初中數(shù)學(xué)行程問題專題(20210127134429)

1、初中列方程解應(yīng)用題（行程問題）專題行程問題是指與路程、速度、時(shí)間這三個(gè)量有關(guān)的問題。我們常用的基本公式是：路程=速度X時(shí)間；速度=路程+時(shí)間；時(shí)間=路程+速度行程問題是個(gè)非常龐大的類型，多年來在考試中屢用不爽，所占比例居高不下。原因就是行程問題可以融入多種練習(xí) ，熟悉了行程問題的學(xué)生，在多種類型的習(xí)題面 前都會(huì)顯得得心應(yīng)手。下面我們將行程問題歸歸類，由易到難，逐步剖析。1.單人單程：例1:甲，乙兩城市間的鐵路經(jīng)過技術(shù)改造后，列車在兩城市間的運(yùn)行速度從80km/h提高到100km/h,運(yùn)行時(shí)間縮短了 3h。甲，乙兩城市間的路程是多少【分析】如果設(shè)甲，乙兩城市間的路程為 x km,那么列車在兩城市

2、間提速前的運(yùn) 行時(shí)間為王h ,提速后的運(yùn)行時(shí)間為 h.80100【等量關(guān)系式】 提速前的運(yùn)行時(shí)間一提速后的運(yùn)行時(shí)間二縮短的時(shí)間.【列出方程】 -3. 80 100例2:某鐵路橋長(zhǎng)1000m,現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測(cè)得該火車從開始上橋到完全過橋共用了 1 min ,整列火車完全在橋上的時(shí)間共 40so求火車的速度和長(zhǎng)度?！痉治觥咳绻O(shè)火車的速度為xm/s,火車的長(zhǎng)度為ym,用線段表示大橋和火100060xI1000yy 40 40x 【等量關(guān)系式】 火車1 min行駛的路程二橋長(zhǎng)+火車長(zhǎng)；火車40s行駛的路程=橋長(zhǎng)-火車長(zhǎng)【列出方程組】60x 1000 y 40x 1000 y2.單人雙程（等

3、量關(guān)系式：來時(shí)的路程 =回時(shí)的路程）：例1:某校組織學(xué)生乘汽車去自然保護(hù)區(qū)野營(yíng)，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了 6.5h；返回時(shí)汽車以40km/h的速度下坡，又以 50km/h的速度走平路，共用了 6h.學(xué)校距自然保護(hù)區(qū)有多遠(yuǎn)?！痉治觥咳绻O(shè)學(xué)校距自然保護(hù)區(qū)為 xkm,由題目條件：去時(shí)用了 6.5h,則有些 同學(xué)會(huì)認(rèn)為總的速度為 km/h,然后用去時(shí)走平路的速度 +去時(shí)爬坡的速度=總的 6.5速度，得出方程60 30 ,這種解法是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗俣仁遣荒芟嗉拥?。不妨設(shè)6.5平路的長(zhǎng)度為xkm,坡路的長(zhǎng)度為y km,則去時(shí)走平路用了 h,去時(shí)爬坡用了60義h,而

4、去時(shí)總共用了 6.5h,這時(shí)，時(shí)間是可以相加的；回來時(shí)汽車下坡用了包h,3040回來時(shí)走平路用了,而回來時(shí)總共用了 6h.則學(xué)校到自然保護(hù)區(qū)的距離為50(x y)km o【等量關(guān)系式】去時(shí)走平路用的時(shí)間+去時(shí)爬坡用的時(shí)間=去時(shí)用的總時(shí)間回來時(shí)走平路用的時(shí)間+回來時(shí)爬坡用的時(shí)間=回來時(shí)用的總時(shí)【列出方程組】x60x50y 06.530-y- 6403.雙人行程:(I )單塊應(yīng)用:只單個(gè)應(yīng)用同向而行或背向而行或相向而行或追擊問題。1)同時(shí)同地同向而行：A,B兩事物同時(shí)同地沿同一個(gè)方向行駛例：甲車的速度為60km/h ,乙車的速度為80km/h ,兩車同時(shí)同地出發(fā)，同向而 行。經(jīng)過多少時(shí)間兩車相距

5、280km0【分析】如果設(shè)經(jīng)過xh后兩車相距280km,則甲走的路程為60xkm,乙走的路程為80xkm,根據(jù)題意可畫出如下示意圖:80x km乙60x km280km【等量關(guān)系式】 甲車行駛的距離+280=乙車行駛的距離【列出方程】 60x 280 280x2）同時(shí)同地背向而行：A, B兩事物同時(shí)同地沿相反方向行駛例：甲車的速度為60km/h ,乙車的速度為80km/h ,兩車同時(shí)同地出發(fā)，背向而行。經(jīng)過多少時(shí)間兩車相距 280kmo【分析】如果設(shè)經(jīng)過xh后兩車相距280km,則甲走的路程為60xkm,乙走的路 程為80xkm,根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲 乙J 60x km 丁80x km

