數(shù)學(xué)分析第十七章多元函數(shù)微分學(xué)

1、 第十七章 多元函數(shù)微分學(xué) ( 1 6 時(shí) ) §1 可微性 ( 4 時(shí) )一 可微性與全微分：1 可微性：由一元函數(shù)引入.亦可寫為, 時(shí).2 全微分: 例1 考查函數(shù)在點(diǎn)處的可微性. 1P105 E1二. 偏導(dǎo)數(shù):1. 偏導(dǎo)數(shù)的定義、記法:2. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 1P109 圖案171.3. 求偏導(dǎo)數(shù): 例2 , 3 , 4 . 1P142143 E2 , 3 , 4 .例5 設(shè)證明函數(shù)在點(diǎn)連續(xù) , 并求和.證 . 在點(diǎn)連續(xù) . , 不存在 . Ex 1P116117 1，2 4 . 151 / 14三. 可微條件:1. 必要條件:Th 1 設(shè)為函數(shù)定義域的內(nèi)點(diǎn).在點(diǎn)可微 和存在

2、, 且 . (證)由于,微分記為.定理1給出了計(jì)算可微函數(shù)全微分的方法.兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在是可微的必要條件 , 但不充分.例6 考查函數(shù)在原點(diǎn)的可微性. 1P110 E5 .2. 充分條件:Th 2 若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在的某鄰域內(nèi)存在, 且和在點(diǎn)處連續(xù) . 則函數(shù)在點(diǎn)可微. (證) 1P111Th 3 若在點(diǎn)處連續(xù), 點(diǎn)存在,則函數(shù)在點(diǎn)可微.證 .即在點(diǎn)可微 .要求至少有一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)并不是可微的必要條件 .例7 設(shè)驗(yàn)證函數(shù)在點(diǎn)可微, 但和在點(diǎn)處不連續(xù) .證 因此,即 ,在點(diǎn)可微, . 但時(shí), 有 ,沿方向 不存在, 沿方向 極限不存在; 又時(shí), ,因此, 不存在, 在點(diǎn)處不連續(xù).由關(guān)于和對(duì)稱,也在點(diǎn)

3、處不連續(xù) .四. 中值定理:Th 4 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù). 若屬于該鄰域, 則存在和, , 使得 . ( 證 )例8 設(shè)在區(qū)域D內(nèi). 證明在D內(nèi).五. 連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在及可微之間的關(guān)系：六. 可微性的幾何意義與應(yīng)用：1 可微性的幾何意義： 切平面的定義. 1P115.Th 5 曲面在點(diǎn)存在不平行于軸的切平面的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)可微 . (證略) 2. 切平面的求法: 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微，則曲面在點(diǎn)處的切平面方程為 (其中) ，法線方向數(shù)為，法線方程為 .例9試求拋物面 在點(diǎn)處的切平面方程和法線方程 . 1 P115 E6 3. 作近似計(jì)算和誤差估計(jì): 與一元函數(shù)對(duì)照, 原理.例10 求

4、的近似值. 1 P115 E7例11 應(yīng)用公式計(jì)算某三角形面積.現(xiàn)測(cè)得,. 若測(cè)量的誤差為的誤差為 . 求用此公式計(jì)算該三角形面積時(shí)的絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限. 1 P116 E8 Ex 1P116117 514 ； § 2 復(fù)合函數(shù)微分法 （ 5 時(shí) ） 簡(jiǎn)介二元復(fù)合函數(shù) : .以下列三種情況介紹復(fù)合線路圖: 參閱4 P327328 . ; , ; .一. 鏈導(dǎo)法則: 以“外二內(nèi)二”型復(fù)合函數(shù)為例.Th 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)D可微, 函數(shù)在點(diǎn)可微 , 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可微, 且 , . ( 證 ) 1 P155稱這一公式為鏈導(dǎo)公式. 該公式的形式可在復(fù)合線路圖中用所謂“分線加，沿線乘”（或“并聯(lián)

5、加，串聯(lián)乘”）來(lái)概括.對(duì)所謂“外三內(nèi)二”、“外二內(nèi)三”、“外一內(nèi)二”等復(fù)合情況，用“并聯(lián)加，串聯(lián)乘”的原則可寫出相應(yīng)的鏈導(dǎo)公式.鏈導(dǎo)公式中內(nèi)函數(shù)的可微性可減弱為存在偏導(dǎo)數(shù). 但對(duì)外函數(shù)的可微性假設(shè)不能減弱. 如1 P156的例.對(duì)外元, 內(nèi)元 , 有 ， .外元內(nèi)一元的復(fù)合函數(shù)為一元函數(shù) . 特稱該復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為全導(dǎo)數(shù).例1 . 求和. 1 P157 E1例2 , . 求和.例3 , 求和.例4 設(shè)函數(shù)可微 . . 求、和.例5 用鏈導(dǎo)公式計(jì)算下列一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù) : > ; > . 1 P158 E4例6 設(shè)函數(shù)可微. 在極坐標(biāo)變換下 , 證明 . 1 P157 E2例7 設(shè)函數(shù)

6、可微 , . 求證 .二. 復(fù)合函數(shù)的全微分: 全微分和全微分形式不變性 .例8 . 利用全微分形式不變性求, 并由此導(dǎo)出和.1 P160 E5 Ex 1P160161 15.三. 高階偏導(dǎo)數(shù):1. 高階偏導(dǎo)數(shù)的定義、記法：例9 求二階偏導(dǎo)數(shù)和. 1P167 E1例10 . 求二階偏導(dǎo)數(shù). 1P167 E22. 關(guān)于混合偏導(dǎo)數(shù): 1P167170.3. 求含有抽象函數(shù)的二元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù): 公式 , 1P171例11 . 求和. 1P171 E3 4. 驗(yàn)證或化簡(jiǎn)偏微分方程: 例12 . 證明 + . ( Laplace 方程 )例13 將方程變?yōu)闃O坐標(biāo)形式.解 . , , , . , ;因

