dá)式分析：依次運(yùn)用勾股定理求出a2，a3，a4，再觀察、歸納出一般規(guī)律解：(1)四邊形ABCD為正方形，AB=BC=CD=AD=1由勾股定理，得AC，同理，AE=2，EH= 即 a2= ，a3=2，a4= (2) ， ， ， ， 點(diǎn)撥：探究開放題形式新穎、思考方向不確定，因此綜合性和邏輯性較強(qiáng)，它著力于考查觀察、分析、比較、歸納、推理等方面的能力，對提高同學(xué)們的思維品質(zhì)和解決問題的能力具有十分重要的作用二、動手操作題例2如圖2，圖（）是用硬紙板做成的兩個全等的直角三角形，兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c圖（）是以c為直角邊的等腰直角三角形請你開動腦筋，將它們拼成一個能證明

18、勾股定理的圖形（）畫出拼成的這個圖形的示意圖，寫出它是什么圖形；（）用這個圖形證明勾股定理；（）假設(shè)圖（）中的直角三角形有苦干個，你能運(yùn)用圖（）所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖（無需證明）解：（1）所拼圖形圖3所示，它是一個直角梯形（2）由于這個梯形的兩底分別為a、b，腰為（a+b），所以梯形的面積為又因?yàn)檫@個梯形的面積等于三個直角三角形的面積和，所以梯形的面積又可表示為： （3）所拼圖形如圖4點(diǎn)撥：動手操作題內(nèi)容豐富，解法靈活，有利于考查解題者的動手能力和創(chuàng)新設(shè)計(jì)的才能。本題通過巧妙構(gòu)圖，然后運(yùn)用面積之間的關(guān)系來驗(yàn)證勾股定理。三、閱讀理解題例3 已知a，b

19、，c為ABC的三邊且滿足a2c2b2c2=a4b4，試判斷ABC的形狀小明同學(xué)是這樣解答的解：a2c2b2c2=a4b4， 訂正： ABC是直角三角形 橫線與問號是老師給他的批注，老師還寫了如下評語：“你的解題思路很清晰，但解題過程中出現(xiàn)了錯誤，相信你再思考一下，一定能寫出完整的解題過程”請你幫助小明訂正此題，好嗎？ 分析：這類閱讀題在展現(xiàn)問題全貌的同時，在關(guān)鍵處留下疑問點(diǎn)，讓同學(xué)們認(rèn)真思考，以補(bǔ)充欠缺的部分，這相當(dāng)于提示了整體思路，而讓學(xué)生在整體理解的基礎(chǔ)上給予具體的補(bǔ)缺因此，本題可作如下訂正：解：a2c2b2c2=a4b4， ，或或 ABC是等腰三角形或直角三角形 點(diǎn)撥：閱讀理解題它與高考

20、中興起的信息遷移題有異曲同工之巧解決的關(guān)鍵是抓住疑問點(diǎn)，補(bǔ)全漏洞四、方案設(shè)計(jì)題例4給你一根長為30cm的木棒，現(xiàn)要你截成三段，做一個直角三角形，怎樣截?。ㄔ试S有余料）？請你設(shè)計(jì)三種方案分析：構(gòu)造直角三角形，可根據(jù)勾股定理的逆定理來解決解：方案一：分別截取3cm，4cm，5cm；方案二：分別截取6cm，8cm，10cm；方案三：分別截取5cm，12cm，13cm點(diǎn)撥：本題首先依據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行分析，設(shè)計(jì)出方案，然后再通過測量、截取、加工等活動方能完成既要思考，又要動手讓學(xué)生在這個過程中，體會做數(shù)學(xué)的快樂五、實(shí)際應(yīng)用題例5如圖5，三個正方形形狀的土地面積分別是74英畝、116英畝、370英畝

21、，三個正方形恰好圍著一個池塘現(xiàn)要將這560英畝的土地拍賣，如果有人能計(jì)算出池塘的面積，則池塘不計(jì)入土地價錢白白奉送，英國數(shù)學(xué)家巴爾教授曾經(jīng)巧妙地解答了這個問題，你能解決嗎？分析：巴爾教授解決這個問題時首先發(fā)現(xiàn)三個正方形的面積74、116、370相當(dāng)于池塘的三條邊的平方，因而聯(lián)想到勾股定理，得74=52+72，116=42+102，370=92+172于是作出圖6，運(yùn)用勾股定理的逆定理，問題就得以解決解：74=52+72，AB是兩直角邊分別為5和7的直角三角形的斜邊，作出這個直角三角形，得RtABE同理，作RtBCF，其中BF=4，F(xiàn)C=10延長AE、CF交于D，則AD=9，CD=17，而AC2

