VNLS1s-staffustceducn

1、四、宇宙學(xué)四、宇宙學(xué)幾何宇宙學(xué)幾何宇宙學(xué) geometrodynamics over/re-view: 事件、時空與事件、時空與 Riemann幾何幾何 局域局域 Lorentz幾何幾何 幾何單位制與符號系統(tǒng)幾何單位制與符號系統(tǒng) 時空間隔、時空間隔、 度規(guī)與曲率度規(guī)與曲率 Einstein引力定律（場方程）引力定律（場方程） （Schwarzschild）黑洞黑洞 引力紅移引力紅移宇宙學(xué)原理（假設(shè)）宇宙學(xué)原理（假設(shè)） Robertson-Walker度規(guī)度規(guī)幾何宇宙學(xué)幾何宇宙學(xué)：宇宙學(xué)假設(shè)下：宇宙學(xué)假設(shè)下Einstein引力場方程的解引力場方程的解宇宙學(xué)原理宇宙學(xué)原理revisit 視界疑難視

2、界疑難 暴脹模型暴脹模型 平坦性疑難平坦性疑難II. 物理宇宙學(xué)物理宇宙學(xué) 熱大爆炸熱大爆炸 基本觀測事實(shí)基本觀測事實(shí): 宇宙微波背景輻射宇宙微波背景輻射 星系紅移星系紅移-距離距離Hubble關(guān)系關(guān)系 元素豐度元素豐度 宇宙年齡宇宙年齡 宇宙簡史宇宙簡史: 時空創(chuàng)生時空創(chuàng)生 宇宙熱歷史宇宙熱歷史 輕元素合成與原初豐度輕元素合成與原初豐度 結(jié)構(gòu)形成與演化結(jié)構(gòu)形成與演化 “精確（實(shí)驗(yàn)）宇宙學(xué)精確（實(shí)驗(yàn)）宇宙學(xué)”Astronomy is the luxury of the rich, but the poor can do it better.幾何宇宙學(xué)幾何宇宙學(xué) 1.1. geometrodyn

3、amics over/re-view事件、時空事件、時空 與與 RiemannRiemann幾何幾何宇宙學(xué)宇宙學(xué)： “四方上下曰宇，古往今來曰宙四方上下曰宇，古往今來曰宙” 宇宙學(xué)是關(guān)于時空的理論。宇宙學(xué)是關(guān)于時空的理論。時空時空：1、子曰：、子曰：“逝者如斯，不舍晝夜逝者如斯，不舍晝夜”. 2、Newton: （1）時間和空間絕對分離；（）時間和空間絕對分離；（2）空間均勻和各向同性，時間）空間均勻和各向同性，時間 均勻流逝；（均勻流逝；（3）相互作用傳播速度是無限大；（）相互作用傳播速度是無限大；（4）只適用于慣性系。）只適用于慣性系。 3、Einstein：時空是：時空是4維流形維流形。

4、數(shù)學(xué)上用。數(shù)學(xué)上用Riemann幾何幾何描述；物理上用每個描述；物理上用每個時空點(diǎn)上發(fā)生的事件來確定（時空點(diǎn)上發(fā)生的事件來確定（Characterize spacetime by what happens when & where）。）。事件事件 = 時空點(diǎn)時空點(diǎn)：空間的一點(diǎn)空間的一點(diǎn) + 時間的一瞬。事件的名稱可以任意。時間的一瞬。事件的名稱可以任意。Coordinates provide a convenient naming system, which generally do not measure space length or time interval.證明應(yīng)通過逐步推理

5、，而不是靠計算來實(shí)現(xiàn)。證明應(yīng)通過逐步推理，而不是靠計算來實(shí)現(xiàn)。Astronomy is the luxury of the rich, but the poor can do it better. Weightlessness Local Lorentz Geometry （狹義相對論）（狹義相對論）Free fall is the natural state of motion. Eliminate the acceleration by use of a local inertial frame （等效原理）（等效原理）.In local inertial frames, physics

