初中數(shù)學行程問題專題(20210127134429)

1、初中列方程解應用題（行程問題）專題行程問題是指與路程、速度、時間這三個量有關的問題。我們常用的基本公式是：路程=速度X時間；速度=路程+時間；時間=路程+速度行程問題是個非常龐大的類型，多年來在考試中屢用不爽，所占比例居高不下。原因就是行程問題可以融入多種練習 ，熟悉了行程問題的學生，在多種類型的習題面 前都會顯得得心應手。下面我們將行程問題歸歸類，由易到難，逐步剖析。1.單人單程：例1:甲，乙兩城市間的鐵路經(jīng)過技術改造后，列車在兩城市間的運行速度從80km/h提高到100km/h,運行時間縮短了 3h。甲，乙兩城市間的路程是多少【分析】如果設甲，乙兩城市間的路程為 x km,那么列車在兩城市

2、間提速前的運 行時間為王h ,提速后的運行時間為 h.80100【等量關系式】 提速前的運行時間一提速后的運行時間二縮短的時間.【列出方程】 -3. 80 100例2:某鐵路橋長1000m,現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得該火車從開始上橋到完全過橋共用了 1 min ,整列火車完全在橋上的時間共 40so求火車的速度和長度?！痉治觥咳绻O火車的速度為xm/s,火車的長度為ym,用線段表示大橋和火100060xI1000yy 40 40x 【等量關系式】 火車1 min行駛的路程二橋長+火車長；火車40s行駛的路程=橋長-火車長【列出方程組】60x 1000 y 40x 1000 y2.單人雙程（等

3、量關系式：來時的路程 =回時的路程）：例1:某校組織學生乘汽車去自然保護區(qū)野營，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了 6.5h；返回時汽車以40km/h的速度下坡，又以 50km/h的速度走平路，共用了 6h.學校距自然保護區(qū)有多遠。【分析】如果設學校距自然保護區(qū)為 xkm,由題目條件：去時用了 6.5h,則有些 同學會認為總的速度為 km/h,然后用去時走平路的速度 +去時爬坡的速度=總的 6.5速度，得出方程60 30 ,這種解法是錯誤的，因為速度是不能相加的。不妨設6.5平路的長度為xkm,坡路的長度為y km,則去時走平路用了 h,去時爬坡用了60義h,而

4、去時總共用了 6.5h,這時，時間是可以相加的；回來時汽車下坡用了包h,3040回來時走平路用了,而回來時總共用了 6h.則學校到自然保護區(qū)的距離為50(x y)km o【等量關系式】去時走平路用的時間+去時爬坡用的時間=去時用的總時間回來時走平路用的時間+回來時爬坡用的時間=回來時用的總時【列出方程組】x60x50y 06.530-y- 6403.雙人行程:(I )單塊應用:只單個應用同向而行或背向而行或相向而行或追擊問題。1)同時同地同向而行：A,B兩事物同時同地沿同一個方向行駛例：甲車的速度為60km/h ,乙車的速度為80km/h ,兩車同時同地出發(fā)，同向而 行。經(jīng)過多少時間兩車相距

5、280km0【分析】如果設經(jīng)過xh后兩車相距280km,則甲走的路程為60xkm,乙走的路程為80xkm,根據(jù)題意可畫出如下示意圖:80x km乙60x km280km【等量關系式】 甲車行駛的距離+280=乙車行駛的距離【列出方程】 60x 280 280x2）同時同地背向而行：A, B兩事物同時同地沿相反方向行駛例：甲車的速度為60km/h ,乙車的速度為80km/h ,兩車同時同地出發(fā)，背向而行。經(jīng)過多少時間兩車相距 280kmo【分析】如果設經(jīng)過xh后兩車相距280km,則甲走的路程為60xkm,乙走的路 程為80xkm,根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲 乙J 60x km 丁80x km

6、280 km【等量關系式】 甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=280【列出方程】60x 80x 2803）同時相向而行（相遇問題）：例：甲，乙兩人在相距10km的A,B兩地相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍,兩人同時處發(fā)1.5h后相遇，求甲，乙兩人的速度?！痉治觥?如果設甲的速度為 xkm/h,則乙的速度為2xkm/h,甲走過的路程為1.5xkm,乙走過的路程為1.5 2xkm,根據(jù)題意可畫出如下示意圖:kmx 2x kmAB10 km280 km【等量關系式】 甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=10【列出方程】1.5x 1.5 2x 104）追及問題：例：一對學生從學校步行去博物館，他們以 5k

