高等數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)與微分

1、導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)法則初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)法則函數(shù)的微分及其應(yīng)用函數(shù)的微分及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用( )dyfx dx 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在 t 軸上從某一點(diǎn)開始作變速直線運(yùn)軸上從某一點(diǎn)開始作變速直線運(yùn)動(dòng)，已知運(yùn)動(dòng)方程為動(dòng)，已知運(yùn)動(dòng)方程為 s =s (t).記記 t = t0 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置坐時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)為標(biāo)為 s0= s( t0 ).當(dāng)當(dāng) t 從從 t0 增加到增加到 t0 t 時(shí)，時(shí)，s 相應(yīng)地相應(yīng)地在在t 這段時(shí)間內(nèi)的位移為這段時(shí)間內(nèi)的位移為00()( )s tttss，00()( ).ss tts tvtt v00( )( ).s ts ttt0000()(

2、 )limlimttss tttvtt 采取采取“極限極限”的手段：如果平均速度的手段：如果平均速度時(shí)的極限存在，時(shí)的極限存在，0t ,svt當(dāng)當(dāng)則自然地把此極限則自然地把此極限(記為記為 )定義為質(zhì)點(diǎn)在定義為質(zhì)點(diǎn)在 t = t0 時(shí)的瞬時(shí)速度或速度時(shí)的瞬時(shí)速度或速度: 0v t00()P xxyy，設(shè)曲線設(shè)曲線L的方程為的方程為000( )()yf xP xy，為為 L上的一個(gè)定點(diǎn)上的一個(gè)定點(diǎn).點(diǎn)點(diǎn) P0 的切線，可在的切線，可在曲線上取鄰近于曲線上取鄰近于P0 的點(diǎn)的點(diǎn)割線割線 P0 P 的斜率的斜率:xyO( )yf x0 x0yxyy0PP為求曲線為求曲線 y = f (x) 在在00

3、()()tanyf xxf xxx，算出算出線線 P0P 的極限位置的極限位置00tan()()yxf xxf xx ，即為點(diǎn)即為點(diǎn) P0 處的切線。處的切線。0 x 當(dāng)當(dāng)時(shí)，割時(shí)，割xyO( )yf x0 x0yxyy0PP00000()(lim tanlimlimtanxxxfxxfxyxx ）割線的斜率割線的斜率就會(huì)無(wú)限接近切線的斜率就會(huì)無(wú)限接近切線的斜率tan,tan 00000()( )limlimttss tttv ttt 0000()(tanlimlimxxfxxfxyxx ）0lim自變量增量相應(yīng)函數(shù)的增量自變量的增量定義定義2-12-10000()()limlimxxf xx

4、f xyxx 0 x xy，0,x xdydx0.x xdfdx存在，則稱函數(shù)存在，則稱函數(shù) y = f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0可導(dǎo)可導(dǎo)， 并稱此并稱此極限值為函數(shù)極限值為函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn)x0 的的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，記作，記作0()fx，設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義.若極限若極限或或公式公式1注注1 100000( )()()limlim.xxxf xf xyfxxxx 注注2 2注注3 3若極限不存在，則稱若極限不存在，則稱f (x)在在x0不可導(dǎo)不可導(dǎo). .若若0limxyx ，則稱則稱 f (x)在在 x0的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為為無(wú)

5、窮大無(wú)窮大. .若令若令0 xxx ，當(dāng)當(dāng)0 x 時(shí)，時(shí)，0 xx，注注4 4公式公式2公式公式3該類型該類型題是填題是填空題的空題的常出形常出形式，必式，必須會(huì)須會(huì)例1：設(shè)函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù) . 求11 ( ,2) 2, . yx求等邊雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率 并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, , 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk121xx2121 xx. 4 切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為124,2yx 112,42yx. 044 yx即即. 01582 yx即即例例2問題1.能跟上題一樣直接求嗎？能跟上題一樣直接求嗎？問題2.是

