正三棱錐的內(nèi)切球與外接球(共3頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上正三棱錐的內(nèi)切球與外接球 要回答這個(gè)問題，先要了解什么是正三棱錐.請(qǐng)看正三棱錐的定義.1.底面是正三角形2.頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心.滿足以上兩條的三棱錐是正三棱錐.由以上定義可知，正三棱錐底面為正三角形，三個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形.要防止和另外一個(gè)概念-正四面體混淆.正四面體的要求比正三棱錐更要.每個(gè)面都是正三角形的四面體才是正四面體.我們可以說，正四面體是特殊的正三棱錐，正三棱錐具備的性質(zhì)正四面體都有，而正四面體具備的性質(zhì)正三棱錐不一定有.下面來說如何尋找正三棱錐的內(nèi)切球和外接球球心.在棱柱和棱錐的外接球中，談到了一種方法，就是把符合條件的棱錐和棱柱放入

2、長(zhǎng)方體中，從而把問題轉(zhuǎn)化、簡(jiǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球的問題.這是處理問題的方法之一.適合這種方法的情況可小結(jié)如下：正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對(duì)的棱相等的三棱錐.若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體.若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則可將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體.今天說說第二種方法，就是利用球的定義確定球心.基本的規(guī)律可小結(jié)如下：長(zhǎng)方體或正方體的外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn).正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心連線的中點(diǎn).直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心連線的中點(diǎn).正棱錐的外接球球心在其高上，

3、具體位置可通過建立直角三角形運(yùn)用勾股定理計(jì)算得到.我們利用第（4）條結(jié)論來研究正三棱錐的外接球球心的位置.舉一個(gè)具體栗子來說明.外接球球心分析：在正三棱錐的高線上，先假設(shè)一個(gè)位置，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解.從圖看出，此正三棱錐的外接球球心在高線PO的延長(zhǎng)線上.再來求內(nèi)切球的球心位置.由正三棱錐的對(duì)稱性可知，內(nèi)切球球心也在高線PO上.下面利用等體積法（即算兩次體積）求內(nèi)切球的半徑.等體積法已經(jīng)是第二次提到了，第一次提起是在線面角和點(diǎn)面距中.回到這位朋友的問題上來，外接球球心和內(nèi)切球球心重合嗎？顯然，多數(shù)情況下是不重合的.有童鞋可能會(huì)問，有沒有重合的時(shí)候呢？為了回答這個(gè)問題，我們作一般化的推導(dǎo).若底邊長(zhǎng)剛好等于側(cè)棱長(zhǎng)，即正三棱錐變?yōu)檎拿骟w時(shí)，奇跡發(fā)生了.畫出圖來是這樣滴.此時(shí)，兩心重合