6、is Lorentizan 狹義相對論狹義相對論Local Lorentz geometry is the spacetime analog of local Euclidean geometry. The time coordinate of a local Lorentz frame is so defined that motion looks simple. Good clocks make spacetime trajectories of free particles look straight. 周期事件測量時間，已知速度測量空間周期事件測量時間，已知速度測量空間 幾何單位制與符

7、號系統(tǒng)幾何單位制與符號系統(tǒng) Physics is simple only when analyzed locally. geometrized units c=1, G=1, kB=1. Some useful relations: 1 = c = 2.9981010 cm/sec 1 = G/c2 = 0.742510-28 cm/g 1 = G/c4 = 0.82610-49 cm/erg 1 = GkB/c4 = 1.14010-65 cm/Kelvin One can multiply a factor of unity, expressed in any one of these w

8、ays, into any term in any equation without affecting the validity of the equation. e.g., M = 21033 g = (21033 g) (G/c2) = 1.477105 cm = (21033 g) (c2) = 1.7881054 erg. Planck system of units:Lp = (h hG/c3)1/2 = 1.610-33 cmtp = (h hG/c5)1/2 = 5.410-44 secMp = (h hc/G)1/2 = 1.610-5 gBreakdown in smoot

9、hness of space-time at Planck length. 符號系統(tǒng)符號系統(tǒng) 物理學(xué)的時空需要有物理學(xué)的時空需要有4 4個坐標(biāo)：時間個坐標(biāo)：時間t t和和3 3個空間坐標(biāo)個空間坐標(biāo)x,y,zx,y,z（或者（或者r,r,q q, ,f f）。）。習(xí)慣：習(xí)慣：x x0 0 = t, x= t, x1 1 = x, x= x, x2 2 = y, x= y, x3 3 = z; x= z; xa a( (a a = 0,1,2,3); x= 0,1,2,3); xi i (i=1,2,3)(i=1,2,3)從點(diǎn)從點(diǎn)x xa a指向其鄰域內(nèi)另外一點(diǎn)指向其鄰域內(nèi)另外一點(diǎn)x xa a +

10、 dx+ dxa a的的“箭頭箭頭”構(gòu)成構(gòu)成4-4-位移位移，可以看成，可以看成4 4矢量的矢量的原型原型，dxdxa a為該矢量的為該矢量的4 4個分量，狹義相對論中稱為個分量，狹義相對論中稱為“逆變矢量逆變矢量”；定義定義dxdxa a: :dxdx0 0 = -dx= -dx0 0, dx, dx1 1 = dx= dx1 1, dx, dx2 2 = dx= dx2 2, dx, dx3 3 = dx= dx3; 3; 稱為稱為“協(xié)變矢量協(xié)變矢量”。在（廣義）在（廣義）LorentzLorentz變換下變換下dsds2 2 dxdxa adxdxa a dxdx0 0dxdx0 0+d

11、x+dx1 1dxdx1 1+dx+dx2 2dxdx2 2+dx+dx3 3dxdx3 3 h hababdxdxa adxdxa a = -(dx= -(dx0 0) )2 2+(dx+(dx1 1) )2 2 +(dx+(dx2 2) )2 2 +(dx+(dx3 3) )2 2為不變量，稱為點(diǎn)為不變量，稱為點(diǎn)x xa a與點(diǎn)與點(diǎn)x xa a+dx+dxa a之間的時空間隔。方程中采用了之間的時空間隔。方程中采用了EinsteinEinstein求和約求和約定定，其，其附標(biāo)附標(biāo)“均衡均衡”。h habab生成間隔的機(jī)制稱為生成間隔的機(jī)制稱為度規(guī)度規(guī)。從。從dxdxa a可以生成各種矢量，

