高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題解題方法探尋及典例剖析

1、2014高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)（第2輪 難點突破）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題解題方法探尋及典例剖析【考情分析】1函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點和思想方法是高中數(shù)學(xué)的一條重要的主線，選擇、填空、解答三種題型每年都有函數(shù)題的身影頻現(xiàn)，而且常考常新以基本函數(shù)為背景的綜合題和應(yīng)用題是近幾年的高考命題的新趨勢函數(shù)的圖象也是高考命題的熱點之一近幾年來，考查用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)性質(zhì)的綜合題基本已經(jīng)定位到壓軸題的位置了2對于函數(shù)部分考查的重點為：函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性對稱性和函數(shù)的圖象；指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；應(yīng)用函數(shù)知識解決一些實際問題；導(dǎo)數(shù)的基本公式，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；可導(dǎo)函數(shù)的

2、單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值 【常見題型及解法】1. 常見題型一、 小題：1. 函數(shù)的圖象2. 函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性);3. 分段函數(shù)求函數(shù)值；4. 函數(shù)的定義域、值域（最值）；5. 函數(shù)的零點；6. 抽象函數(shù)；7. 定積分運算（求面積）二、大題：1. 求曲線在某點處的切線的方程； 2. 求函數(shù)的解析式3. 討論函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間； 4. 求函數(shù)的極值點和極值；5. 求函數(shù)的最值或值域； 6. 求參數(shù)的取值范圍7. 證明不等式； 8. 函數(shù)應(yīng)用問題2. 在解題中常用的有關(guān)結(jié)論（需要熟記）：(1)曲線在處的切線的斜率等于，且切

3、線方程為。(2)若可導(dǎo)函數(shù)在 處取得極值，則。反之，不成立。(3)對于可導(dǎo)函數(shù)，不等式的解集決定函數(shù)的遞增（減）區(qū)間。(4)函數(shù)在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立（ 不恒為0）.(5)函數(shù)（非常量函數(shù)）在區(qū)間I上不單調(diào)等價于在區(qū)間I上有極值，則可等價轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間I上有實根且為非二重根。（若為二次函數(shù)且I=R，則有）。(6) 在區(qū)間I上無極值等價于在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，則; 若，恒成立，則(8)若，使得，則；若，使得，則.(9)設(shè)與的定義域的交集為D，若D 恒成立，則有.(10)若對、 ，恒成立，則.若對，使得,則. 若對，使得，則.（11）已知

4、在區(qū)間上的值域為A,，在區(qū)間上值域為B，若對,，使得=成立，則。(12)若三次函數(shù)f(x)有三個零點，則方程有兩個不等實根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式: 3. 解題方法規(guī)律總結(jié)1. 關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的討論：大多數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)，因此，討論函數(shù)單調(diào)性的問題，又往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在所給區(qū)間上的符號問題。要結(jié)合函數(shù)圖象，考慮判別式、對稱軸、區(qū)間端點函數(shù)值的符號等因素。2. 已知函數(shù)（含參數(shù)）在某區(qū)間上單調(diào)，求參數(shù)的取值范圍，有三種方法：子區(qū)間法；分離參數(shù)法；構(gòu)造函數(shù)法。3. 注意分離參數(shù)法的運用：含參數(shù)的不等式恒成立問題，含參數(shù)的不等式在某區(qū)間上有解

5、，含參數(shù)的方程在某區(qū)間上有實根（包括根的個數(shù)）等問題，都可以考慮用分離參數(shù)法，前者是求函數(shù)的最值，后者是求函數(shù)的值域。4. 關(guān)于不等式的證明：通常是構(gòu)造函數(shù)，考察函數(shù)的單調(diào)性和最值。有時要借助上一問的有關(guān)單調(diào)性或所求的最值的結(jié)論，對其中的參數(shù)或變量適當賦值就可得到所要證的不等式。對于含有正整數(shù)n的帶省略號的不定式的證明，先觀察通項，聯(lián)想基本不定式（上述結(jié)論中的13），確定要證明的函數(shù)不定式（往往與所給的函數(shù)及上一問所得到的結(jié)論有關(guān)），再對自變量x賦值，令x分別等于1、2、.、n,把這些不定式累加，可得要證的不定式。）5. 關(guān)于方程的根的個數(shù)問題：一般是構(gòu)造函數(shù)，有兩種形式，一是參數(shù)含在函數(shù)式中

6、，二是參數(shù)被分離，無論哪種形式，都需要研究函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性、極值、最值以及區(qū)間端點的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)圖象， 確立所滿足的條件，再求參數(shù)或其取值范圍。 【基本練習(xí)題講練】【例1】“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚烏龜還是先到達了終點用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時間，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是（ ） A B C D【答案】 B【解析】在選項B中，烏龜?shù)竭_終點時，兔子在同一時間的路程比烏龜短【點評】函數(shù)圖象是近年高考的熱點的試題，考查函數(shù)圖象的實際應(yīng)用，考查學(xué)生解決問題、分

