精品教案：第五章 平面向量

1、2010屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案平面向量一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu): 二、重點(diǎn)知識(shí)回顧1. 向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量 , 有二個(gè)要素:大小、方向 .2. 向量的表示方法:用有向線段表示;用字母 a 、 b 等表示;平面向量的坐標(biāo)表示:分別取與 x 軸、 y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量 i 、 j 作為基底。任作一個(gè)向量 a ,由平面向量基本定理知, 有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) x 、 y ,使得 a xi yj =+ , , (y x 叫做向量 a 的(直角坐標(biāo),記作 (, a x y = ,其中 x 叫做 a 在 x 軸上的坐標(biāo), y 叫做 a 在 y 軸上的坐標(biāo), 特 別地, i (1,0=,

2、j (0,1=, 0(0,0= 。 a = , (11y x A , , (22y x B ,則 (1212, y y x x -= , AB =3. 零向量、單位向量:長(zhǎng)度為 0的向量叫零向量,記為 ; 長(zhǎng)度為 1個(gè)單位長(zhǎng)度 的向量,叫單位向量 . 就是單位向量4. 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量; 我們規(guī)定 0 與任一向量平行 .向量 a 、 b 、 c 平行,記作 a b c . 共線向量與平行向量關(guān)系:平行向量就是共線向量 .5. 相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量 .6. 向量的加法、減法 :求兩個(gè)向量和的運(yùn)算, 叫做向量的加法。 向量加法的三角形法則和平行四

3、邊形法則。 向量的減法向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 與 b 的差。即:a -b = a + (-b ;差向量的意義: = a , =b , 則 =a - b 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算:若 11(, a x y = , 22(, b x y = ,則 a b + , (2121y y x x +=,a b - , (2121y y x x -=, (, a x y = 。向量加法的交換律 :+=+;向量加法的結(jié)合律:(+ +=+ (+7. 實(shí)數(shù)與向量的積:實(shí)數(shù) 與向量 a 的積是一個(gè)向量,記作:a(1 |a |=|a |;(2 >0時(shí) a 與 a 方向相同; <0時(shí) a 與 a

4、方向相反; =0時(shí) a =;(3運(yùn)算定律 (a =(a , (+a =a +a , (a +b =a +b 8. 向量共線定理 向量 b 與非零向量 a 共線(也是平行的充要條件是:有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù) ,使 b =a 。9. 平面向量基本定理:如果 1e , 2e 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平 面內(nèi)的任一向量 a ,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 1, 2使 a =11e +22e 。 (1不共線向量 1e 、 2e 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底; (2基底不惟一,關(guān)鍵是不共線; (3由定理可將 任一向量 a 在給出基底 1e 、 2e 的條件下進(jìn)行分解; (4基底給定時(shí),分解形式

5、惟一 . 1, 2是被 a , 1e , 2e 唯一確定的數(shù)量。10. 向量 和 的數(shù)量積: ·=| |·|cos,其中 0, 為 a 和 b 的夾角。 |b |cos稱為 b 在 a 的方向上的投影。 a ·b 的幾何意義是:b 的長(zhǎng) 度 |在 的方向上的投影的乘積,是一個(gè)實(shí)數(shù)(可正、可負(fù)、也可是零,而不是向量。 若 =(1x , 1y , =(x 2, 2y , 則 2121y y x x b a +=運(yùn)算律:a · b =b ·a , (a · b =a ·(b =(a ·b , (a +b ·c

6、=a ·c +b ·c 。 和 的夾角公式:cos =a b a b =222221212121y x y x y y x x + =2a a a |a |2=x2+y2,或 |a|=22y x =+ | a ·b | | a |·| b |。 11. 兩向量平行、垂直的充要條件 設(shè) =(1x , 1y , =(2x , 2y a b a ·b =0 , a b =1x 2x +1y 2y =0; /(a 充要條件是:有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù) ,使 b =a 。0/1221=-y x y x b a向量的平行與垂直的坐標(biāo)運(yùn)算注意區(qū)別,在解題時(shí)容易混

7、淆。12. 點(diǎn) P 分有向線段 21P P 所成的比的 : 21PP P P =, P 內(nèi)分線段 21P P 時(shí) ,0> P 外分線段 21P P 時(shí) ,0<. 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、三角形重心公式: +=+=112121y y y x x x (1- 、 +=+=222121y y y x x x 、 3, 3(321321y y y x x x + 三、考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一 :向量的概念、向量的基本定理【內(nèi)容解讀】了解向量的實(shí)際背景,掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向 量、相等向量等概念,理解向量的幾何表示,掌握平面向量的基本定理。注意對(duì)向量概念的理解, 向量是可

