基本不等式課件

1、3.43.4基本不等式基本不等式萬源市第三中學萬源市第三中學-黃少林黃少林20022002年國際數(shù)學家大會會標年國際數(shù)學家大會會標 一、一、創(chuàng)設(shè)情境、體會感知創(chuàng)設(shè)情境、體會感知：第第24屆國際數(shù)學家大會于屆國際數(shù)學家大會于02年年8月在北京舉行，大會會標看上去像月在北京舉行，大會會標看上去像一個旋轉(zhuǎn)的風車，它的設(shè)計基礎(chǔ)是公元一個旋轉(zhuǎn)的風車，它的設(shè)計基礎(chǔ)是公元3世紀中國數(shù)學家趙爽弦圖。世紀中國數(shù)學家趙爽弦圖。趙爽弦圖趙爽弦圖ABCDABCDab22ab abab22ab a=bRtABCDSS4正方形RtABCDSS4正方形重要不等式：重要不等式： 一般地，對于任意實數(shù)一般地，對于任意實數(shù)a、b

2、，我們有，我們有當且僅當當且僅當a=b時，等號成立。時，等號成立。222abababba222abba222二二、數(shù)學構(gòu)建數(shù)學構(gòu)建問題問題1:1:如果用如果用 去替換去替換 中的中的 , ,前提是什么？能得到什么結(jié)論前提是什么？能得到什么結(jié)論? ? ,ab222aba bba,問題問題2：你能否從多個角度去證明基本不等式？你能否從多個角度去證明基本不等式？(0,0)2ababab（當且僅當當且僅當a=b時時，等號成立等號成立）基本不等式：基本不等式：正數(shù)正數(shù)a,b的幾的幾何平均數(shù)何平均數(shù)兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)正數(shù)正數(shù)a,b的算術(shù)的算術(shù)平均數(shù)

3、平均數(shù)2abab證明：要證證明：要證 只要證只要證_ab 要證要證，只要證，只要證_0ab要證要證，只要證，只要證2(_)0顯然顯然, 是成立的是成立的.當且僅當當且僅當a=b時時, 中的等號成立中的等號成立. 22(0,0,() ,() )abaabb2abab)0, 0(時取等號當且僅當baba證明不等式：證明不等式：2 ab2 abba你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2ababOD與與CD的大小關(guān)系怎樣的大小關(guān)系怎樣? OD_CD如圖如圖, AB是圓的

4、直徑是圓的直徑, O為圓心，為圓心，點點C是是AB上一點上一點, AC=a, BC=b. 過點過點C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,連接連接AD、BD、OD.2abab幾何意義：半徑不小于弦長的一半幾何意義：半徑不小于弦長的一半ADBEOCabababab2a2b2aa2bb)(2時取等號當且僅當babaab結(jié)構(gòu)特點結(jié)構(gòu)特點： 基本不等式的左式為積的形式基本不等式的左式為積的形式, 右式為和結(jié)構(gòu)右式為和結(jié)構(gòu), 該不等式表明兩正數(shù)的和與兩正數(shù)的積之間的大小關(guān)系該不等式表明兩正數(shù)的和與兩正數(shù)的積之間的大小關(guān)系, 運用該不等式可作運用該不等式可作和和與與積積之間的之間的不等變換不等變換.(0,0)

5、2ababab（當且僅當當且僅當a=b時時，等號成立等號成立）基本不等式：基本不等式：),2),0(2sin22sin2sin22sin0sin2,02sin),0(),0(,sin22sin.3yxxxxxyxxxxxxy時當解：的值域求41352)25()2352()35(2035 , 02)35, 0()35, 0(),35(2. 222有最大值時，即時，當且僅當所以知解：由的最大值求yxxxxxxxxyxxxxxxy), 4ln4ln4ln4ln2ln4ln.ln4ln10. 1的值域為解：的值域求若xxyxxxxyxxyx三、想一想，錯在哪里？想一想，錯在哪里？各項皆為各項皆為正數(shù)正數(shù)；和或積為和或積為定值定值；注意注意等號等號成立的條件成立的條件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值時，要注意利用基本不等式求最值時，要注意四四、小結(jié)、小結(jié)本節(jié)課主要探究基本不等式的證明與初步應用本節(jié)課主要探究基本不等式的證明與初步應用時取等號當且僅當基本不等式：bababaab)0, 0( ,2一個不等式：一個不等式：兩種思想兩種思想：數(shù)形結(jié)合思想、歸納類比思想。三個注意三個注意：利用基本不等式求最值時