12、可以生成各種矢量，例如例如4-4-速度矢量：速度矢量：u ua a dxdxa a/ /dt t，和各種張量，例如能量張量，和各種張量，例如能量張量T Tab ab mu ua a u ub b. . . 微商：微商： 協(xié)變微商：協(xié)變微商： u ua;ba;b u ua,ba,b - - G Gm mababu um m,.QuTQuTxxxxbaa baabaab時空間隔、時空間隔、 度規(guī)與曲率度規(guī)與曲率時空的局域時空的局域LorentzLorentz幾何類似于幾何類似于局域局域EuclideanEuclidean幾何幾何。固有時間、固有距離固有時間、固有距離 時空間隔時空間隔 度規(guī)度規(guī)曲線

13、坐標(biāo)：球面幾何作為一個例子曲線坐標(biāo)：球面幾何作為一個例子dsds2 2 = r= r2 2(d(dq q2 2+sin+sin2 2q qd df f2 2 ) )Spacetime can be curved by matter: Spacetime tells matter how to move. Spacetime can be curved by matter: Spacetime tells matter how to move. Matter tells spacetime how to curve.Matter tells spacetime how to curve.Grav

14、itation is manifest in relative acceleration of neighboring test Gravitation is manifest in relative acceleration of neighboring test particles. particles. Relative acceleration is caused by curvature.Relative acceleration is caused by curvature.Curvature is characterized by Curvature is characteriz

15、ed by Riemann tensorRiemann tensor. .At each event of spacetime, i.e., at each point of any “Riemannian At each event of spacetime, i.e., at each point of any “Riemannian manifold”, there exists a geometrical object namely the manifold”, there exists a geometrical object namely the metric tensormetr

16、ic tensor g( g( , , ) ). . It is a machine with two input slots for insertion of two vectors. It is a machine with two input slots for insertion of two vectors. insert: both with insert: both with dxdxa a,output: spacetime interval ,output: spacetime interval dsds2 2=g gababdxdxa adxdxb b insert: bo

17、th with insert: both with u ua a,output: length square,output: length square: g gababu ua au ub b insert: insert: u ua a and and v va a output: the scalar product of output: the scalar product of u ua a on on v va a : g gababu ua av vb b 度規(guī)張量可用來升高或降低附標(biāo)使之均衡：度規(guī)張量可用來升高或降低附標(biāo)使之均衡：u ua a=g gababu ub b Rie

18、mannRiemann曲率張量曲率張量 聯(lián)絡(luò)系數(shù)聯(lián)絡(luò)系數(shù) 度規(guī)度規(guī) Riemann tensor is a machine with 3 slots for the insertion of Riemann tensor is a machine with 3 slots for the insertion of 3 vectors:3 vectors:RiemannRiemann( ( , , , , ) )Riemann tensor, through equation of geodesic deviation, Riemann tensor, through equation of g

19、eodesic deviation, produces relative acceleration:produces relative acceleration:220,DdxdxRdddababttti.e., the relative acceleration of the two neighboring geodesics.i.e., the relative acceleration of the two neighboring geodesics.度規(guī)度規(guī) 聯(lián)絡(luò)系數(shù)（聯(lián)絡(luò)系數(shù)（ChristoffelChristoffel符號）：符號）：* *協(xié)變微商協(xié)變微商：,1()2gggabab

20、 a bb aG,.Raaamamabb b bmbm GGGGGG聯(lián)絡(luò)系數(shù)聯(lián)絡(luò)系數(shù) Riemann張量：;,.AAAam m maG RiemannRiemann曲率張量曲率張量 Ricci Ricci張量張量 總曲率總曲率平坦時空中可以選取直線坐標(biāo)系平坦時空中可以選取直線坐標(biāo)系 度規(guī)張量度規(guī)張量g gabab=constant RiemannRiemann曲率張量曲率張量R Rabab=0=0；反之，若；反之，若R Rabab=0=0，可以證明時空平坦。，可以證明時空平坦?？s并縮并R Ra amm中的兩個附標(biāo)中的兩個附標(biāo)a a和和 Ricci Ricci張量張量R Rmm： ,.RRaaa