8、以自由移動(dòng)的, 平移后所得向量與原向量相同; 兩個(gè) 向量無(wú)法比較大小,它們的?？杀容^大小。如果 1e 和 2e 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線 .向量, 那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量 a有且只有一 對(duì)實(shí)數(shù) 1、 2,使 a =11e +22e .注意:若 1e 和 2e 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線 . 向量,【命題規(guī)律】 有關(guān)向量概念和向量的基本定理的命題, 主要以選擇題或填空題為主, 考 查的難度屬中檔類(lèi)型。例 1、(2007上海直角坐標(biāo)系 xOy 中, i j , 分別是與 x y , 軸正方向同向的單位向量. 在直角三角形 ABC 中, 若 j k i j i +=+=3, 2,則 k 的可能值個(gè)數(shù)

9、是 ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解:如圖,將 A 放在坐標(biāo)原點(diǎn),則 B 點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,1, C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (3,k,所以 C 點(diǎn)在直線 x=3上,由圖知,只可能 A 、 B 為直角, C 不可能為直角.所以 k 的可 能值個(gè)數(shù)是 2,選 B點(diǎn)評(píng) :本題主要考查向量的坐標(biāo)表示,采用數(shù)形結(jié)合法,巧妙求解,體現(xiàn)平面向量中的數(shù)形結(jié)合思想。例 2、 (2007陜西如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量 OA 、 、 , 其中與 OA 與的夾角為 120°, OA 與 的夾角為 30°, 且 |OA |=|=1, | =2,若 =OA +(, R , 則 +的值為 .解 :過(guò) C 作

10、OA 與 OC 的平行線與它們的延長(zhǎng)線相交, 可得平行四邊形, 由角 BOC=90°角 AOC=30=32得平行四邊形的邊長(zhǎng)為 2和 4, =+2+4=6 點(diǎn)評(píng) :本題考查平面向量的基本定理, 向量 OC 用向量 OA 與向量 OB 作為基底表示出 來(lái)后,求相應(yīng)的系數(shù),也考查了平行四邊形法則。考點(diǎn)二 :向量的運(yùn)算【內(nèi)容解讀】 向量的運(yùn)算要求掌握向量的加減法運(yùn)算, 會(huì)用平行四邊形法則、 三角形法 則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算; 掌握實(shí)數(shù)與向量的積運(yùn)算, 理解兩個(gè)向量共線的含義, 會(huì)判斷兩個(gè) 向量的平行關(guān)系; 掌握向量的數(shù)量積的運(yùn)算, 體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系, 并 理解其幾何意義,

11、 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式, 會(huì)進(jìn)行平面向量積的運(yùn)算, 能運(yùn)用數(shù)量積表示 兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用向量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。【命題規(guī)律】命題形式主要以選擇、填空題型出現(xiàn),難度不大,考查重點(diǎn)為模和向量夾 角的定義、夾角公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算,有時(shí)也會(huì)與其它內(nèi)容相結(jié)合。例 3、 (2008湖北文、理 設(shè) a =(1,-2,b =(-3,4,c =(3,2,則 (a +2b ·c =( A.(-15,12 B.0 C. -3 D. -11解 :(a +2b (1, 2 2(3,4 (5,6 -+-=-, (a +2b ·c (5,6 (3,23=-=-,選C點(diǎn)評(píng) :本題考查向量與

12、實(shí)數(shù)的積,注意積的結(jié)果還是一個(gè)向量,向量的加法運(yùn)算,結(jié)果 也是一個(gè)向量,還考查了向量的數(shù)量積,結(jié)果是一個(gè)數(shù)字。例 4、 (2008廣東文 已知平面向量 , 2(, 2, 1(m b a -=, 且 a b , 則 b a 32+=( A .(-2, -4 B. (-3, -6 C. (-4, -8 D. (-5, -10解 :由 ,得 m =-4,所以,b a 32+=(2, 4+(-6,-12=(-4,-8,故選(C 。點(diǎn)評(píng) :兩個(gè)向量平行,其實(shí)是一個(gè)向量是另一個(gè)向量的 倍,也是共線向量, 注意運(yùn)算 的公式,容易與向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算混淆。例 5、 (2008海南、寧夏文 已知平面向量 a =

