復數的三角形式及運算

1、任務目標n知道復數的模和幅角的定義n會求復數的模和幅角主值n能求出復數的三角形式 n會進行復數三角形式的乘除運算 學習內容n復數的模的定義n復數的幅角的定義n復數的模和幅角主值的求解n復數的三角形式及其求解n復數三角形式的乘法n復數三角形式的除法復數的模復數的模 由于不等于由于不等于0的復數的復數 可以用向量可以用向量 表示（如圖）表示（如圖）把向量把向量 的長度的長度 叫做復數的模數，叫做復數的模數，簡稱模（或絕對值），簡稱模（或絕對值）， 記作記作 或或 biazOMOMrZbia由由直角三角形的知識可得：直角三角形的知識可得：22barbiaZrZZbabiaZ222222)(ZZbab

2、iabiaZZ且有例 求下列復數的模（或絕對值）（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）i 310i 22 i 31i 578i3i 33i 6把從把從 軸的正半軸到向量軸的正半軸到向量 的角的角 叫做復數叫做復數 的幅角（的幅角（如圖）如圖）oxOMbiaZ復數的幅角復數的幅角（1）不等于）不等于0的復數的幅角的復數的幅角 有無數有無數多個，這些值相差多個，這些值相差 的整數倍。的整數倍。 （2）規(guī)定，滿足條件）規(guī)定，滿足條件 的幅角的幅角叫做幅角的主值。通常記為叫做幅角的主值。通常記為 ，即即 。 ZargZarg （3）對于復數）對于復數0 0，它所對應的

3、向量縮成一個點（零向量），它所對應的向量縮成一個點（零向量），這樣的向量沒有確定的方向，所以復數這樣的向量沒有確定的方向，所以復數0 0沒有確定的幅角。沒有確定的幅角。 說明：說明：2坐標軸上的復數的幅角主值坐標軸上的復數的幅角主值 設設 是一個正實數，那么有：是一個正實數，那么有： a1 1、復數、復數 是正實數，它對應的點在實軸的正半軸上，是正實數，它對應的點在實軸的正半軸上， 所以所以 2 2、復數、復數 是負實數，它對應的點在實軸的負半軸上，是負實數，它對應的點在實軸的負半軸上， 所以所以 3、復數復數 是純虛數，它對應的點在虛軸的正半軸上，是純虛數，它對應的點在虛軸的正半軸上， 所以

4、所以 4、復數復數 是純虛數，它對應的點在虛軸的負半軸上，是純虛數，它對應的點在虛軸的負半軸上， 所以所以 aaiaia0arg）（a )arg( a2)arg(ai2)arg(ai例例 求下列復數的幅角主值：求下列復數的幅角主值：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）i 310i 22 i 31i 578i3i 33i 6作業(yè)作業(yè): 求下列復數的模和幅角主值：求下列復數的模和幅角主值：（1） （2）（3） （4）i 25i 33i113)6(i5)5(復數的三角形式復數的三角形式 由右圖可以看出，對于復數由右圖可以看出，對于復數 有有biaZsincosrb

5、ra所以所以 )sin(cossincosirirrbia其中，其中，r r為復數的模，為復數的幅角。為復數的模，為復數的幅角。 定義：把定義：把 叫做復數的三角形式叫做復數的三角形式 )sin(cosir為了同三角形式相區(qū)別，把為了同三角形式相區(qū)別，把 叫做復數的代數形式叫做復數的代數形式 bia 說明1、在電工學中，可以將復數的三角形式寫成：、在電工學中，可以將復數的三角形式寫成： ， 即即 rr)sin(cosir 2、在復數的三角形式中，幅角、在復數的三角形式中，幅角 的值可以用弧度表示，的值可以用弧度表示， 也可以用角度表示，可以是主值，也可以是主值加也可以用角度表示，可以是主值，也