7、m/h的速度行進24min后，一名教師騎自行車以15km/h的速度按原路追趕學生隊伍。這名教師從出發(fā)到途中與學生隊 伍會合共用了多少時間【分析】如果設這名教師從出發(fā)到途中與學生隊伍會合共用了xh,則教師走過的路程為15xkm,學生走過的路程為教師出發(fā)前走過的路程加上教師出發(fā)后走過的路程，而學生在教師出發(fā)前走過的路程為5 24 km,學生在教師出發(fā)后走過的路程60為5x km ,又由于教師走過的路程等于學生走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：學生 *5 '24km丁 5x-km60教師產(chǎn)75x km二【等量關系式】教師走過的路程=學生在教師出發(fā)前走過的路程 +學生在教師出發(fā)后走過的路程

8、【列出方程】15X 5 24 5x605）不同時同地同向而行（與追擊問題相似）：例：甲，乙兩人都從A地出發(fā)到B地，甲出發(fā)1h后乙才從A地出發(fā)，乙出發(fā)3h后 甲，乙兩人同時到達 B地，已知乙的速度為50km/h,問，甲的速度為多少【分析】如果設甲的速度為x km/h,則乙出發(fā)前甲走過的路程為 x km,乙出發(fā) 后甲走過的路程為3xkm,甲走過的路程等于乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲 走過的路程，而乙走過的路程為 50 3km,甲走過的路程等于乙走過的路程。根據(jù)題 意可畫出如下示意圖：甲 x km 33x kmZT50X 3 km【等量關系式】 乙走過的路程=乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲

9、走過的路 程【列出方程】50 3 x 3x 6）不同時相向而行例：甲，乙兩站相距448km, 一列慢車從甲站出發(fā)，速度為 60km/h ; 一列快車從乙站出發(fā)，速度為100km/ho兩車相向而行，慢車先出發(fā) 32min ,快車開出后多少 時間兩車相遇【分析】如果設快車開出后xh兩車相遇，則慢車走過的路程為60x 60 32 km,32快車走過的路程為100xkm。根據(jù)題意可畫出如下示意圖:60x448km【等量關系式】總路程=快車出發(fā)前慢車走過的路程 +快車出發(fā)后慢車走過的路程+快車走過的路程【列出方程】448 60 32 60x 400x60注：涉及此類問題的還有同時不同地同向而行、不同時不

10、同地背向而行、不同 時不同地同向而行、不同時不同地背向而行，與上面解法類似，只要畫出示意圖問 題就會迎刃而解，就不再一一給出解答了，此類問題會在后面練習中給出習題。(n)結合應用：把同向而行、背向而行、相向而行、追擊問題兩兩結合起來應4) 相向而行+背向而行例：A, B兩地相距36km,小明從A地騎自行車到B地，小麗從B地騎自行車到A地，兩人同時出發(fā)相向而行，經(jīng)過 4h后兩人相遇；再過0.5h,小明余下的路程是 小麗余下的路程的2倍。小明和小麗騎車的速度各是多少【分析】如果設小明騎車的速度為 x,小麗騎車的速度為y,相遇前小明走過的路程為x,小麗走過的路程為y;相遇后兩人背向而行，小明走過的路

11、程為0.5x,小麗走過的路程為0.5y。根據(jù)題意可畫出如下示意圖:小明小麗相遇前匚 x . 丁 一 一 y3AB36km小明小麗【等量關系式】相遇前小明走過的路程+相遇前小麗走過的路程=總路程相遇后小明余下的路程=2X相遇后小麗余下的路程【列出方程組】x y 36y 0.5x 2 (x 0.5y)2)同向而行+相向而行例：一個自行車隊進行訓練，訓練時所有隊員都以35千米/時的速度前進，突然，1號隊員以45千米/時的速度獨自行進，行進 10千米后掉轉車頭，仍以 45千 米/時的速度往回騎，直到與其他隊員會合。1號隊員從離隊開始到與其他隊員重新會合，經(jīng)過了多長時間【分析】由題意“1號隊員以45千米