22、=370=92+172=AD2+CD2，ACD是直角三角形，ADC=90°=點(diǎn)撥：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理和它的逆定理構(gòu)造新圖形，用構(gòu)造法解題的思想，有助于提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力勾股定理中的易錯題辨析一、審題不仔細(xì)，受定勢思維影響例1 在ABC中，的對邊分別為，且，則（ ）（A）為直角 （B）為直角 （C）為直角 （D）不是直角三角形錯解：選（B）分析：因?yàn)槌Ｒ姷闹苯侨切伪硎緯r，一般將直角標(biāo)注為，因而有同學(xué)就習(xí)慣性的認(rèn)為就一定表示直角，加之對本題所給條件的分析不縝密，導(dǎo)致錯誤.該題中的條件應(yīng)轉(zhuǎn)化為，即，因根據(jù)這一公式進(jìn)行判斷.正解：，.故選（A）例2 已知直角三角形的兩

23、邊長分別為3、4，求第三邊長.錯解：第三邊長為.分析：因?qū)W生習(xí)慣了“勾三股四弦五”的說法，即意味著兩直角邊為3和4時，斜邊長為5.但這一理解的前提是3、4為直角邊.而本題中并未加以任何說明，因而所求的第三邊可能為斜邊，但也可能為直角邊.正解：（1）當(dāng)兩直角邊為3和4時，第三邊長為；（2）當(dāng)斜邊為4，一直角邊為3時，第三邊長為.二、概念不明確，混淆勾股定理及其逆定理例3 下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是（ ）（A）1、2、3 （B） （C） （D）錯解：選（B）分析：未能徹底區(qū)分勾股定理及其及逆定理，對概念的理解流于表面形式.判斷直角三角形時，應(yīng)將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行平方看是否滿足

24、的形式.正解：因?yàn)椋蔬x（C）例4 在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東方向以每小時8海里的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個角度以每小時15海里的速度前進(jìn)，2小時后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎？錯解：甲船航行的距離為BM=（海里），乙船航行的距離為BP=（海里）.（海里）且MP=34（海里）MBP為直角三角形，乙船是沿著南偏東方向航行的.分析：雖然最終判斷的結(jié)果也是對的，但這解題過程中存在問題.勾股定理的使用前提是直角三角形，而本題需對三角形做出判斷，判斷的依據(jù)是勾定理的逆定理.其形式為“若，則.錯解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念，導(dǎo)致

25、錯誤運(yùn)用.正解：甲船航行的距離為BM=（海里），乙船航行的距離為BP=（海里）.，MBP為直角三角形，乙船是沿著南偏東方向航行的.靈活應(yīng)用勾股定理勾股定理在幾何計(jì)算或驗(yàn)證中，均有十分廣泛的應(yīng)用，請看以下幾例一計(jì)算問題例1一個零件如圖所示，已知AC=3厘米AB=4厘米BD=12厘米，求CD的長解：在RtABC中根據(jù)勾股定理知：BC2AC2+AB2=32+42=25在RtCBD中根據(jù)勾股定理知：CD2BC2+BD2=25+122=169CD0 CD=13厘米例2 如圖在四邊形ABCD中，已知四條邊的比AB:BC:CD:DA2：2：3：1，且B90°，則DAB的度數(shù)分析：這道題涉及到角度的求解，需要利用到勾股定理的逆定理（如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2 c2，那么這個三角形是直角三角形）解：設(shè)DA=m（m0）則AB2m BC=2m CD = 3m在RtABC中，由ABBC=2m知BAC45°，又由勾股定理得AC2AB2+BC2=（2m）2+（2m ）2=8m 2 AC2+AD2=（8m）2 + m2=9m2 CD2=（3m）2=9m2AC2+AD2 =CD2 從而DAC90°DABDAC+CAB=90°