江蘇省南通市屆高三數(shù)學(xué)學(xué)科基地密卷(一)

1、2022屆南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地密卷 (一)數(shù)學(xué)I考前須知考生在答題前請認(rèn)真閱讀本考前須知及各題答題要求1.本試卷共4頁，包含填空題第1題一一第14題、解答題第15題一一第20題本 卷總分值160分，考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.2 .答題前，請您務(wù)必將自己的、準(zhǔn)考證號用0. 5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3. 請?jiān)诖痤}卡上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效.作答必 須用0. 5毫米黑色墨水的簽字筆.請注意字體工整，筆跡清楚.4. 如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.5. 請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損.一

2、律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗 的圓珠筆.、填空題：本大題共 14小題，每題5分，共計(jì)70分.請把答案填寫在答卷紙的相應(yīng)位置上1. z 2 mi , m R ,假設(shè)-z對應(yīng)點(diǎn)在第二象限，那么m的取值范圍為1 iU R，集合 A xZx25xO , B x x 40 那么(Cd A)A B 中最大的元素是 .1 1 113. m (cos x,sin x)(0),n (1,、；3)，假設(shè)函數(shù)f(x) m?n的最小正周期是2,那么f.4. 執(zhí)行以下語句后，打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是：.i 1x 4While i <10x x 2ii i 3End WhilePrint x “ x5. 函數(shù)f

3、(x) 1 2x tanx , x (0,-)，那么f (x)的單調(diào)減區(qū)間是6. 在數(shù)軸上區(qū)間3,6內(nèi)，任取三個(gè)點(diǎn) A,B,C，那么它們的坐標(biāo)滿足不等式：(xa xb )(xb xc) 0 的概率為 值為:8、設(shè)m,n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，以下正確命題序號是(1)假設(shè) m / ,n /,那么 m / n,假設(shè)m,m n那么n/假設(shè)m ，n 且mn，那么;(4)假設(shè) m ，/ ，那么 m9.定義在R上f(x)滿足：f(x 2)f(x)1,當(dāng)x (0,2)時(shí)，f (x)=(1)x，那么 f(2022)=10.過平面區(qū)域y0內(nèi)一點(diǎn)P作圓O:x22y 1的兩條切線，切點(diǎn)分別為代B，最小時(shí)

4、cos11.如下列圖的數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形1數(shù)且兩端的數(shù)均為 -(n 2)，n女口：111111112 2'23 63記 APB ，那么當(dāng)，他們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個(gè)每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和,1，那么第n(n 3)行第3個(gè)數(shù)字是 1212.正方形MA MC113.“aABCD 的坐標(biāo)分別是(1,0) , (0,1) , (1,0)，(0,1)，動(dòng)點(diǎn) M 滿足：kMkMDa8 是“對正實(shí)數(shù)x，2x ； C的充要條件，那么實(shí)數(shù)ca,b上14.函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈,假設(shè)滿足f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，存在a,b D ,使f(x)在的值域?yàn)閎a,那么y f(x)叫

5、做對稱函數(shù)，現(xiàn)有f(x)V2x k是對稱函數(shù)，那么k的取值范圍是.二、解答題：本大題共 6小題，共計(jì)90分請把答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明, 證明過程或演算步驟.15. (此題總分值14分)二次函數(shù)f (x)=x2+mx+ n對任意x R，都有f ( x) = f (2 + x)成立，設(shè)向量a = ( sinx , 2 ) ， b = (2sinx ,刁，c= ( cos2x , 1 )， d =(1,2)，I求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)x 0, n時(shí)，求不等式f ( ab)> f ( c -d )的解集16. (此題總分值14分)在如圖的多面體中，EF丄平面AEB