13、(1,-3, b =(4,-2, a b + 與 a垂直,則 是( A. -1 B. 1 C. -2 D. 2解 :由于 (4, 32, 1, 3, a b a a b a +=+-=-+ (43320+-=,即 101001+=-,選A點(diǎn)評(píng) :本題考查簡(jiǎn)單的向量運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算, 注意不要出現(xiàn)運(yùn)算出錯(cuò), 因?yàn)?這是一道基礎(chǔ)題,要爭(zhēng)取滿分。例 6、 (2008廣東理 在平行四邊形 ABCD 中, AC 與 BD 交于點(diǎn) O , E 是線段 OD 的中 點(diǎn), AE 的延長(zhǎng)線與 CD 交于點(diǎn) F. 若 =, =, 則 =( A . 1142a b + B. 2133a b + C. 112

14、4a b + D. 1233a b + 解 :21=, 2 121+=+=, 4而滿足此條件的選擇支只有 B ,故選 B.點(diǎn)評(píng) :用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行向量的加減法運(yùn)算是向量運(yùn)算的一個(gè)難點(diǎn), 體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 例 7、 (2008江 蘇 已 知 向 量 a 和 b 的 夾 角 為 0120, |1,|3a b = , 則|5|a b -= .,r r 5a - b = 7 點(diǎn)評(píng)：向量的模、向量的數(shù)量積的運(yùn)算是經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，難度不大，只要細(xì)心，運(yùn)算 不要出現(xiàn)錯(cuò)誤即可。 考點(diǎn)三：定比分點(diǎn) 【內(nèi)容解讀】掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并能熟練應(yīng)用，求點(diǎn)分有向線段所 成比時(shí)，可借

15、助圖形來(lái)幫助理解。 【命題規(guī)律】重點(diǎn)考查定義和公式，主要以選擇題或填空題型出現(xiàn)，難度一般。由于向 量應(yīng)用的廣泛性，經(jīng)常也會(huì)與三角函數(shù)，解析幾何一并考查，若出現(xiàn)在解答題中，難度以中 檔題為主，偶爾也以難度略高的題目。 例 8 、 (2008 湖南理 設(shè) D 、 E 、 F 分別是 ABC 的三邊 BC 、 CA 、 AB 上的點(diǎn)，且 r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu DC = 2BD, CE = 2EA, AF = 2FB, 則 AD + BE + CF 與 BC ( A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 uu

16、ur uuu r uuur AC + 2 AB 1 uuur 2 uuu r 解：由定比分點(diǎn)的向量式得: AD = = AC + AB, 同理，有： 1+ 2 3 3 uuu r uuu r uuu r r 1 uuu AD + BE + CF = - BC , 所以選 A. 3 D.既不平行也不垂直 uuu r 1 uuu r 2 uuu r uuu r 1 uuu r 2 uuu r BE = BC + BA, CF = CA + CB, 以上三式相加得 3 3 3 3 點(diǎn)評(píng)：利用定比分點(diǎn)的向量式，及向量的運(yùn)算，是解決本題的要點(diǎn). 考點(diǎn)四：向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題 【內(nèi)容解讀】向量與三角函

17、數(shù)的綜合問(wèn)題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題，考查了向量的知識(shí)， 三角函數(shù)的知識(shí)，達(dá)到了高考中試題的覆蓋面的要求。 【命題規(guī)律】 命題以三角函數(shù)作為坐標(biāo)， 以向量的坐標(biāo)運(yùn)算或向量與解三角形的內(nèi)容相 結(jié)合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結(jié)合的問(wèn)題，屬中檔偏易題。 例 9 、（ 2008 深圳福田等）已知向量 a = ( 3 sin x , cosx , b = (cos x , cos x , 函數(shù) r r r r f ( x = 2a × b - 1 (1求 f ( x 的最小正周期; (2當(dāng) x Î p 6 , p 2 時(shí), 若 f ( x = 1, 求 x 的值 解：(1 f ( x

18、= 2 3sin x cos x + 2cos2 x -1 = 3sin 2 x + cos 2 x = 2sin(2 x + 所以，T p . (2 由 f ( x = 1, 得 sin ç 2 x + p 6 . æ è pö 1 ÷= ， 6ø 2 x Î p p 6 2 , ， 2 x + p p 7p p 5p Î , 2x + = 6 2 6 6 6 x= p 3 點(diǎn)評(píng)：向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題是當(dāng)前的一個(gè)熱點(diǎn)，但通常難度不大，一般就是 以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件， 并結(jié)合簡(jiǎn)單的向量運(yùn)算，

