圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形

1、焦點(diǎn)三角形焦點(diǎn)三角形問題是重要考點(diǎn)，考到的內(nèi)容有：橢圓或雙曲線定義和正余弦定理以及面積公式等。常與曲線的離心率相結(jié)合，注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用。一：橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓的焦點(diǎn)三角形是指以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1, F2與橢圓上任意一點(diǎn) P為頂點(diǎn)組成的三角形。22與3二1(a b 0)a by性質(zhì)有:1(1) |PF1 |+| PF2|二2a(2) 4c2 斗 PF1 |2 +| PF2 |2 -2 | PF111PF2 |cos/F1PF2(3)橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角以橢圓短軸頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角最大22x y.證明：設(shè)P是橢圓 =十、=1 ( a >b>0, c為半焦距)上的一點(diǎn)

2、， 。為原點(diǎn)，E、F是 a b橢圓的兩焦點(diǎn)，PE = m, PF =n則 cos. EPF =2mn4b2 -2mn 2b22b2一1，由余弦函數(shù)圖象性質(zhì)知NEPF有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)P在短軸端點(diǎn)時(shí)取到該最大值。(4)設(shè)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，角/F1F2P =0 , /F2F1P = P , ZF2PF1 =8 ,則有離心率e_ sWB)十 e -n)sin 工 rsin -SPFF =b2-sin =b2tan- 1F21 cos12證明：由正弦定理得:FlF2PF1sin(180o- ) sin-： sin :由等比定理得:F1F2PF1HPF2sin(-i ；，') sin 二&q

3、uot; sin :F1F22cPF1 PF2sin( ：；:') sin( ： " )sin ； sin :sin -2asin :c e 二 a例題：sin(二：b .-1)sin 工 1 sin :22一 x y一一.圓2+ 2 =1(a,b>0)的兩個(gè)a bF1, F2 ,點(diǎn)P在橢圓上，且_4 _14 PF1 J-PF2,| PFi |= 一,| PF21 = 一.求橢圓的方程332y =1422222、設(shè)P為橢圓 斗+，=1 （a >b >0）上一點(diǎn)，F(xiàn)i、F2為焦點(diǎn)，如果 /PFiF2=75二, a bPF2F1、2A.2=15 :則橢圓的離心率

4、為（3、F1、. 3 B.22xF2是橢圓一9C.主3D.AF1F2的面積為（2y =1的兩個(gè)焦點(diǎn),7）A為橢圓上一點(diǎn)，且/ AFiF2 = 450 ,則A. 7B.4、 Fi、一 一 x2F2是橢圓一 十2542=1的兩個(gè)焦點(diǎn),167C.一27.5D.2A為橢圓上一點(diǎn)，且 /F1AF2 =90,則A到x軸的距離為16A. 一3B.165C.1616or 35D.非上述答案5、設(shè) Fi,F2分別是橢圓2x252+-y- =i 的左、i6右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),Fi, F2, P是直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，則P點(diǎn)到16A. 一316B. 5C.x軸的距離是1616或一53D.非上述答案6、設(shè) Fi,

5、F2分別是橢圓2+L =1的左、259右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),Fi, F2, P是是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),9 A.一4B.P點(diǎn)到x軸的距離是9T9c. 一 或一54D.非上述答案7、過橢圓左焦點(diǎn),傾斜角為 一的直線交橢圓于 A, B兩點(diǎn)，若FA=2FB離心率為（構(gòu)造焦點(diǎn)三角形，兩次應(yīng)用余弦定理，整體處理余弦定理的結(jié)果）22x y8、已知RtAABC, AB = AC =1,點(diǎn)C為橢圓 二十三=1（a >b a0）的右焦點(diǎn)，且 AB為 a b經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)的弦，求橢圓的離心率。2x9、已知橢圓 a一點(diǎn)P使4=i（a Ab >0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi（c,0）, F2（c,0）,若橢

6、圓上存在 bsin PFiF2sin PF2Fi,則該橢圓的離心率的取值范圍為（）A. ( 2 -i,i)B. ( .3 -i,i)C. ( .3 - .2,i)二：雙曲線的焦點(diǎn)三角形雙曲線的焦點(diǎn)三角形是指以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)Fi, F2與雙曲線上任意一點(diǎn)P為頂點(diǎn)組成的5(1)|PFi | | PFz|=2a(2)(3)4c2 =| PF1 |2 | PF2 |2 -2 | PF111PF2 |cos F1PF2設(shè)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，角 /F,F2P =a, /F2F1P =P, NF2PF1=e,則有離心率sin : -sin,2 sinb2=b =1 -cos tan 一2(4) 例題:-

7、 2為雙曲線x2 y J = 1上的一點(diǎn)，12| PF1 |:| PF21=3: 2 ,則 PF1F2 的面積為(Fi,凡是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若A. 6萬B. 122、已知又下2為雙曲線cos F1PF2 =1A.一4C : x2C.2一 yD. 24=2的左右焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上，| PF1 |=2| PF? |,則B.3、雙曲線x2=1的焦點(diǎn)為F1、C. -D.-45F2,點(diǎn)M在雙曲線上且 MF1 MF2 = 0 ,則點(diǎn)M到x軸的距離為(4A.-35B.-3C. 32.3D.4、已知F1、F2為雙曲線P到x軸的距離為、3.6(A) y (B) y2C: x(C)33=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P

8、在C上，/ F1 P F2 = 60°,則(D)625、設(shè)Fi, F2分別是雙曲線% =1(a A0,b A0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在 b2_tt| PF, |二 J3 | PF2 |,則該雙曲線的離一點(diǎn)P,使(OP+OF2) F2P =0 , O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且 心率為3 1A. 石+1B. - C. 76 + 72D.22_ x y6、設(shè)點(diǎn)P是雙曲線一2- - -2 a bF2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),、一 2222 .= 1(a>, b>0)與圓x +y =a +b在第一象限的交點(diǎn),Fi、且|PF11= 3| PF21 ,則雙曲線的離心率A.非 B.哼 C.

