三角形五心性質(zhì)概念整理(超全)

1、重心1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。3、重心到三角形3個頂點距離平方的和最小。 證明方法：設(shè)三角形三個頂點為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一點為（x，y） 則該點到三頂點距離平方和為：(x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32=3x-1/3*(x1+x2+x3)2+3y-1/3*(y1+y2+y3)2+x12+x22+x32+y

2、12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2顯然當(dāng)x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐標(biāo)）時上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2最終得出結(jié)論。4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即其坐標(biāo)為(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3；空間直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3，縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3，縱坐標(biāo)：（Z1+Z2+Z3）/35、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點。6、在ABC中，若MA向量+MB向量+

3、MC向量=0（向量） ，則M點為ABC的重心，反之也成立。7、設(shè)ABC重心為G點，所在平面有一點O，則向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）內(nèi)心設(shè)ABC的內(nèi)切圓為I(r)，A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/21、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r2、BIC=90°+BAC/23、在RtABC中,A=90°,三角形內(nèi)切圓切BC于D，則SABC=BD×CD4、點O是平面ABC上任意一點，點I是ABC內(nèi)心的充要條件是：向量OI=a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)/(a+b+c)5、在ABC中，若三個頂點分別是A(x

4、1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么ABC內(nèi)心I的坐標(biāo)是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)6、(歐拉定理)ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OI2=R2-2Rr7、ABC中：a,b,c分別為三邊，S為三角形面積，則內(nèi)切圓半徑r=2S/(a+b+c)8、雙曲線上任一支上一點與兩交點組成的三角形的內(nèi)心在實軸的射影為對應(yīng)支的頂點。9、ABC中，內(nèi)切圓分別與AB，BC，CA相切于P，Q，R，則AP=AR=(b+c-a)/2， BP =B

5、Q =(a+c-b)/2, CR =CQ =(b+a-c)/2,r=(b+c-a)tan(A/2)/2。10、三角形內(nèi)角平分線定理：ABC中，I為內(nèi)心，BAC 、ABC、 ACB的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于Q、R、P，則BQ/QC=c/b，BP/PA=a/b， CR/RA=a/c。內(nèi)切圓的半徑（1）在RtABC中，C=90°，r=(a+b-c)/2（2）在RtABC中，C=90°，r=ab/(a+b+c)（3）任意ABC中r=（2*SABC）/CABC （C為周長）外心設(shè)ABC的外接圓為G(R)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2性質(zhì)1：（1

6、）銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；（2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合；（3）鈍角三角形的外心在三角形外.（4）等邊三角形外心與內(nèi)心為同一點。性質(zhì)2：BGC=2A，（或BGC=2(180°-A)）.性質(zhì)3：GAC+B=90°證明：如圖所示延長AG與圓交與P（B、C下面的那個點）A、C、B、P四點共圓P=BP+GAC=90°GAC+B=90°性質(zhì)4：點G是平面ABC上一點，點P是平面ABC上任意一點，那么點G是ABC外心的充要條件是：（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(

7、tanA+tanB+tanC).或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.性質(zhì)5：三角形三條邊的垂直平分線交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心.外心到三頂點的距離相等。性質(zhì)6：點G是平面ABC上一點，那么點G是ABC外心的充要條件(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.三角形外接圓半徑：R=abc/（4SABC）垂心1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三

8、角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；3、 垂心H關(guān)于三邊的對稱點，均在ABC的外接圓上。4、 ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。5、 H、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一垂心組)。6、 ABC，ABH，BCH，ACH的外接圓是等圓。7、 在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。8、 三角形任

9、一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。9、 設(shè)O，H分別為ABC的外心和垂心，則BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。10、 銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。11、 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。12、西姆松(Simson)定理（西姆松線）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。13、 設(shè)銳角ABC內(nèi)有一點P，那么P是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。向量PA*向量PB=向量PB*向量PC=向量PC*向量