6、經(jīng)過原點(diǎn)嗎？提示：曲線跟切線有個(gè)共同的交點(diǎn)：切點(diǎn)切點(diǎn)0000( )()lim()xxf xf xfxxx，000000( )()lim ( )()lim()xxxxf xf xf xf xxxxx000000( )()limlim()() 00.xxxxf xf xxxfxxx（1）若）若 f (x)在在 x0點(diǎn)可導(dǎo)，則它在點(diǎn)可導(dǎo)，則它在 x0點(diǎn)必連續(xù)點(diǎn)必連續(xù). f (x)在在 x0點(diǎn)可導(dǎo)，則點(diǎn)可導(dǎo)，則則有則有所以所以 f (x)在在 x0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù).，1lim)0(0 xxfx，)0()0( ff（2）若）若 f (x)在在 x0點(diǎn)連續(xù)，則它在點(diǎn)連續(xù)，則它在 x0點(diǎn)未必可導(dǎo)點(diǎn)未必可導(dǎo).f

7、(x) = | x | 在點(diǎn)在點(diǎn) x00處連續(xù)但不可導(dǎo)處連續(xù)但不可導(dǎo).一方面一方面00limlim0 xxyx ，所以所以 f (x)在在 x0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù).另一方面另一方面0 (0)lim1xxfx 所以所以 f (x) 在在x0點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo).敲黑板了：計(jì)算題或者填空題敲黑板了：計(jì)算題或者填空題并且并且可導(dǎo)可導(dǎo)處也處也在點(diǎn)在點(diǎn)分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu2(1) ( )( )( )( );(2) ( )( )( ) ( )( ) ( );( )( ) ( )( ) ( )(3)( )0

8、.( )( )u xv xu xv xu xv xu x v xu x v xu xu x v xu x v xv xv xvx.sin223的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxy 23xy x4 .ln2sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxy xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx ).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求設(shè)設(shè)( )1,fxx,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x0ln(1) ln(1)( )limhx hxf xh 01limln 11hhhx11x注：分段函數(shù)的求導(dǎo)，是大

9、綱要求，但沒考過注：分段函數(shù)的求導(dǎo)，是大綱要求，但沒考過hhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf利用定義求利用定義求x=0的導(dǎo)數(shù)，公式的導(dǎo)數(shù)，公式2xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsi

10、nxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)而而可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù)即即 因變量對(duì)自變量求導(dǎo)因變量對(duì)自變量求導(dǎo), ,等于因變量對(duì)中間變等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo)量求導(dǎo), ,乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(.(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) ),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) .sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函

11、數(shù)xy .sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot .)1(102的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 1sin1sinxyex 1sin11cosxexx.1cos11sin2xexx .)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx.arcsin22222的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy 222arcsin22xaxyaxa

12、2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a.的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xxxy )(21 xxxxxxy111()22xxxxxxx11111222xxxxxx.812422xxxxxxxxxx .1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 1sin1sinxyex 1sin11cosxexx1sin211cosxexx .1cos11sin2xexx 求多層函數(shù)的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)：求多層函數(shù)的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)：例：( )( )0 ,( ),11( ).( )yxxyxyIyyf xIfxyyx如果函數(shù)在某區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且那末它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo) 且有或即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

13、等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).arcsin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc因?yàn)榛橄喾磾?shù)：所以f(10)=2,則(2)=10,( )F x yyy x由方程=0所確定的函數(shù).)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy ( , )0F x y )(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化013 yx31xy15sin345xxyy)(xyy （顯化）（顯化）（不能顯化）（不能顯化）.稱為隱函數(shù)把隱函數(shù)（把隱函數(shù)（y）看成自變量（）看成自變量（x）的復(fù)合函數(shù)，）的復(fù)合函數(shù)，用復(fù)合

14、函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則: 隱函數(shù)不易顯化或隱函數(shù)不易顯化或 不能顯化如何求導(dǎo)不能顯化如何求導(dǎo)?方程兩邊直接對(duì)自變量（方程兩邊直接對(duì)自變量（x）求導(dǎo)）求導(dǎo).00,.xyxxyeedydyydxdx求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),x方程兩邊對(duì)求導(dǎo)0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 0 xyxxxxx yee333,3 3,2 2.CxyxyCC設(shè)曲線 的方程為求過上點(diǎn)的切線方程 并證明曲線在該點(diǎn)的法線通過原點(diǎn),求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì) xyxyyyx 3333223 3,2 223