6、280 km【等量關(guān)系式】 甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=280【列出方程】60x 80x 2803）同時(shí)相向而行（相遇問題）：例：甲，乙兩人在相距10km的A,B兩地相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍,兩人同時(shí)處發(fā)1.5h后相遇，求甲，乙兩人的速度?！痉治觥?如果設(shè)甲的速度為 xkm/h,則乙的速度為2xkm/h,甲走過的路程為1.5xkm,乙走過的路程為1.5 2xkm,根據(jù)題意可畫出如下示意圖:kmx 2x kmAB10 km280 km【等量關(guān)系式】 甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=10【列出方程】1.5x 1.5 2x 104）追及問題：例：一對(duì)學(xué)生從學(xué)校步行去博物館，他們以 5k

7、m/h的速度行進(jìn)24min后，一名教師騎自行車以15km/h的速度按原路追趕學(xué)生隊(duì)伍。這名教師從出發(fā)到途中與學(xué)生隊(duì) 伍會(huì)合共用了多少時(shí)間【分析】如果設(shè)這名教師從出發(fā)到途中與學(xué)生隊(duì)伍會(huì)合共用了xh,則教師走過的路程為15xkm,學(xué)生走過的路程為教師出發(fā)前走過的路程加上教師出發(fā)后走過的路程，而學(xué)生在教師出發(fā)前走過的路程為5 24 km,學(xué)生在教師出發(fā)后走過的路程60為5x km ,又由于教師走過的路程等于學(xué)生走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：學(xué)生 *5 '24km丁 5x-km60教師產(chǎn)75x km二【等量關(guān)系式】教師走過的路程=學(xué)生在教師出發(fā)前走過的路程 +學(xué)生在教師出發(fā)后走過的路程

8、【列出方程】15X 5 24 5x605）不同時(shí)同地同向而行（與追擊問題相似）：例：甲，乙兩人都從A地出發(fā)到B地，甲出發(fā)1h后乙才從A地出發(fā)，乙出發(fā)3h后 甲，乙兩人同時(shí)到達(dá) B地，已知乙的速度為50km/h,問，甲的速度為多少【分析】如果設(shè)甲的速度為x km/h,則乙出發(fā)前甲走過的路程為 x km,乙出發(fā) 后甲走過的路程為3xkm,甲走過的路程等于乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲 走過的路程，而乙走過的路程為 50 3km,甲走過的路程等于乙走過的路程。根據(jù)題 意可畫出如下示意圖：甲 x km 33x kmZT50X 3 km【等量關(guān)系式】 乙走過的路程=乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲

9、走過的路 程【列出方程】50 3 x 3x 6）不同時(shí)相向而行例：甲，乙兩站相距448km, 一列慢車從甲站出發(fā)，速度為 60km/h ; 一列快車從乙站出發(fā)，速度為100km/ho兩車相向而行，慢車先出發(fā) 32min ,快車開出后多少 時(shí)間兩車相遇【分析】如果設(shè)快車開出后xh兩車相遇，則慢車走過的路程為60x 60 32 km,32快車走過的路程為100xkm。根據(jù)題意可畫出如下示意圖:60x448km【等量關(guān)系式】總路程=快車出發(fā)前慢車走過的路程 +快車出發(fā)后慢車走過的路程+快車走過的路程【列出方程】448 60 32 60x 400x60注：涉及此類問題的還有同時(shí)不同地同向而行、不同時(shí)不

10、同地背向而行、不同 時(shí)不同地同向而行、不同時(shí)不同地背向而行，與上面解法類似，只要畫出示意圖問 題就會(huì)迎刃而解，就不再一一給出解答了，此類問題會(huì)在后面練習(xí)中給出習(xí)題。(n)結(jié)合應(yīng)用：把同向而行、背向而行、相向而行、追擊問題兩兩結(jié)合起來應(yīng)4) 相向而行+背向而行例：A, B兩地相距36km,小明從A地騎自行車到B地，小麗從B地騎自行車到A地，兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，經(jīng)過 4h后兩人相遇；再過0.5h,小明余下的路程是 小麗余下的路程的2倍。小明和小麗騎車的速度各是多少【分析】如果設(shè)小明騎車的速度為 x,小麗騎車的速度為y,相遇前小明走過的路程為x,小麗走過的路程為y;相遇后兩人背向而行，小明走過的路

11、程為0.5x,小麗走過的路程為0.5y。根據(jù)題意可畫出如下示意圖:小明小麗相遇前匚 x . 丁 一 一 y3AB36km小明小麗【等量關(guān)系式】相遇前小明走過的路程+相遇前小麗走過的路程=總路程相遇后小明余下的路程=2X相遇后小麗余下的路程【列出方程組】x y 36y 0.5x 2 (x 0.5y)2)同向而行+相向而行例：一個(gè)自行車隊(duì)進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練時(shí)所有隊(duì)員都以35千米/時(shí)的速度前進(jìn)，突然，1號(hào)隊(duì)員以45千米/時(shí)的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn) 10千米后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以 45千 米/時(shí)的速度往回騎，直到與其他隊(duì)員會(huì)合。1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開始到與其他隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過了多長(zhǎng)時(shí)間【分析】由題意“1號(hào)隊(duì)員以45千米