6、可以是主值加 或或 （ 為整數）。但為了簡單起見，復為整數）。但為了簡單起見，復 數的代數形式化為三角形式時，一般將數的代數形式化為三角形式時，一般將 寫成主值。寫成主值。k2360kk例例 將下列復數轉化為三角形式將下列復數轉化為三角形式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）i 510i 22 i 31i 5208i3i 33i 6 例例 將下列復數的三角形式轉化為代數形式將下列復數的三角形式轉化為代數形式 （1）（2）（3） （4） （5 5）（6 6） )57sin57(cos14i5868830)65sin65(cos4i1536)3sin3(cos

7、10i作業(yè)：作業(yè)：25)4(6) 3(22)2(3) 1 (14321zziziz形式、將下列復數化為三角)72sin72(cos5)4()2sin()2cos(3)3(23)2()6sin6(cos3) 1 (24321izizziz形式、將下列復數化為代數復數三角形式的乘法復數三角形式的乘法 設設 的三角形式分別是：的三角形式分別是： 21Z、Z)sin(cos1111irZ)sin(cos2222irZ)sin(cos)sin(cos22211121irirZZ于是于是)sin()cos(212121irr即是說，兩個復數相乘，積還是一個復數，它的模即是說，兩個復數相乘，積還是一個復數，

8、它的模等于各復數的模的積，它的幅角等于各復數的幅角等于各復數的模的積，它的幅角等于各復數的幅角的和。簡單的說，兩個復數三角形式相乘的法則為：的和。簡單的說，兩個復數三角形式相乘的法則為：模數相乘，幅角相加模數相乘，幅角相加 復數的三角形式乘法法則有如下推論（1）有限個復數相乘，結論亦成立。即 )sin(cos)sin(cos)sin(cos22211121nnnniririrZZZ)sin()cos(212121nnnirrr（2）當 時，即 ，有ZZZZn21nnrrrr2121,)sin(cos)sin(cosninrirZnnn這就是復數三角形式的乘方法則，即：n模數乘方，幅角模數乘方，

9、幅角 倍倍在復數三角形式的乘方法則中，當 時，則有 1rnininsincos)sin(cos這個公式叫做棣美弗公式。 例 計算下列各式：（1）（2）（3）（4）)65sin65(cos3)12sin12(cos2ii4)3sin3(cos2i5)36sin36(cosi)43sin43(cos7)6sin6(cos3ii鞏固練習：鞏固練習：)6sin6(cos2)4sin4(cos8) 1 (ii)65sin65(cos4)34sin34(cos2) 2(ii)108sin108(cos5)54sin54(cos2)18sin18(cos3)3(iii6)6sin6(cos3)4(i5)36

10、sin36(cos2)5(i復數三角形式的除法復數三角形式的除法設有復數設有復數 ， ，且設且設 ，那么，那么)sin(cos1111irZ)sin(cos2222irZ02Z)sin()cos()sin(cos)sin(cos21212122211121irririrZZ這就是復數三角形式的除法法則，即：這就是復數三角形式的除法法則，即：模數相除，幅角相減模數相除，幅角相減 例例 計算下列各式計算下列各式)65sin65(cos2)34sin34(cos6) 1 (ii12)6sin6(cos2)3(i)90sin()90cos(31)270sin270(cos3)2(ii鞏固練習：鞏固練習：（1）（2）（3）（4）)32sin32(cos6)47sin47(cos12ii)6sin6(cos2)32sin32(cos8ii4)50sin50(cos2i8)4sin()4cos(i課堂小結課堂小結1 1、復數的模、復數的模 22babiar2、復數的幅角及幅角主值復數的幅角及幅角主值 3、復數的三角形式、復數的三角形式 )sin(cosir4、復數三角形式與代數形式的互化、復數三角形式與代數形式的互化 Zarg5、復數三角形式的乘法法則：、復數三角形式的乘法法則：模數相乘，幅角相加模數相乘，幅角相加 6、復數三角形式的乘方法則、復數