15、 32,2 2yxyyx. 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為, xy 即即顯然通過原點(diǎn)顯然通過原點(diǎn). .觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), , 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù). .適用范圍適用范圍: :( )( ).v xu x多個(gè)函數(shù)相乘除和冪指函數(shù)的情形32(1)11121(4)13(1)4xxxyxexxx等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式

16、兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) x1112114113(1)4yxxxyxxx 32(1)1,.(4)xxxyyxe設(shè)求.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 0( )( ),()( )( )lim,( )(.)xf xfxxfxxfxfxxfxf xx 如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) 處可導(dǎo) 即存在 則稱為函數(shù)在點(diǎn) 處的二階導(dǎo)數(shù)記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 ,( )1( ),f xnf xn一般地

17、 函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù) 記作.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), , 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù). .)(;)(,稱稱為為一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為零零階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)相相應(yīng)應(yīng)地地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù), ,.,),(44)4()4(dxydyxf).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)211xy 211yx 22)1(2xx 222(1)xyx 322)1()13(2xx 2202(0

18、)(1)xxfx22 302(31)(0)(1)xxfx; 0 . 2 由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù). .),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 .),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) xycos sin2xcos2yx s

19、in22xsin22xcos22yx sin32x ( )sin2nyxn( )(cos )cos2nxxn同理可得同理可得萊布尼茲公式萊布尼茲公式還沒考過！還沒考過！參數(shù)方程的高階求導(dǎo)：經(jīng)?？?！參數(shù)方程的高階求導(dǎo)：經(jīng)?？?！實(shí)例實(shí)例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xA 0 x0 x00,xxx 設(shè)邊長(zhǎng)由變到20,Ax正方形面積2200()Axxx 202()xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)Ax .,很小時(shí)可忽略很小時(shí)可忽略當(dāng)當(dāng)?shù)母唠A無(wú)窮小的高階無(wú)窮小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0

20、.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時(shí)時(shí)為為處的改變量處的改變量在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(.320 xxy (2),(),xxox當(dāng)很小時(shí) 是的高階無(wú)窮小 1,;xA的線性函數(shù) 且為的主要部分000( )( ),().f xxf xxAfx函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo) 且由定義知由定義知: :;)1(的線性函數(shù)的線性函數(shù)是自變量的改變量是自變量的改變量 xdy ;)()2(高高階階無(wú)無(wú)窮窮小小是是比比 xxodyy ;,0)3(是是等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ydyA dyy xAxo )(11(0).

21、x ;)(,)4(0有關(guān)有關(guān)和和但與但與無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)是與是與xxfxA ).(,)5(線性主部線性主部很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng)dyyx 00()()()yf xxf xAxox 0.x xdyAx.02. 0, 23時(shí)的微分時(shí)的微分當(dāng)當(dāng)求函數(shù)求函數(shù) xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即記作記作稱為自變量的微分稱為自變量的微分的增量的增量通常把自變量通常把自變量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商導(dǎo)數(shù)也叫導(dǎo)數(shù)也叫該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之商等于之商等于與自變量的微分與自變量的微分即函數(shù)的微分即函數(shù)的

22、微分dxdy)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 幾何意義幾何意義: :( (如圖如圖) ).,對(duì)應(yīng)的增量對(duì)應(yīng)的增量就是切線縱坐標(biāo)就是切線縱坐標(biāo)坐標(biāo)增量時(shí)坐標(biāo)增量時(shí)是曲線的縱是曲線的縱當(dāng)當(dāng)dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點(diǎn)在點(diǎn)很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) dxxfdy)( 求法求法: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos

23、)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc.),ln(2dyexyx求求設(shè)設(shè) ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx .,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex ;)(,)1(dxxfdyx 是自變量時(shí)是自變量時(shí)若若