自考高等數(shù)學(xué)全部公式

1、1 sinlim0 特點(diǎn)特點(diǎn):特特點(diǎn)點(diǎn): e ) 1 1(lim 記記為為)( O ； 記記為為 ； 重要結(jié)論重要結(jié)論：)1ln(x , x )1(logxa , ln1xa 1 xe, x 1 xa,lnax 1)1( x.x , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x)(lim)()(lim)()(lim00000 xfxfxfxfxfxxxxxx 連續(xù)的概念xsinxtanxarcsinxarctan x( (0 x) )； （極值存在的必要條件極值存在的必要條件） 定理定理 設(shè)設(shè))(xfy 在在,ba上連續(xù)，在上連續(xù)，在),(ba內(nèi)二階可導(dǎo)，則內(nèi)二階可導(dǎo)，則 （1 1）若若),(ba在在內(nèi)，內(nèi)，0)( xf，

2、則曲線弧，則曲線弧),()(baxfy在在 內(nèi)是向下內(nèi)是向下凸的；凸的； （2 2）若若),(ba在在內(nèi)，內(nèi)，0)( xf，則曲線弧，則曲線弧),()(baxfy在在 內(nèi)是向上內(nèi)是向上凸的凸的. 基本初等函數(shù)和常數(shù)的求導(dǎo)公式基本初等函數(shù)和常數(shù)的求導(dǎo)公式 （1 1）0)( c； （2 2）1)( xx； （3 3）aaaxxln)( ； （4 4）xxee )(； （5 5）axxaln1)(log ； （6 6）xx1)(ln ； （7 7）xxcos)(sin ； （8 8）xxsin)(cos ； 0000000()()( )()( )limlimlimxxxxf xxf xf xf xy

3、f xxxx x ;0)(d)1( C;d0)1(Cx ;d)1(d)2(1xxx );1(1d)2(1 Cxxx;d1)(lnd)3(xxx ;lnd1)3(Cxxx ;d11)(arctand)4(2xxx ;arctand11)4(2Cxxx ;d11)(arcsind)5(2xxx ;arcsind11)5(2Cxxx ;d)ln(d)6(xaaaxx ;lnd)6(Caaxaxx 1.積分公式積分公式;d)(d)7(xeexx ;d)7(Cexexx ;dcos)(sind)8(xxx ;sindcos)8( Cxxx;cotdcsc)11(2Cxxx ;tandsec)10(2Cx

4、xx ;cosdsin)9(Cxxx ;dsec)(tand)10(2xxx ;dcsc)cot(d)11(2xxx ;dtansec)(secd)12(xxxx .cscdcotcsc)13(Cxxxx ;dsin)cos(d)9(xxx ;secdtansec)12(Cxxxx .dcotcsc)csc(d)13(xxxx .coslndtanCxxx .sinlndcotCxxx 分分部部積積分分法法常常用用于于被被積積函函數(shù)數(shù)是是兩兩種種不不同同類類型型函函數(shù)數(shù)乘乘積積的的積積分分， 分分部部積積分分法法是是乘乘積積微微分分公公式式的的逆逆運(yùn)運(yùn)算算. . 一、分部積分公式一、分部積分公

5、式 如如dxaxxn ，xdxxn sin，xdxxnarctan ，dxxex cos等等. . 反對(duì)冪指三反對(duì)冪指三例例 1 10 0. .求求dxex 11 解解：令tex 1，12 tex， )1ln(2 tx，dtttdx122 ，則則 dttdttttdxex 1121211122.1111ln11ln22CeeCttxx 三角函數(shù)代換三角函數(shù)代換. . 當(dāng)被積函數(shù)含有當(dāng)被積函數(shù)含有 （1 1）22xa 時(shí)時(shí)，令令taxsin ； （2 2）22ax 時(shí)，令時(shí)，令taxtan ； （3 3）22ax 時(shí)時(shí)，令令taxsec . . 變變限限求求導(dǎo)導(dǎo)公公式式 奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積

6、分性質(zhì)奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分性質(zhì)xdxx bxyo)(xfy a.dd)( 2 2xyxxfVbabax ,d)(d)(d2xxfxxAV 0 y和和曲曲線線)(xfy 所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞 x 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 1 1設(shè)設(shè))(xf在在, ba上上連連續(xù)續(xù)，求求由由直直線線ax 、bx 、 一一周周而而得得的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. . 二、旋轉(zhuǎn)體的體積二、旋轉(zhuǎn)體的體積2 2. . 設(shè)設(shè))(y 在在, dc上上連連續(xù)續(xù)，求求由由直直線線cy 、dy 、 0 x和和曲曲線線)(yx 所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞軸軸 y旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 一一周周而而得得的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體

7、積積. . .dd)( 2 2yxyyVdcdcy xoycdy)(yx dyy ,d)(d2yyV xdxx x 2)(xfdx.d)(2 bayxxfxV ,d)(2dxxfxV xoyab)(xfy 可分離變量方程的一般形式為可分離變量方程的一般形式為 )()(ygxfdxdy （1 1）分分離離變變量量：)0)( )()( ygdxxfygdy； （2）兩兩邊邊積積分分： dxxfygdy)()(； （3）求求出出積積分分，得得通通解解：CxFyG )()(， 其其中中)( ),(xFyG分分別別是是)( ,)(1xfyg的的原原函函數(shù)數(shù)。 （4 4）根據(jù)初始條件求）根據(jù)初始條件求方程

8、的特解方程的特解. . （5）若）若有有0)(0 yg，則，則0yy 也是方程的解，稱為也是方程的解，稱為常數(shù)解常數(shù)解. 求解步驟求解步驟： （二）一階線性非齊次方程的解法（二）一階線性非齊次方程的解法 故原方程的通解為故原方程的通解為Cyyx 431. 這這是是一一個(gè)個(gè)關(guān)關(guān)于于未未知知函函數(shù)數(shù))(yxx 的的一一階階線線性性非非齊齊次次方方程程， 二二階階常常系系數(shù)數(shù)線線性性非非齊齊次次方方程程為為 )(xfbyyay 是是方方程程若若 y 的的一一個(gè)個(gè)特特解解，是方程是方程 y的的通通解解， 則則 yyy是是方方程程的的通通解解. 二階線性常系數(shù)非齊次微分方程二階線性常系數(shù)非齊次微分方程

9、設(shè)設(shè)二二階階常常系系數(shù)數(shù)線線性性齊齊次次方方程程為為 0 byyay （1 1）由由微微分分方方程程寫(xiě)寫(xiě)出出對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征方方程程； （2 2）求求解解特特征征方方程程的的根根； （3 3）按特征根的情況）按特征根的情況寫(xiě)出微分方程的通解：寫(xiě)出微分方程的通解： 21 , rr有有兩兩個(gè)個(gè)不不相相等等實(shí)實(shí)根根xrxreCeCy2121 21 rrr 有有兩兩個(gè)個(gè)相相等等實(shí)實(shí)根根)(21xCCeyrx ir 21, 有有一一對(duì)對(duì)共共軛軛復(fù)復(fù)根根)sincos(21xCxCeyx 的的通通解解方方程程 0 byyay0 2 barr特特征征方方程程 求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的步驟：求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的步驟： 二階線性常系數(shù)非齊次方程的特解形式二階線性常系數(shù)非齊次方程的特解形式 )(xpemx sin)( cos)(xxPxxPenmx 不是特征根不是特征根 )1()( xf自自由由項(xiàng)項(xiàng) yxfbyyay )( 的的特特解解方方程程是是單單