7、析問題的能力，在復(fù)習(xí)時應(yīng)引起重視【例2】（山東高考題）已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，若方程在區(qū)間上有四個不同的根，則【答案】 -8-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m>0) 【解析】因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足，所以，所以, 由為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱且，由知，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因為在區(qū)間0,2上 是增函數(shù)，所以在區(qū)間-2,0上也是增函數(shù)如圖所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在區(qū)間上有四個不同的根，不妨設(shè)，由對稱性知，所以【點評】本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性，對稱性，周期性，以及由函數(shù)圖

8、象解答方程問題，運用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題【例3】若是方程的解，是 的解，則的值為（ ）A B C3 D【解析】作出的圖象，交點橫坐標為，而 【答案】C 【點評】該題考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)綜合了函數(shù)的圖象、方程的解及曲線的交點等問題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本初等函數(shù)， 高考中以它們?yōu)檩d體的函數(shù)綜合題既考查雙基， 又考查對蘊含其中的函數(shù)思想、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法的理解與運用 【例4】若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是 【解析】設(shè)函數(shù)和函數(shù)，則函數(shù)有兩個零點， 就是函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，由圖象可知：當時兩函數(shù)只有一個交點，不符合，當時，因為函數(shù)的圖

9、象過點(0，1)，而直線所過的點一定在點(0，1)的上方，所以一定有兩個交點所以實數(shù)a的取值范圍是 【答案】【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系，隱含著對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查，根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫出函數(shù)的圖象解答體現(xiàn)了對分類討論思想的考查，分類討論時，要注意該分類時才分類，務(wù)必要全面【例5】已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則滿足的x 取值范圍是（ ）（A）（，） (B) ，） (C)（，） (D) ，）【解析】由于f(x)是偶函數(shù)，故f(x)f(|x|)， 得f(|2x1|)f()，再根據(jù)f(x)的單調(diào)性，得|2x1|，解得x 【答案】B【點評】該題的關(guān)鍵是將含有函數(shù)符號的不

10、等式轉(zhuǎn)化為普通的不等式，體現(xiàn)的對轉(zhuǎn)化思想的考查，同時還綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，而該題的轉(zhuǎn)化的依據(jù)就是函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性考題中通過這種形式來考查函數(shù)的性質(zhì)與方程、不等式等的綜合不但是一個熱點，而且成了一個固定的必考題型【例6】某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房經(jīng)測算，如果將樓房建為x（x10）層，則每平方米的 平均建筑費用為560+48x（單位：元）為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=）【解析】設(shè)樓房每平方米的平均綜合費為元，依題意得：則，令，即，解得當時

11、，；當時，因此，當時，取得最小值，元【答】 為了使樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應(yīng)建為15層【點評】這是一題應(yīng)用題，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識來解決問題利用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)值域或最值是一種常用的方法【典型題剖析及訓(xùn)練】【例1】已知a、b為常數(shù)，且a0，函數(shù)，。（）求實數(shù)b的值；（）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）當a1時，是否同時存在實數(shù)m和M（mM），使得對每一個tm，M，直線yt與曲線 都有公共點？若存在，求出最小的實數(shù) m和最大的實數(shù)M；若不存在，說明理由。【解析】（）b2；（）a0時單調(diào)遞增區(qū)間是（1，），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），a0時單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間

12、是（1，）；（）存在m，M；m的最小值為1，M的最大值為2?！纠?】已知函數(shù)圖象上一點 處的切線方程為。（1）求的值 （2）設(shè)，求證：對于任意的，有（3）若方程在 上有兩個不等實根，求m的取值范圍（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）【解】（1）由已知：，所以。易知 。所以函數(shù)的圖象在點 處的切線方程為：，即。 由題意得：。 （2）由（1）知：。令， 則，所以， 令，得：。當時，遞增；當時，遞減。所以當時，函數(shù)取得最大值，且。故對，都有：，即。 （3）記，則，令，得：。當時，遞增；當時，遞減。為使方程在 上有兩個不等實根，則有：。所以實數(shù)m的取值范圍是?！玖斫狻糠匠淘?上有兩個不等實根等價于方程在 上有兩

13、個不等實根。記，則，令，得：。當時，遞減；當時，遞增。所以，又 ，顯然，根據(jù)的圖象，為使方程在 上有兩個不等實根，則有：【例3】設(shè)函數(shù)，。 （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若函數(shù) 圖象上任意一點處的切線的斜率恒成立，求實數(shù)的取值范圍； （3）若方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍； （4）是否存在實數(shù)t，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰好有4個不同的交點？若存在，求實數(shù)t的取值范圍；若不存在，說明理由。【解】（1）當時，的的遞增區(qū)間為；當時，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為（2），由已知：對，恒成立，即對恒成立。當時，在時取得最大值，所以。 （3）方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解等價于方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)