21、ababmmam ama mabmba GGGGGG縮并縮并RicciRicci張量張量 R Rm m 總曲率：總曲率：R = RR = Ra aa a. .純數(shù)學(xué)：間隔純數(shù)學(xué)：間隔 度規(guī)度規(guī) Riemann Riemann張量張量 Ricci Ricci張量張量物理學(xué)：物理學(xué)：EinsteinEinstein引力定律引力定律RiemannRiemann張量張量度規(guī)度規(guī)時空性質(zhì)時空性質(zhì)除引力之外不受其他力作用的質(zhì)點(diǎn)沿短程線運(yùn)動：除引力之外不受其他力作用的質(zhì)點(diǎn)沿短程線運(yùn)動：DuDua a/d/dt t=0=0. . Einstein引力定律（場方程）引力定律（場方程） EinsteinEinst

22、ein真空引力場方程：引力場不影響真空，其他場影響真空。真空引力場方程：引力場不影響真空，其他場影響真空。R Rm m = 0= 0. . 真空：除引力場之外，沒有其他物質(zhì)和其他物理場存在。真空：除引力場之外，沒有其他物質(zhì)和其他物理場存在。平坦時空顯然滿足平坦時空顯然滿足EinsteinEinstein引力場方程。此時，短程線為直線（引力場方程。此時，短程線為直線（NewtonNewton第一定第一定律）。律）。 EinsteinEinstein引力定律對彎曲時空的曲率加以限制，與質(zhì)點(diǎn)沿短程線運(yùn)動這引力定律對彎曲時空的曲率加以限制，與質(zhì)點(diǎn)沿短程線運(yùn)動這一假設(shè)結(jié)合，可以給出一假設(shè)結(jié)合，可以給出N

23、ewtonNewton力學(xué)所有結(jié)論，例如，太陽系中行星的運(yùn)動。力學(xué)所有結(jié)論，例如，太陽系中行星的運(yùn)動。引力場不影響真空，其他場影響真空！引力場不影響真空，其他場影響真空！如何影響：有物質(zhì)如何影響：有物質(zhì)T Tmm存在時存在時EinsteinEinstein引力場方程引力場方程：18.2RgRgTmmmm 靜止球?qū)ΨQ條件下的靜止球?qū)ΨQ條件下的Einstein場方程的解：場方程的解：Schwarzschild黑洞黑洞 引力紅移引力紅移EinsteinEinstein真空引力場方程：真空引力場方程：R Rm m = 0.= 0. 靜止靜止 g gm,0 m,0 = 0 = 0 且且 g g0i 0i

24、 = 0 = 0 引力紅移：DtDt2 = (1-2m/r)D Dt2考慮r處一個靜止原子發(fā)出一個波長為le的光子，該光子被處觀測者接受觀測到的波長為lo。 幾何單位制下l=T， le =DtDt， lo =D Dt. 于是乎， l lo = (1-2m/r)-1/2 l le l le, 1+z = l lo/l le一般地， l lo=g00-1/2 l leSchwarzschild解：解：宇宙學(xué)原理（假設(shè)）宇宙學(xué)原理（假設(shè)） Robertson-Walker度規(guī)度規(guī)宇宙學(xué)原理：大尺度上宇宙均勻各向同性。宇宙學(xué)原理：大尺度上宇宙均勻各向同性。宇宙中不同位置、同一時刻看到的宇宙圖像相同；不