12、/時的速度獨自行進，行進 10千米后掉轉車頭”可知1號隊員從離隊到調轉車頭前的時間為"h,不妨設1號隊員從調轉車45頭到與其他隊員重新回合的時間為 x ho根據(jù)題意可畫出如下示意圖：1號隊員-10 35 45 35 35x 45 45x>,10km【等量關系式】1號隊員從離隊到調轉車頭這段時間所有隊員走的路程+1號隊員從調轉車頭到與其他隊員重新回合這段時間內所有隊員走的路程+1號隊員從調轉車頭到與其他隊員重新回合這段時間內1號隊員走的路程=100【列出方程】35 10 35x 45x 10454 .行程問題中的工程問題：乍一看，題目中就時間已知，速度、路程都未知，此類問題同學們

13、做起來覺得無從下手。其實只要把路程看做單位“ 1”（至于為什么，結合以下例題講解），這就相 當于把行程問題轉化為工程問題。例：甲開汽車從A地到B地需要6h,乙開汽車從A地到B地需要4h,如果甲， 乙兩人分別從A, B兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過多少小時后兩車相遇?！痉治觥款}目中就時間已知，速度、路程都未知，有些同學想如果知道A與B的距離，就可以得出 A與B的速度，那么問題就迎刃而解了，可是路程未知呀！是不A與B的距是路程無論取什么值，都經(jīng)過相同的時間兩車相遇呢為此，我們不妨設離為a,經(jīng)過xh后兩車相遇。我們可以立馬得出關系式:64邊的a消去，得到方程-1,立馬得出x -o說明路程無論取什么值，都經(jīng)

14、過 645相同的時間兩車相遇。遇到類似問題，我們往往把路程看做單位“1”。5 .環(huán)形跑道問題：環(huán)形跑道問題也是形成問題的一種，環(huán)形跑道問題就是閉路線上的追擊問題。在環(huán)形問題中，若兩人所走同時同地出發(fā)，同向而行，當?shù)谝淮蜗嘤鰰r，兩人所走路程差為一周長；相向而行，第一次相遇時，兩人所走路程和為一周長。例1:運動場跑道周長400m,小紅跑步的速度是爺爺?shù)?-倍，他們從同一地點 3沿跑道的同一方向同時出發(fā)，5min后小紅第一次追上了爺爺。你知道他們的跑步速度嗎那是不是再過5min兩人第二次相遇呢如果不是，請說明理由；如果是，用方程式表示?！痉治觥坎环猎O爺爺?shù)呐懿剿俣葹?xm/min,則小紅的跑步速度為

15、-x m/min 3【等量關系式】小紅跑的路程一爺爺跑的路程 =400m【列出方程】5 5x 5x 400 3注：再過5min兩人第二次相遇，用上面那個方程式就可以表示出來。例2:甲，乙兩車分別以均勻的速度在周長為 600m的圓形軌道上運動。甲車的速度較快，當兩車反向運動時，每 15s相遇一次；當兩車同向運動時，每1min相遇- 次，求兩車的速度【分析】設甲，乙兩車的速度分別為 xm/s和ym/s【等量關系式】 同向而行甲所走的路程- 同向而行乙所走的路程=一周長反向而行甲所走的路程+同向而行乙所走的路程=一周長【列出方程組】 15x 15y 60060x 60y 6006 . 水流問題一般是

16、研究船在“流水”中航行的問題。 它是行程問題中比較特殊的一種類型，它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用?；靖拍詈凸接校捍伲捍陟o水中航行的速度水速：水流動的速度順水速度：船順流航行的速度逆水速度：船逆流航行的速度順速 =船速水速逆速 =船速水速船行速度=（順水速度+逆流速度）+2流水速度=（順流速度一逆流速度）+2路程=順流速度X順流航行所需時間路程=逆流速度X逆流航行所需時間例1:某船在80km的航道上航行，順流航行需1.6h ,逆流航行需2h。求船在靜 水中航行的速度和水流的速度?！痉治觥?設船在靜水中航行的速度和水流的速度分別為x和y,順流的速度為80km/h,逆流的速度為80km/h,再利用上面的公式。1.62【等量關系式】 順速=船速+水速逆速=速-水速80 x y【列出方程】680一 x y2例2:甲，乙兩艘貨船，甲