7、此, .方程化簡(jiǎn)為 .例14 試確定和, 利用線性變換 將方程 化為.解 , . =+= =+2+. =+= =+. =+.因此 , + ( + .令 , 或或 , 此時(shí)方程化簡(jiǎn)為. Ex 1P183 1，2 . §3 方向?qū)?shù)和梯度 （ 3 時(shí) ） 一 方向?qū)?shù)：1 方向?qū)?shù)的定義：定義 設(shè)三元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義.為從點(diǎn)出發(fā)的射線.為上且含于內(nèi)的任一點(diǎn),以表示與兩點(diǎn)間的距離.若極限 存在,則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù),記為或、.對(duì)二元函數(shù)在點(diǎn), 可仿此定義方向?qū)?shù). 易見(jiàn), 、 和 是三元函數(shù)在點(diǎn)分別沿軸正向、軸正向和軸正向的方向?qū)?shù) .例1 =. 求在點(diǎn)處沿方向的方

8、向?qū)?shù),其中> 為方向; > 為從點(diǎn)到點(diǎn)的方向.解 > 為方向的射線為. 即 . , .因此 , > 從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向數(shù)為方向的射線為 . , ;.因此 , 2. 方向?qū)?shù)的計(jì)算:Th 若函數(shù)在點(diǎn)可微, 則在點(diǎn)處沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在, 且 + +,其中、和為的方向余弦. ( 證 ) 1P163對(duì)二元函數(shù), +, 其中和是的方向角.注：由 + +=, , , , ,可見(jiàn), 為向量, , 在方向上的投影.例2 ( 上述例1 ) 解 > 的方向余弦為=, =, =. =1 , = , =.因此 , = + +=. > 的方向余弦為 =, =, = .因此

9、 , =.可微是方向?qū)?shù)存在的充分條件 , 但不必要 .例3 1P164 E2 . 二. 梯度 ( 陡度 ):1. 梯度的定義: , , . |= .易見(jiàn), 對(duì)可微函數(shù), 方向?qū)?shù)是梯度在該方向上的投影. 2. 梯度的幾何意義: 對(duì)可微函數(shù) , 梯度方向是函數(shù)變化最快的方向 . 這是因?yàn)?|.其中是與夾角. 可見(jiàn)時(shí)取最大值 , 在的反方向取最小值 . 3. 梯度的運(yùn)算: > . > (+) = +. > () = +. > . > () = .證> , . . Ex 1P165 1，2 ，3 ，6 . §4 Taylor公式和極值問(wèn)題 （ 4 時(shí)

10、）一 中值定理： 凸區(qū)域 .Th 1 設(shè)二元函數(shù)在凸區(qū)域D上連續(xù), 在D的所有內(nèi)點(diǎn)處可微. 則對(duì)D內(nèi)任意兩點(diǎn)D , 存在, 使 .證 令.在閉凸區(qū)域上的情況: 1P173174.推論 若函數(shù)在區(qū)域D上存在偏導(dǎo)數(shù) , 且, 則是D上的常值函數(shù). 二. Taylor公式:Th 2 (Taylor公式) 若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有直到階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則對(duì)內(nèi)任一點(diǎn),存在相應(yīng)的, 使 證 1P175例1 求函數(shù)在點(diǎn)的Taylor公式 ( 到二階為止 ) . 并用它計(jì)算 1P175176 E4 . 三. 極值問(wèn)題: 1. 極值的定義: 注意只在內(nèi)點(diǎn)定義極值.例2 1P176 E5 Ex 1P183 5，6，7

11、. 2 極值的必要條件：與一元函數(shù)比較 .Th 3 設(shè)為函數(shù)的極值點(diǎn). 則當(dāng)和存在時(shí),有=. (證)函數(shù)的駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn) ， 函數(shù)的可疑點(diǎn) . 3. 極值的充分條件: 代數(shù)準(zhǔn)備: 給出二元( 實(shí) )二次型 . 其矩陣為 .> 是正定的, 順序主子式全, 是半正定的, 順序主子式全 ;> 是負(fù)定的, , 其中為階順序主子式. 是半負(fù)定的, .> < 0時(shí), 是不定的.充分條件的討論: 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)某鄰域有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).由Taylor公式, 有 + + .令 , , , 則當(dāng)為駐點(diǎn)時(shí), 有. 其中.可見(jiàn)式的符號(hào)由二次型完全決定.稱該二次型的矩陣為函數(shù)的Hesse矩陣. 于是由上述代數(shù)準(zhǔn)備, 有 > , 為 ( 嚴(yán)格 ) 極小值點(diǎn) ; > , 為 ( 嚴(yán)格 ) 極大值點(diǎn) ; > 時(shí), 不是極值點(diǎn); > 時(shí), 可能是極值點(diǎn) , 也可能不是極值點(diǎn) .綜上, 有以下定理.Th 4 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù), 是駐點(diǎn). 則> 時(shí) , 為極小值點(diǎn);> 時(shí) , 為極大值點(diǎn);> 時(shí) , 不是極值點(diǎn);> 時(shí) , 可能是極值點(diǎn) , 也可能不是極值點(diǎn) .例37