19、 而考查的主體 部分則是三角函數(shù)的恒等變換，以及解三角形等知識(shí)點(diǎn). 例 10、 （2007 山東文） 在 ABC 中， 角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c， tan C = 3 7 （1）求 cos C ； （2）若 CB · CA = 5 ，且 a + b = 9 ，求 c 2 sin C =3 7 解：（1）Q tan C = 3 7， cos C 又Q sin C + cos C = 1 2 2 uuu r uuu r 1 8 1 Q tan C > 0 ， C 是銳角 cos C = 8 uuu r uuu r 5 5 ab cos C = ， ab = 20 （

20、2）由 CB · CA = ， 2 2 解得 cos C = ± 又Q a + b = 9 a2 + 2ab + b2 = 81 a 2 + b2 = 41 c2 = a2 + b2 - 2ab cos C = 36 c = 6 點(diǎn)評(píng)：本題向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，考查向量的數(shù)量積，余弦定理等內(nèi)容。 æx ö æ ö - 2 ÷ 平移，則平移后所 例 11、（2007 湖北）將 y = 2cos ç + ÷ 的圖象按向量 a = ç - ， 3 6 4 è ø è

21、 ø 得圖象的解析式為（ æx ö y = 2cos ç + ÷ - 2 è3 4ø æx ö y = 2 cos ç - ÷ - 2 è 3 12 ø ） æ x ö y = 2cos ç - ÷ + 2 è3 4ø æx ö y = 2 cos ç + ÷ + 2 è 3 12 ø ' ' ' 解： 由向量平移的定義，

22、在平移前、 后的圖像上任意取一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn) P x , y ， P ( x, y ) ， ( ) p ' æ ö ' - 2 ÷ = P ' P = x - x ' , y - y ' Þ x = x + , y = y + 2 ，代入到已知解析式中可 則a = ç- ， 4 è 4 ø uuur ( ) 得選 點(diǎn)評(píng)：本題主要考察向量與三角函數(shù)圖像的平移的基本知識(shí)，以平移公式切入，為中檔 題。注意不要將向量與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的順序搞反，或死記硬背以為是先向右平移 下平移 2 個(gè)單位，誤選 考點(diǎn)五：平

23、面向量與函數(shù)問(wèn)題的交匯 p 個(gè)單位，再向 4 【內(nèi)容解讀】平面向量與函數(shù)交匯的問(wèn)題，主要是向量與二次函數(shù)結(jié)合的問(wèn)題為主，要 注意自變量的取值范圍。 【命題規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中檔題。 例 12、（2008 廣東六校聯(lián)考）已知向量 a (cos 且 x0， r v x x 3 3 sin ， x，sin x， b ( - cos ， 2 2 2 2 p 2 （1）求 a + b v v v v （2）設(shè)函數(shù) f ( x = a + b + a × b ，求函數(shù) f ( x 的最值及相應(yīng)的 x 的值。 解：（錯(cuò)誤！未找到引用源。）由已知條件： 0 £ x £

24、v v p 2 ， 得： r r 3x x 3x x 3x x 3x x a + b = (cos + cos , sin - sin = (cos + cos 2 + (sin - sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 - 2c o 2 s x = 2s i n x （2） f ( x = 2 sin x + cos 3x x 3x x cos - sin sin = 2 sin x + cos 2 x 2 2 2 2 1 3 2 = -2 s i n x + 2s i n x + 1 = -2( s i n x - 2 + 2 2 因?yàn)椋?0 £ x £

25、p 2 ，所以： 0 £ sin x £ 1 所以，只有當(dāng)： x = 1 3 時(shí)， f max ( x = 2 2 x = 0 ，或 x = 1 時(shí)， f min ( x = 1 點(diǎn)評(píng)：本題考查向量、三角函數(shù)、二次函數(shù)的知識(shí)，經(jīng)過(guò)配方后，變成開(kāi)口向下的二次 函數(shù)圖象，要注意 sinx 的取值范圍，否則容易搞錯(cuò)。 考點(diǎn)六：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用 【內(nèi)容解讀】向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上就是向量的代數(shù)表示在引入向量的坐標(biāo)表示后， 使向量之間的運(yùn)算代數(shù)化，這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起因此，許多平 面幾何問(wèn)題中較難解決的問(wèn)題， 都可以轉(zhuǎn)化為大家熟悉的代數(shù)運(yùn)算的論證 也就是把平面幾 何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，賦予幾何圖形有關(guān)點(diǎn)與平面向量 y 具體的坐標(biāo)，這樣將有關(guān)平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算 C 和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決 【命題規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。 例 13、如圖在 Rt D ABC 中，已知 BC=a，若長(zhǎng)為 2a 的線 段 PQ 以 A 為中點(diǎn)， 問(wèn) PQ 與 BC 的夾角 q 取何值時(shí)， BP × CQ a C A a A B