12、/時(shí)的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn) 10千米后掉轉(zhuǎn)車頭”可知1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)到調(diào)轉(zhuǎn)車頭前的時(shí)間為"h,不妨設(shè)1號(hào)隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車45頭到與其他隊(duì)員重新回合的時(shí)間為 x ho根據(jù)題意可畫出如下示意圖：1號(hào)隊(duì)員-10 35 45 35 35x 45 45x>,10km【等量關(guān)系式】1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)到調(diào)轉(zhuǎn)車頭這段時(shí)間所有隊(duì)員走的路程+1號(hào)隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊(duì)員重新回合這段時(shí)間內(nèi)所有隊(duì)員走的路程+1號(hào)隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊(duì)員重新回合這段時(shí)間內(nèi)1號(hào)隊(duì)員走的路程=100【列出方程】35 10 35x 45x 10454 .行程問題中的工程問題：乍一看，題目中就時(shí)間已知，速度、路程都未知，此類問題同學(xué)們

13、做起來覺得無從下手。其實(shí)只要把路程看做單位“ 1”（至于為什么，結(jié)合以下例題講解），這就相 當(dāng)于把行程問題轉(zhuǎn)化為工程問題。例：甲開汽車從A地到B地需要6h,乙開汽車從A地到B地需要4h,如果甲， 乙兩人分別從A, B兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過多少小時(shí)后兩車相遇。【分析】題目中就時(shí)間已知，速度、路程都未知，有些同學(xué)想如果知道A與B的距離，就可以得出 A與B的速度，那么問題就迎刃而解了，可是路程未知呀！是不A與B的距是路程無論取什么值，都經(jīng)過相同的時(shí)間兩車相遇呢為此，我們不妨設(shè)離為a,經(jīng)過xh后兩車相遇。我們可以立馬得出關(guān)系式:64邊的a消去，得到方程-1,立馬得出x -o說明路程無論取什么值，都經(jīng)

14、過 645相同的時(shí)間兩車相遇。遇到類似問題，我們往往把路程看做單位“1”。5 .環(huán)形跑道問題：環(huán)形跑道問題也是形成問題的一種，環(huán)形跑道問題就是閉路線上的追擊問題。在環(huán)形問題中，若兩人所走同時(shí)同地出發(fā)，同向而行，當(dāng)?shù)谝淮蜗嘤鰰r(shí)，兩人所走路程差為一周長(zhǎng)；相向而行，第一次相遇時(shí)，兩人所走路程和為一周長(zhǎng)。例1:運(yùn)動(dòng)場(chǎng)跑道周長(zhǎng)400m,小紅跑步的速度是爺爺?shù)?-倍，他們從同一地點(diǎn) 3沿跑道的同一方向同時(shí)出發(fā)，5min后小紅第一次追上了爺爺。你知道他們的跑步速度嗎那是不是再過5min兩人第二次相遇呢如果不是，請(qǐng)說明理由；如果是，用方程式表示?！痉治觥坎环猎O(shè)爺爺?shù)呐懿剿俣葹?xm/min,則小紅的跑步速度為

15、-x m/min 3【等量關(guān)系式】小紅跑的路程一爺爺跑的路程 =400m【列出方程】5 5x 5x 400 3注：再過5min兩人第二次相遇，用上面那個(gè)方程式就可以表示出來。例2:甲，乙兩車分別以均勻的速度在周長(zhǎng)為 600m的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)。甲車的速度較快，當(dāng)兩車反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每 15s相遇一次；當(dāng)兩車同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每1min相遇- 次，求兩車的速度【分析】設(shè)甲，乙兩車的速度分別為 xm/s和ym/s【等量關(guān)系式】 同向而行甲所走的路程- 同向而行乙所走的路程=一周長(zhǎng)反向而行甲所走的路程+同向而行乙所走的路程=一周長(zhǎng)【列出方程組】 15x 15y 60060x 60y 6006 . 水流問題一般是

16、研究船在“流水”中航行的問題。 它是行程問題中比較特殊的一種類型，它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用?；靖拍詈凸接校捍伲捍陟o水中航行的速度水速：水流動(dòng)的速度順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣饶嫠俣龋捍媪骱叫械乃俣软標(biāo)?=船速水速逆速 =船速水速船行速度=（順?biāo)俣?逆流速度）+2流水速度=（順流速度一逆流速度）+2路程=順流速度X順流航行所需時(shí)間路程=逆流速度X逆流航行所需時(shí)間例1:某船在80km的航道上航行，順流航行需1.6h ,逆流航行需2h。求船在靜 水中航行的速度和水流的速度?！痉治觥?設(shè)船在靜水中航行的速度和水流的速度分別為x和y,順流的速度為80km/h,逆流的速度為80km/h,再利用上面的公式。1.62【等量關(guān)系式】 順?biāo)?船速+水速逆速=速-水速80 x y【列出方程】680一 x y2例2:甲，乙兩艘貨船，甲