基本不等式課件

1、3.43.4基本不等式基本不等式萬源市第三中學(xué)萬源市第三中學(xué)-黃少林黃少林20022002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo) 一、一、創(chuàng)設(shè)情境、體會(huì)感知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境、體會(huì)感知：第第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)于屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)于02年年8月在北京舉行，大會(huì)會(huì)標(biāo)看上去像月在北京舉行，大會(huì)會(huì)標(biāo)看上去像一個(gè)旋轉(zhuǎn)的風(fēng)車，它的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是公元一個(gè)旋轉(zhuǎn)的風(fēng)車，它的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是公元3世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家趙爽弦圖。世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家趙爽弦圖。趙爽弦圖趙爽弦圖ABCDABCDab22ab abab22ab a=bRtABCDSS4正方形RtABCDSS4正方形重要不等式：重要不等式： 一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b

2、，我們有，我們有當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。時(shí)，等號(hào)成立。222abababba222abba222二二、數(shù)學(xué)構(gòu)建數(shù)學(xué)構(gòu)建問題問題1:1:如果用如果用 去替換去替換 中的中的 , ,前提是什么？能得到什么結(jié)論前提是什么？能得到什么結(jié)論? ? ,ab222aba bba,問題問題2：你能否從多個(gè)角度去證明基本不等式？你能否從多個(gè)角度去證明基本不等式？(0,0)2ababab（當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)時(shí)，等號(hào)成立等號(hào)成立）基本不等式：基本不等式：正數(shù)正數(shù)a,b的幾的幾何平均數(shù)何平均數(shù)兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)正數(shù)正數(shù)a,b的算術(shù)的算術(shù)平均數(shù)

3、平均數(shù)2abab證明：要證證明：要證 只要證只要證_ab 要證要證，只要證，只要證_0ab要證要證，只要證，只要證2(_)0顯然顯然, 是成立的是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)時(shí), 中的等號(hào)成立中的等號(hào)成立. 22(0,0,() ,() )abaabb2abab)0, 0(時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)baba證明不等式：證明不等式：2 ab2 abba你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2ababOD與與CD的大小關(guān)系怎樣的大小關(guān)系怎樣? OD_CD如圖如圖, AB是圓的

4、直徑是圓的直徑, O為圓心，為圓心，點(diǎn)點(diǎn)C是是AB上一點(diǎn)上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過點(diǎn)過點(diǎn)C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,連接連接AD、BD、OD.2abab幾何意義：半徑不小于弦長(zhǎng)的一半幾何意義：半徑不小于弦長(zhǎng)的一半ADBEOCabababab2a2b2aa2bb)(2時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)babaab結(jié)構(gòu)特點(diǎn)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)： 基本不等式的左式為積的形式基本不等式的左式為積的形式, 右式為和結(jié)構(gòu)右式為和結(jié)構(gòu), 該不等式表明兩正數(shù)的和與兩正數(shù)的積之間的大小關(guān)系該不等式表明兩正數(shù)的和與兩正數(shù)的積之間的大小關(guān)系, 運(yùn)用該不等式可作運(yùn)用該不等式可作和和與與積積之間的之間的不等變換不等變換.(0,0)

5、2ababab（當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)時(shí)，等號(hào)成立等號(hào)成立）基本不等式：基本不等式：),2),0(2sin22sin2sin22sin0sin2,02sin),0(),0(,sin22sin.3yxxxxxyxxxxxxy時(shí)當(dāng)解：的值域求41352)25()2352()35(2035 , 02)35, 0()35, 0(),35(2. 222有最大值時(shí)，即時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)所以知解：由的最大值求yxxxxxxxxyxxxxxxy), 4ln4ln4ln4ln2ln4ln.ln4ln10. 1的值域?yàn)榻猓旱闹涤蚯笕魓xyxxxxyxxyx三、想一想，錯(cuò)在哪里？想一想，錯(cuò)在哪里？各項(xiàng)皆為各項(xiàng)皆為正數(shù)正數(shù)；和或積為和或積為定值定值；注意注意等號(hào)等號(hào)成立的條件成立的條件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值時(shí)，要注意利用基本不等式求最值時(shí)，要注意四四、小結(jié)、小結(jié)本節(jié)課主要探究基本不等式的證明與初步應(yīng)用本節(jié)課主要探究基本不等式的證明與初步應(yīng)用時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)基本不等式：bababaab)0, 0( ,2一個(gè)不等式：一個(gè)不等式：兩種思想兩種思想：數(shù)形結(jié)合思想、歸納類比思想。三個(gè)注意三個(gè)注意：利用基本不等式求最值時(shí)