6、, AE EB , AD / EF , EF / BC ,BC 2AD 4 , EF 3, AE BE2 , G是BC的中點(diǎn).(I)求證：AB /平面DEG ；(n )求證：BD EG ；(川)求多面體 ADBEG的體積.17. (此題總分值14分)x22雙曲線 y 1的兩焦點(diǎn)為FF2, P為動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)PF, PF2 4 .I求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E方程；n假設(shè)A( 2,0),A2(2,0),M(1,0),設(shè)直線l過點(diǎn)M ,且與軌跡E交于R、Q兩點(diǎn)，直線AR與AQ交于點(diǎn)S 試問：當(dāng)直線l在變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？假設(shè)是，請寫出這條定直線方程，并 證明你的結(jié)論；假設(shè)不是，請說明理由.18. (

7、此題總分值16分)如下列圖：一吊燈的下圓環(huán)直徑為4m,圓心為 0,通過細(xì)繩懸掛在天花板上，圓環(huán)呈水平狀態(tài)，并且與天花板的距離(即0B)為2m,在圓環(huán)上設(shè)置三個(gè)等分點(diǎn)A1, A2, A3。點(diǎn)C為0B上一點(diǎn)不包含端點(diǎn)0、B，同時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)A1,A2,A3,B均用細(xì)繩相連接，且細(xì)繩CA1,CA2,CA3的長度相等。設(shè)細(xì)繩的總長為y1設(shè)/ CA10 =(rad)，將y表示成B的函數(shù)關(guān)系式；2請你設(shè)計(jì)，當(dāng)角B正弦值的大小是多少時(shí)，細(xì)繩總長y最小，并指明此時(shí) BC應(yīng)為多長。A1A219. (此題總分值16分)，數(shù)列an有aia,a2p常數(shù)p 0丨，對任意的正整數(shù)n,SQ 比an，并有Sn滿足n(an ai)

8、足Sn21求a的值；2試確定數(shù)列 an是不是等差數(shù)列，假設(shè)是，求出其通項(xiàng)公式。假設(shè)不是，說明理由；Sns3令Pn2丄，是否存在正整數(shù) M ,使不等式PiP2Pn2nM恒成立，假設(shè)存在，Sn 1 Sn 2求出M的最小值，假設(shè)不存在，說明理由。20. (本小題總分值16分)函數(shù)f xIn xx(1)求f x的單調(diào)區(qū)間;假設(shè)關(guān)于x的不等式In x mx對一切x a,2a a 0都成立，求 m范圍；某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：總存在正實(shí)數(shù) a,b a b ,使ab ba，試問：他的判斷是否正確; 假設(shè)正確，請寫出 a的范圍；不正確說明理由.數(shù)學(xué)U附加題23.【必做題】此題總分值 10分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

9、演算步驟.的特征值及其對應(yīng)的特征向量11.矩陣與變換求矩陣M=22.坐標(biāo)系與參數(shù)方程丨在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，橢圓C的參數(shù)方程為X J5cos ，其中為參數(shù).y sin以0為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2 cos( )3 6 .求橢圓C3上的點(diǎn)到直線I距離的最大值和最小值二.必做題 演算步驟.每題10分，共計(jì)20分請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或3.如圖，三棱柱 ABC A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直， AA AB AC 1, AB丄AC , M是CC1的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A1B1上，且滿足A1PA1B1 .面角為45，試

10、確定點(diǎn)P的位置.(n 2).I求證： n N , mnN,使 an 4mn 3；I當(dāng) 取何值時(shí)，直線 PN與平面ABC所成的角 最大?n求a2oio的末位數(shù)字.數(shù)學(xué)參考答案1.( 1,1) 2. 33 14. 285.6. (Xa Xb)(Xb Xc)0的實(shí)質(zhì)是點(diǎn)B在點(diǎn)A,C之間，故考慮它們的排列順序可得答案為7.3 1解析：焦點(diǎn)F(1,0) PM PQ=PM PF 1,而 PM PF 的最小值是 MF、34 8.9. 210當(dāng)P離圓O最遠(yuǎn)時(shí)最小，此時(shí)點(diǎn) P坐標(biāo)為：4, 2記 APO ,那么 cos 1 2sin2，計(jì)算得cos =1011.n (n 1) (n 2)12.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,