14、解。記，則， 令，得：，當時，遞增；當時，遞減。所以。易求得：，。 為使方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解，則直線與函數(shù)的圖象有唯一交點，根據(jù)的圖象可知： 或 。故的取值范圍是。（4）設(shè)，則， ，令，得： ，。 列表如下：-101+0-0+0極大值極小值極大值 由上表可知：當時，函數(shù)取得極大值；當時，函數(shù) 取得極小值；當時，函數(shù)取得極大值。且當時，。為使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰好有4個不同的交點，則函數(shù)有4個零點，所以函數(shù)的極大值大于0，極小值小于0，即。故存在實數(shù)t滿足題設(shè)條件，且t的取值范圍是?！纠?】（2009 全國I）設(shè)函數(shù)在兩個極值點，且（I）求滿足的約束條件，并在下面的坐標平面內(nèi)，畫出滿足這

15、些條件的點的區(qū)域；(II) 證明：【解析】（I）。由題意知：方程有兩個根，且 則有故有 右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點的區(qū)域。 (II) 由題意有 又 消去可得 易知：關(guān)于遞減，因為，。 而， 【例5】已知函數(shù)， ， （） （1）若函數(shù)的圖象上任意一點處的切線的斜率都不大于，求實數(shù)的取值范圍。 （2）當時，若且，證明： （3）當時，若關(guān)于x的方程 （）有唯一實數(shù)解，求的值?！窘馕觥浚?）的定義域為。依題意，對恒成立。即恒成立。所以，而，其最大值為， 所以 （2）當a=0時，于是 。因為，由基本不等式可得： 。故題設(shè)不等式得證。（3）【法一】當a=0時，關(guān)于x的方程有唯一解等價于方程有唯一解

16、。 設(shè)（）則 ，令，即，求得：。 當時， 遞減；當時 ，遞增。 所以，當時，取得最小值 若是方程的唯一解，則有：， 即 ，顯然 而函數(shù)單調(diào)遞增，所以是方程的唯一解。 又，所以 ， 求得： 。 【法一】當a=0時，關(guān)于x的方程有唯一解等價于方程 在上有唯一解，設(shè)，則 ，令，求得：。當時，函數(shù)遞增：當時，函數(shù) 遞減 。所以當時，取得最大值。為使方程有唯一解，又m>0，故有：， 所以 【例6】（2011 湖南 文 22）設(shè)函數(shù)(I)討論的單調(diào)性；（II）若有兩個極值點，記過點的直線的斜率為，問：是否存在，使得 若存在，求出的值，若不存在，請說明理由【解析】（I）的定義域為 令，其判別式 當 故

17、上單調(diào)遞增 當?shù)膬筛夹∮?，在上，故上單調(diào)遞增當?shù)膬筛鶠椋敃r， ；當時， ；當時， ，故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（II）由（I）知，因為，所以 又由(I)知，于是若存在，使得則即亦即再由（I）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以這與式矛盾故不存在，使得【例7】（2011遼寧）已知函數(shù)（I）討論的單調(diào)性；（II）設(shè)，證明：當時，；（III）若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：（x0）0【解析】（I） 若單調(diào)增加. 若且當所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少. （II）設(shè)函數(shù)則 當時，即遞增，而，所以.故當時， （III）由（I）可得，當?shù)膱D像與x軸至多有一個交點，故，從而

18、的最大值為，且不妨設(shè)，則 由（II）得從而， 由（I）知， 【例8】（2011 江蘇 19）已知a，b是實數(shù)，函數(shù) 和 是的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間I上恒成立，則稱和在區(qū)間I上單調(diào)性一致.（1）設(shè)，若函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致,求實數(shù)b的取值范圍；（2）設(shè)且，若函數(shù)和在以a，b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求的最大值.【解析】（1）因為函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致，所以，對恒成立即恒成立。即，故b的取值范圍是（2）【法一】由得：若，則由，于是和在區(qū)間上不是單調(diào)性一致, 所以.因為當時，；當時，；當時，所以要使,只有,即所以。 取，則當時, 。 因此【法二】當時，因為，函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致，所以， ，即，因