9、屈 D.萼 227、過雙曲線4=1( a A0，bO)的左焦點(diǎn)F(-cQ)作圓x2+ y2 = a2的切線，切點(diǎn) a b1 t T為E,延長FE父雙曲線于點(diǎn)P ,。為原點(diǎn)，若OE = (OF +OP),則雙曲線的離心率 2為 522x y8、已知Fl、F2分別為雙曲線 C:-y 4=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P為雙曲線右 a b支上一點(diǎn)，滿足| PF2 |=| F1F2 | ,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為9、已知E、F2分別為雙曲線22C:xy 與=1(aAb:>0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在 a b一點(diǎn)P ,滿足| PF1 |=

10、2 | PF2 |,則該雙曲線的離心率范圍為10、已知F1,F2為離心率為cos PF2F1 =2的雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)(1, 3P 在 C 上，| PFi |= 2 | PF2 |,則B.C.、萬D .311、設(shè)F1, F2分別是雙曲線2x2 =1的左、右焦點(diǎn).9> I若點(diǎn)P在雙曲線上，且PF1PF2 = 0,則 PF1 +PF2|=()A.、,而B. 2,102 x12、設(shè)F1, F2分別是雙曲線-2 aC. .5D. 2、, 5b2=1的左、右焦點(diǎn)，A, B是圓x2 + y2 = a2 +b2 與雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且A. s/5 B. 33 C.ABF2為等邊三角形，則該雙曲線

11、的離心率33 +1 D.-22213、已知P是雙曲線 4與=1(a >0,b >0)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)i、F2分別是雙曲線的左、 a b右焦點(diǎn),I為APFF2的內(nèi)心，若S»F1 =Sf2 +?S徐1F2成立，則該雙曲線的離心率為A. 4 B. 2 C. 2 D. 222214、已知P是雙曲線 人L=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、 右焦點(diǎn)，若|PFi|二5 43則 | PF21=1or92215、已知P是雙曲線x- -L=1上一點(diǎn)，F(xiàn)l、F2分別是雙曲線的左、 右焦點(diǎn)，若|PFi|=5 412則 |PF2|二 9 22練習(xí)：已知雙曲線 0 4=1 (a>0, b&

12、gt;0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1(-c,0)、F2(c,0),若雙曲 a b線上存在一點(diǎn)P滿足sin""2 = a,則該雙曲線的離心率的取值范圍是sin. PF2F1c(1,12)2216、已知雙曲線 三_丫2=1 (a>0, b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2，點(diǎn)A在雙曲線第一象a b1限的圖象上，若 AF1F2的面積為1,且tan/AF1F2=, tan/AF2F1 =-2 ,則雙曲線2方程為A.3-3y25二1B.12C. 3x2 -12-y- =12_ xD .3豆二11272217、設(shè)Fi,F2是雙曲線 馬4=1(a A0,bA0)的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn) F2的直

13、線與雙曲線的右 a b支交于A,B兩點(diǎn)，若ARAB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，則e2 =5-24522F1的直線與雙曲線的左18、設(shè)Fi,F2是雙曲線 與22 = 1(a A0,b0)的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn) a b右支交于 A,B兩點(diǎn)，若| AB |:| BF2 |:|AF2 | = 3: 4: 5,則雙曲線的離心率是 <132219、如圖設(shè)Fi,F2是雙曲線xr*=1(a A0,bA0)的左右焦點(diǎn)，|FiF2|=4, P為雙曲線 a b右支上一點(diǎn)，F(xiàn)2P與y軸交于點(diǎn)A, AAPFi的內(nèi)切圓在邊PFi上的切點(diǎn)為Q,若|PQ|口， 則雙曲線的離心率是(A) 3(B)2(C) , 2(D) 3y

14、橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)三角形2222x y .x y_例題：右橢圓 +=1 (m>n：>0)和雙曲線 =1 (s,t > 0)有相同的焦點(diǎn) F1和F2, mnst而P是這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則PF1 ,PF2的值是()1 22A.ms B. (ms) C. m - s D. . m - . s 22 2例題：若橢圓 土+ y2 =1(m >1)與雙曲線 上 y2 =1(n A0 )有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn) P是兩曲 mn線的一個(gè)公共點(diǎn)，則 F1PF2的面積是 122例題：設(shè)Fi與F2是曲線Ci： +上=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) M是曲線Ci與曲線622- X 2,C2 ： - -y =1的一個(gè)交點(diǎn)，求 AMFiF2的面積.32例題：如圖，F(xiàn)1,F2是橢圓C1 ：L + y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A,B分別是C1,C2在第 4二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是A、. 2 B.、.3C,3D.-622例題：已知點(diǎn)P是以F1, F2為公共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且PF1 _L PF2,向，金分別為橢圓和雙曲線的離心率，則Aee2 -2 B©2 02一4 C.qe2 -2 2 D.工二三2 e e例題：已知點(diǎn) P是以