11、 y)，: kMBkMD整理，得y2 1 x 0,213.假設(shè)c 0,那么a 0,不符合題意，假設(shè) c0,那么a2 c,于2二曰C疋1c 1，亦可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)888a22x cx恒成立展開討論。14.由于f(x) 、-2 x k在,2上是減函數(shù)，所以2 ak a關(guān)于x的方程,2 x kx在2 bk b發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是橢圓，其焦點(diǎn)恰為，2上有兩個(gè)不同實(shí)根。通過換元結(jié)合圖象可得k2匕A,C兩點(diǎn)，所以MA MC 2 215 .解；1設(shè)f(x)圖象上的兩點(diǎn)為A( x,y1、B(2 + x, y2,因?yàn)?x)+ (2 + X)=12 12sin2x+ 1> cos2x+ 21 cos2x+

12、 1 > cos2x+ 23,k z2cos2x v 02 k n+ 一 v 2xv 2k n+23k n+ V xv k n+, k z44/ O$Wn綜上所述，不等式f (dd cd) >f ("c )的解集是: x|- V XV3V xv43f ( x) = f (2 + x),所以 y1= y2由x的任意性得f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱， x> 1時(shí)，f(x )是增函數(shù)；x< 1時(shí)，f(x)是減函數(shù)。2：孑 = sinx, 2 2sinx, °=2sin2x+ 1 > 1,"c -J = cos2x, 1(1,2)=cos

13、2x+ 2 > 1,f(2sin2x+ 1)> f(cos2x+ 2)f(x)在是1 , + 上為增函數(shù)， f (a -b )>f (c -d )16解：(I )證明： AD/EF,EF /BC , AD /BC .又 BC 2AD ,G 是 BC 的中點(diǎn)，/. AD/BG ,四邊形ADGB是平行四邊形， AB/DG ./ AB 平面 DEG , DG 平面 DEG , AB/ / 平面 DEG .(n )證明：T EF 平面 AEB , AE 平面 AEB , EF AE ,又 AE EB, EBDeF E , EB, EF 平面 BCFE , AE 平面 BCFE .17

14、.過D作DH /AE交EF于H，那么DH 平面BCFE ./ EG 平面 BCFE , DH EG ./ AD/EF,DH /AE，四邊形 AEHD 平行四邊形， EH AD 2 , EHBG2，又 EH / /BG, EHBE ,四邊形BGHE為正方形， BHEG ,又BHDDHH , BH 平面 BHD,DH平面BHD/ BD平面BHD , BD EG .(川) EF平面AEB , AD / EF , EF平面AEB ,由2!知四邊形BGHE為止方形， BEBC ., EG1VADBEGVD AEB VD BEC S ABE AD3S BCE AE -33丄平面BHD .解法一：I由題意知

15、：F1( .3,0), FG.3,0)，又 PF1長軸長為4的橢圓， a 2，又 c 32橢圓C的方程為冷y242n由題意，可設(shè)直線l為：取m 0,得R 1,三2PF22a4，動(dòng)點(diǎn)2 c,Q直線A2Q的方程是y假設(shè)R 1, ,Q 1,蟲2 2假設(shè)點(diǎn)S在同一條直線上， 以下證明對于任意的2x 2y事實(shí)上，由 4xmy記 R X1,y1 ,Q1,P(x, y)必在以F, F2為焦點(diǎn),my 1 .戈，直線A1R的方程是23,交點(diǎn)為s 4, . 3 .，由對稱性可知交點(diǎn)為S2 4,3.那么直線只能為 ' : x 4 .m,直線A1R與直線A2Q的交點(diǎn)S均在直線' :x 4上.1，得 m

16、y14y24,即22m 4 y 2my 3 0,X2,y2 ，貝V y1y2設(shè)A1R與交于點(diǎn)S°(4,y°),由y。4 22mm 4也，得y°x,232-m 46y1Xt 2設(shè)A2Q與交于點(diǎn)S0 (4,y0),由4 26y12y2 y0 y0Xt 2 x226y1 my21 2y 2 my13X22y2x2 24my1y26 y1y2x12 x2212m12m22m4 m 4 0X1 2 X2 2'x12 x22 y0 y°，即與S0重合，這說明，當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S恒在定直線' : x 4上.解法二：I同解法一.n取m 0,得直線AiR的方