25、同位置看到的宇宙演化歷史宇宙中不同位置、同一時刻看到的宇宙圖像相同；不同位置看到的宇宙演化歷史也相同。也相同。 可以定義宇宙學(xué)時間可以定義宇宙學(xué)時間t t。CopernicusCopernicus原理，原理，“宇宙民主原則宇宙民主原則” Robertson-Walker度規(guī)：度規(guī)：222222222( )(sin);1,0, 11drdsdtatrddkkrqq f 宇宙尺度因子：a(t)；共動坐標(biāo) (r,q q,f f）；）；Hubble“常數(shù)常數(shù)”: H(t) = a,0(t)/a(t).宇宙學(xué)紅移宇宙學(xué)紅移: (te ,re)發(fā)射一個光子le，被(to ,ro)觀測到的波長lo 。光子走

26、零短程線。222222222022( )(sin)01( )( )( )110( )( )( )( )1( )( )oooeeeeeeooooeeeeeottttrtttttttttttttteeoooeodrdsdta trddkrdtdrdtdrdta ta ta tkrkrdtdtdtdta ta ta ta tttza ta tqq fllllDDDDDD D D ( ).( )oeea ta t宇宙學(xué)、引力與宇宙學(xué)、引力與DopplerDoppler紅移。紅移。宇宙學(xué)紅移宇宙學(xué)紅移 eteettD0t00ttDrer0發(fā)射星系的世界線觀測者的世界線光子的傳播 222220( )1dr

27、ddtR tkrteerttkrdrtRdt021)(0波的開始 波的結(jié)束 DDeeerttttkrdrtRdt021)(00DD000)()(tttttteeetRdttRdt000( )( )eeettttttdtdtR tR tDD)()( )()(0000eeeetRtRtttRttRtDDDD00 eec tc tll D D)()(00eetRtRll00( )1( )0 eeeeR tzR ttzlll 幾何宇宙學(xué)：幾何宇宙學(xué)：宇宙學(xué)假設(shè)下宇宙學(xué)假設(shè)下EinsteinEinstein引力場方程的解引力場方程的解222222222,22,22( )(sin);1,0, 1;118;

28、2,0_.8()_(in_);332()8_(_ttrrttttdrdsdta trddkkrRgRgTTTTTpTwhenakitialvalueequationaaaakpdynamicequatioaaammmmqqffmqq fm 33,0000000);(in_)_()() (_).( /)_,exp_,_:8,ttMnitialvalueequationenergeconservationofap adynamicequationd a anormalizetothecurrentscaleaansionrateHandcurentdensitydtaaH tat 20220002

29、2022002,;33()11()1(1)(1)./_( ).(/)2kMkMMakHHHda tcurrentdaaddad a dtdecelerationparamterqatda dttt 220020833kcHGR20222200008133GkcHHH R2020220031RHkcHcGHc8320km100202022200833mckGHHkcH R 10kk10kk00kk封閉宇宙開放宇宙平直宇宙Possible Fates of the UniverseE 0E = 0E 視界，則二者之間不可能有因果聯(lián)系 視界疑難：物理上沒有任何機(jī)制可以造成宇宙均勻各向同性 宇宙學(xué)原理

30、？！ e.g., 大統(tǒng)一破缺相變Tc=1015 GeV H1035s-1 只要持續(xù)10-33s，宇宙尺度因子就可以增大exp(100)1043倍 抹平所有不均勻性。rmtakaa;33822,暴脹暴脹,43aarm)!exp()(383842,HttaHTaacrt具有物質(zhì)和輻射的宇宙具有物質(zhì)和輻射的宇宙rmkMtakaa;1,33822,ztataaaerm1)()(,043.105 . 1/; 7 . 0, 0, 3 . 04mrkM作業(yè)作業(yè)1、何時（、何時（z=?) 宇宙輻射主導(dǎo)、暗能量主導(dǎo)？宇宙輻射主導(dǎo)、暗能量主導(dǎo)？作業(yè)2、Two Extreme Double-peaked Line Emitters in the Sloan Digital Sky Survey Wang, T.-G.; Dong, X.-B.; Zhang, X.-G.; Zhou,