數(shù)學(xué)分支巡禮之二十：數(shù)理邏輯

1、.數(shù)學(xué)分支巡禮之二十：數(shù)理邏輯數(shù)學(xué)分支巡禮之二十邏輯是探究、闡述和確立有效推理原那么的學(xué)科，最早由古希臘學(xué)者亞里士多德創(chuàng)立的。用數(shù)學(xué)的方法研究關(guān)于推理、證明等問(wèn)題的學(xué)科就叫做數(shù)理邏輯。也叫做符號(hào)邏輯。數(shù)理邏輯的產(chǎn)生利用計(jì)算的方法來(lái)代替人們思維中的邏輯推理過(guò)程，這種想法早在十七世紀(jì)就有人提出過(guò)。萊布尼茨就曾經(jīng)射向果能不能創(chuàng)造一種“通用的科學(xué)語(yǔ)言，可以把推理過(guò)程象數(shù)學(xué)一樣利用公式來(lái)進(jìn)展計(jì)算，從而得出正確的結(jié)論。由于當(dāng)時(shí)的社會(huì)條件，他的想法并沒(méi)有實(shí)現(xiàn)。但是它的思想?yún)s是現(xiàn)代數(shù)理邏輯部分內(nèi)容的萌芽，從這個(gè)意義上講，萊布尼茨的思想可以說(shuō)是數(shù)理邏輯的先驅(qū)。1847年，英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾發(fā)表了?邏輯的數(shù)學(xué)分析?，

2、建立了“布爾代數(shù)，并創(chuàng)造一套符號(hào)系統(tǒng)，利用符號(hào)來(lái)表示邏輯中的各種概念。布爾建立了一系列的運(yùn)算法那么，利用代數(shù)的方法研究邏輯問(wèn)題，初步奠定了數(shù)理邏輯的根底。十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，數(shù)理邏輯有了比較大的開(kāi)展，1884年，德國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷格出版了?數(shù)論的根底?一書(shū)，在書(shū)中引入量詞的符號(hào)，使得數(shù)理邏輯的符號(hào)系統(tǒng)更加完備。對(duì)建立這門(mén)學(xué)科做出奉獻(xiàn)的，還有美國(guó)人皮爾斯，他也在著作中引入了邏輯符號(hào)。從而使現(xiàn)代數(shù)理邏輯最根本的理論根底逐步形成，成為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科。數(shù)理邏輯的內(nèi)容數(shù)理邏輯包括哪些內(nèi)容呢？這里我們先介紹它的兩個(gè)最根本的也是最重要的組成部分，就是“命題演算和“謂詞演算。命題演算是研究關(guān)于命題如何通過(guò)一些邏

3、輯連接詞構(gòu)成更復(fù)雜的命題以及邏輯推理的方法。命題是指具有詳細(xì)意義的又能判斷它是真還是假的句子。假如我們把命題看作運(yùn)算的對(duì)象，如同代數(shù)中的數(shù)字、字母或代數(shù)式，而把邏輯連接詞看作運(yùn)算符號(hào)，就象代數(shù)中的“加、減、乘、除那樣，那么由簡(jiǎn)單命題組成復(fù)和命題的過(guò)程，就可以當(dāng)作邏輯運(yùn)算的過(guò)程，也就是命題的演算。這樣的邏輯運(yùn)算也同代數(shù)運(yùn)算一樣具有一定的性質(zhì)，滿足一定的運(yùn)算規(guī)律。例如滿足交換律、結(jié)合律、分配律，同時(shí)也滿足邏輯上的同一律、吸收律、雙否認(rèn)律、狄摩根定律、三段論定律等等。利用這些定律，我們可以進(jìn)展邏輯推理，可以簡(jiǎn)化復(fù)和命題，可以推證兩個(gè)復(fù)合命題是不是等價(jià)，也就是它們的真值表是不是完全一樣等等。命題演算的