17、程是y £x 直線A2Q的方程是y #x 3,交點(diǎn)為Si4, .3 .3-,Q 0,5為S2 4,i . 假設(shè)交點(diǎn)以下證明對于任意的x2事實(shí)上，由 7X取m 1,得Rmy記 R xi,yi ,QAiR的方程是i ,直線AiR的方程是ys在同一條直線上，那么直線只能為 m,直線AiR與直線A2Q的交點(diǎn)X2,y2 ,Xiyi _2yixi 2以下用分析法證明x消去y,得，得那么yiyX24時(shí)，要證明式恒成立，只需證明即證 3yi my 2 iy2myy2t 2myiy23 yiy2這說明，當(dāng)m變化時(shí),解法三：I同解法一.即 m2 4 y2記 R Xi,yi ,QAiR的方程是yiXi 2

18、y2X22i $ 4y2i-,直線A2Q的方程是3；:X 4 .4,即 m242mEyiy22 , A2Q的方程是y3m24亙x x221-X i交占AI y八、24 上.2y 2my-x 2 2式恒成立。6yi2y?xi 2 x223 ,即證 2myiy23 yi y2 .2 o, 式恒成立.m 4 m 4點(diǎn) S恒在定直線: x 4上.2X4xmyi6mn由2my 3X2,y2 ,2 y2 xiy xi 2342m * 2m_myi，得 myi24y 4,那么yiy22m2,yiy2m 4yiXi 2yiXi 2yi X2 2yi X2 22m3m 4,a?q的方程是32 m 4X2yix2

19、2iy2 myi 3 yi my 2 iy2 myi 3yimy 22my23y23y2 yiyiyi4 .2m3 2yi yim 4這說明，當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S恒在定直線' : x 4上.i8.I解：在 Rt COAi 中，CAi,CO 2 tanCOSy 3CA1 CB3 22 tancosny/2(3 sin )2cos047分(3 sin )( sin )2 cos小 3sin22cos0 ,那么 sin12分當(dāng)sin0 ； sin1嚴(yán)3時(shí)， ysin 在0,上是增函數(shù)4當(dāng)角1滿足sin 時(shí)，y最小，最小為319解：1由，得s11 (a a) a2 12由 a10得Snnan(n牙

20、，那么Sn1 -Sn)(n于是有(n1)annan 2(n1)an而n是正整數(shù),數(shù)列3SnB4 22 ；此時(shí)BC1)an 12 ，1)an 1 nan,即 2a. 1 (n1 nan,并且有 nan 2 (n1 (n 1)an 1 nan，即 n(an那么對任意 n N都有an 2 an 11)an 1 nan ,1)an 1 ,2an 1)n(anan 1 an，an是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是 an(n 1) p。(n 2)(n 1)pn(n 1)pPn(n 1)npP2P3Pn2n(2由n是正整數(shù)可得p1P2Pn2nPlP2pn 2n M恒成立。20. 1定義域0,(n 1)np2 Z(n 2)(n 1)p222 2-)(2 )32 4(23，故存在最小的正整數(shù)、2m 16分21 an)，M=3，使不等式In xf x在0,e遞增，e,遞減2由題mIn xxx maxe2In 2aa e上In af xmaxamaxI時(shí),In2 e2ae時(shí),數(shù)學(xué)n附加題1.解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為f()1)(1) 4 =223.令f()0,得矩陣M的特征值為一1和3 .1時(shí)，聯(lián)立：；解得x所以矩陣M的屬于特征值一1的一個(gè)特征向量為2.3時(shí),所以矩陣聯(lián)立X 22y 00'解得x yM的屬于特征值3的一個(gè)特征向量為解：直線I的普通方程為：x設(shè)橢圓C上的點(diǎn)到直線I距離為d.d | 3c