19、為 ，所以 。故有 ，即設(shè)，考慮點的可行域，函數(shù)的斜率為1的切線的切設(shè)為，則，得：，從而 。當時，因為，函數(shù)和在區(qū)間（a, b）上單調(diào)性一致，所以，即 ， 從而得：，當時，因為，函數(shù)和在區(qū)間（a, b）上單調(diào)性一致，所以，即而x=0時，不符合題意， 當時，由題意：易知， ，所以綜上可知，?！菊f明】本題主要考查單調(diào)性概念、導(dǎo)數(shù)運算及應(yīng)用、含參不等式恒成立問題，綜合考查、線性規(guī)劃、解二次不等式、二次函數(shù)、化歸及數(shù)形結(jié)合的思想，考查用分類討論思想進行探索分析和解決問題的綜合能力.(1)中檔題；（2）難題. 【例9】（2009 湖北）已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)bx2cxbc,其導(dǎo)函數(shù)為f+(x)。.令g

20、(x),記函數(shù)g(x)在區(qū)間-1、1上的最大值為M. ()如果函數(shù)f(x)在x1處有極值-，試確定b、c的值： （）若b>1,證明對任意的c,都有M>2: ()若MK對任意的b、c恒成立，試求k的最大值。【解析】（I） ，由在處有極值可得 解得 或 若，則，此時沒有極值；若，則。列表如下：10+0極小值極大值 所以當時，有極大值，故，即為所求。（）【法一】：當時，函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外。在上的最值在兩端點處取得。故應(yīng)是和中較大的一個即【法二】（反證法）：因為，所以函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外。 在上的最值在兩端點處取得。故應(yīng)是和中較大的一個。 假設(shè)，則 將上述兩式相加得：，導(dǎo)致矛盾，

21、（）【法一】：（1）當時，由（）可知；（2）當時，函數(shù)）的對稱軸位于區(qū)間內(nèi)， 此時由有 若，則，于是若，則。 于是綜上，對任意的、都有而當時，在區(qū)間上的最大值故 對任意的、恒成立的的最大值為。 【法二】：（1）當時，由（）可知； （2）當時，函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間內(nèi)，此時 ，即下同解法1【例10】（2010 湖北）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為 （1）用表示出b、c。 （2）若在上恒成立，求的取值范圍。 （3）證明：【解析】（1），則有：，解得 （2）由（）知， 設(shè) 。易知 ， 則 令 ，求得：1 或 若，即 。當時，是減函數(shù)，所以，有，故在上不恒成立。 若 ，即。當時，是增函數(shù)，所以， ，故

22、恒成立。 綜上所述，所求的取值范圍為（3）【解法一】由（2）知：當時，有。 令，有。當時，。 令，有 即 ， 將上述個不等式累加得 ：。 即 【解法二】用數(shù)學(xué)歸納法證明當時，左邊，右邊，不等式成立假設(shè)時不等式成立。即 則 由（2）知：當時，有 令，有 令，得： 所以 就是說， 當時，不等式也成立。 根據(jù)和，可知不等式對任何都成立。 【例11】（2011 湖南 理）已知函數(shù)（） =，g（）=+。 （1）求函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由； （2）設(shè)數(shù)列 滿足，證明：存在常數(shù)M，使得對于任意的，都有.【解】（1）由 知：，而，且，則為的一個零點，且在內(nèi)有零點，因此至少有兩個零點。 易知 ， 記，則。當時

23、，因此在上單調(diào)遞增，則 在內(nèi)至多只有一個零點。又因為，則在內(nèi)有零點，所以在內(nèi)有且只有一個零點。記此零點為，則當時，；當時，；所以，當時，單調(diào)遞減，而，則在內(nèi)無零點；當時，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點；從而 在內(nèi)至多只有一個零點。 綜上所述，有且只有兩個零點。（2）記的正零點為，即。當時，由，即.而，因此，由此猜測：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當時，顯然成立；假設(shè)當時，有成立，則當時，由知：，因此，當時，成立。故對任意的， 成立。當時，由（1）知：在上單調(diào)遞增。則，即。從而，即，由此猜測：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當時，顯然成立；假設(shè)當時，有成立，則當時，由知，因此，當時， 成立。 故對任意的，成

24、立。綜上所述，存在常數(shù)，使得對于任意的，都有.【專題演練】1函數(shù)的圖象（ ） A 關(guān)于原點對稱 B關(guān)于主線對稱 C 關(guān)于軸對稱 D關(guān)于直線對稱2 定義在R上的偶函數(shù)的部分圖象如右圖所示，則在 上，下列函數(shù)中與的單調(diào)性不同的是（ ）A B C D3已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則( )A B C D 4 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= ，則f（2009）的值為 5 已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點處的切線方程是 6已知函數(shù)且（I）試用含的代數(shù)式表示；（）求的單調(diào)區(qū)間；（）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點，證明：線段與曲線存在異于、的公共點7已知函數(shù)的圖象在與軸交點處的切線方程是（I）求函數(shù)的解析式；（II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量的值【參考答案】1答