4、一個(gè)詳細(xì)模型就是邏輯代數(shù)。邏輯代數(shù)也叫做開(kāi)關(guān)代數(shù)，它的根本運(yùn)算是邏輯加、邏輯乘和邏輯費(fèi)，也就是命題演算中的“或、“與、“非，運(yùn)算對(duì)象只有兩個(gè)數(shù) 0和 1，相當(dāng)于命題演算中的“真和“假。邏輯代數(shù)的運(yùn)算特點(diǎn)如同電路分析中的開(kāi)和關(guān)、高電位和低電位、導(dǎo)電和截至等現(xiàn)象完全一樣，都只有兩種不同的狀態(tài)，因此，它在電路分析中得到廣泛的應(yīng)用。利用電子元件可以組成相當(dāng)于邏輯加、邏輯成和邏輯非的門(mén)電路，就是邏輯元件。還能把簡(jiǎn)單的邏輯元件組成各種邏輯網(wǎng)絡(luò)，這樣任何復(fù)雜的邏輯關(guān)系都可以有邏輯元件經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕M合來(lái)實(shí)現(xiàn)，從而使電子元件具有邏輯判斷的功能。因此，在自動(dòng)控制方面有重要的應(yīng)用。謂詞演算也叫做命題涵項(xiàng)演算。在謂詞演

5、算里，把命題的內(nèi)部構(gòu)造分析成具有主詞和謂詞的邏輯形式，由命題涵項(xiàng)、邏輯連接詞和量詞構(gòu)成命題，然后研究這樣的命題之間的邏輯推理關(guān)系。命題涵項(xiàng)就是指除了含有常項(xiàng)以外還含有變項(xiàng)的邏輯公式。常項(xiàng)是指一些確定的對(duì)象或者確定的屬性和關(guān)系；變項(xiàng)是指一定范圍內(nèi)的任何一個(gè)，這個(gè)范圍叫做變項(xiàng)的變域。命題涵項(xiàng)和命題演算不同，它無(wú)所謂真和假。假如以一定的對(duì)象概念代替變項(xiàng)，那么命題涵項(xiàng)就成為真的或假的命題了。命題涵項(xiàng)加上全程量詞或者存在量詞，那么它就成為全稱(chēng)命題或者特稱(chēng)命題了。數(shù)理邏輯的開(kāi)展數(shù)理邏輯這門(mén)學(xué)科建立以后，開(kāi)展比較迅速，促進(jìn)它開(kāi)展的因素也是多方面的。比方，非歐幾何的建立，促進(jìn)人們?nèi)パ芯糠菤W幾何和歐氏幾何的無(wú)矛

6、盾性，就促進(jìn)了數(shù)理邏輯的開(kāi)展。集合論的產(chǎn)生是近代數(shù)學(xué)開(kāi)展的重大事件，但是在集合論的研究過(guò)程中，出現(xiàn)了一次稱(chēng)作數(shù)學(xué)史上的第三次大危機(jī)。這次危機(jī)是由于發(fā)現(xiàn)了集合論的悖論引起。什么是悖論呢？悖論就是邏輯矛盾。集合論本來(lái)是論證很?chē)?yán)格的一個(gè)分支，被公認(rèn)為是數(shù)學(xué)的根底。1903年，英國(guó)唯心主義哲學(xué)家、邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素卻對(duì)集合論提出了以他名字命名的“羅素悖論，這個(gè)悖論的提出幾乎動(dòng)搖了整個(gè)數(shù)學(xué)根底。羅素悖論中有許多例子，其中一個(gè)很通俗也很有名的例子就是“理發(fā)師悖論：某鄉(xiāng)村有一位理發(fā)師，有一天他宣布：只給不自己刮胡子的人刮胡子。那么就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題：理發(fā)師終究給不給自己刮胡子？假如他給自己刮胡子，他就是自己

7、刮胡子的人，按照他的原那么，他又不該給自己刮胡子；假如他不給自己刮胡子，那么他就是不自己刮胡子的人，按照他的原那么，他又應(yīng)該給自己刮胡子。這就產(chǎn)生了矛盾。悖論的提出，促使許多數(shù)學(xué)家去研究集合論的無(wú)矛盾性問(wèn)題，從而產(chǎn)生了數(shù)理邏輯的一個(gè)重要分支公理集合論。非歐幾何的產(chǎn)生和集合論的悖論的發(fā)現(xiàn)，說(shuō)明數(shù)學(xué)本身還存在許多問(wèn)題，為了研究數(shù)學(xué)系統(tǒng)的無(wú)矛盾性問(wèn)題，需要以數(shù)學(xué)理論體系的概念、命題、證明等作為研究對(duì)象，研究數(shù)學(xué)系統(tǒng)的邏輯構(gòu)造和證明的規(guī)律，這樣又產(chǎn)生了數(shù)理邏輯的另一個(gè)分支證明論。數(shù)理邏輯新近還開(kāi)展了許多新的分支，如遞歸論、模型論等。第歸論主要研究可計(jì)算性的理論，他和計(jì)算機(jī)的開(kāi)展和應(yīng)用有親密的關(guān)系。模型

8、論主要是研究形式系統(tǒng)和數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系。數(shù)理邏輯近年來(lái)開(kāi)展特別迅速，主要原因是這門(mén)學(xué)科對(duì)于數(shù)學(xué)其它分支如集合論、數(shù)論、代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)等的開(kāi)展有重大的影響，特別是對(duì)新近形成的計(jì)算機(jī)科學(xué)的開(kāi)展起了推動(dòng)作用。反過(guò)來(lái)，其他學(xué)科的開(kāi)展也推動(dòng)了數(shù)理邏輯的開(kāi)展。正因?yàn)樗且蚤T(mén)新近興起而又開(kāi)展很快的學(xué)科，所以它本身也存在許多問(wèn)題有待于深化研究。如今許多數(shù)學(xué)家正針對(duì)數(shù)理邏輯本身的問(wèn)題，進(jìn)展研究解決。其實(shí),任何一門(mén)學(xué)科都離不開(kāi)死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會(huì)“活用。不記住那些根底知識(shí),怎么會(huì)向高層次進(jìn)軍?尤其是語(yǔ)文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進(jìn)步學(xué)生的寫(xiě)作程度,單靠分析文章的寫(xiě)作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底

9、知識(shí)抓起,每天擠一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語(yǔ)、新穎的材料等。這樣,就會(huì)在有限的時(shí)間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無(wú)限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。我國(guó)古代的讀書(shū)人,從上學(xué)之日起,就日誦不輟,一般在幾年內(nèi)就能識(shí)記幾千個(gè)漢字,熟記幾百篇文章,寫(xiě)出的詩(shī)文也是字斟句酌,瑯瑯上口,成為滿腹經(jīng)綸的文人。為什么在現(xiàn)代化教學(xué)的今天,我們念了十幾年書(shū)的高中畢業(yè)生甚至大學(xué)生,竟提起作文就頭疼,寫(xiě)不出像樣的文章呢?呂叔湘先生早在1978年就鋒利地提出:“中小學(xué)語(yǔ)文教學(xué)效果差,中學(xué)語(yǔ)文畢業(yè)生語(yǔ)文程度低,十幾年上課總時(shí)數(shù)是9160課時(shí),語(yǔ)文是2749課時(shí),恰好是30

10、%,十年的時(shí)間,二千七百多課時(shí),用來(lái)學(xué)本國(guó)語(yǔ)文,卻是大多數(shù)不過(guò)關(guān),豈非咄咄怪事!尋根究底,其主要原因就是腹中無(wú)物。特別是寫(xiě)議論文,初中程度以上的學(xué)生都知道議論文的“三要素是論點(diǎn)、論據(jù)、論證,也通曉議論文的根本構(gòu)造:提出問(wèn)題分析問(wèn)題解決問(wèn)題,但真正動(dòng)起筆來(lái)就犯難了。知道“是這樣,就是講不出“為什么。根本原因還是無(wú)“米下“鍋。于是便翻開(kāi)作文集錦之類(lèi)的書(shū)大段抄起來(lái),抄人家的名言警句,抄人家的事例,不參考作文書(shū)就很難寫(xiě)出像樣的文章。所以,詞匯貧乏、內(nèi)容空洞、千篇一律便成了中學(xué)生作文的通病。要解決這個(gè)問(wèn)題,不能單在布局謀篇等寫(xiě)作技方面下功夫,必須認(rèn)識(shí)到“死記硬背的重要性,讓學(xué)生積累足夠的“米?？傊@門(mén)學(xué)科的重要性已經(jīng)十清楚顯，他已經(jīng)引起了更多人的關(guān)心和重視?！敖虝?shū)先生恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱(chēng)呼，從最初的門(mén)館、私塾到晚清的學(xué)堂，“教書(shū)先生那一行當(dāng)怎么說(shuō)也算是讓國(guó)人景仰甚或敬畏的一種社會(huì)職業(yè)。只是更早的“先生概念并非源于教書(shū)，最初出現(xiàn)的“先生一詞也并非有傳授知識(shí)那般的含義。?孟子?中的“先生何為出此言也？；?論語(yǔ)?中的“有酒食，先生饌；?國(guó)策?中的“先生坐，何至于此？等等，均指“先生為父兄或有學(xué)問(wèn)、