《數(shù)值分析》課程設(shè)計實驗報告模板

1、數(shù)值分析課程設(shè)計實驗報告模板常微分方程數(shù)據(jù)值解:用龍格庫塔法分析Lorenz方程的特性一、 考慮著名的Lorenz方程其中s，r，b為變化區(qū)域內(nèi)有一定限制的實參數(shù)，該方程形式簡單，表面上看并無驚人之處，但由該方程揭示出的許多現(xiàn)象，促使“混沌”成為數(shù)學研究的嶄新領(lǐng)域，在實際應(yīng)用中產(chǎn)生了巨大的影響。二、 問題分析Lorenz方程實際上是一個四元一階常微分方程，用解析法精確求解是不可能的，只能用數(shù)值計算，最主要的有歐拉法、亞當法和龍格- 庫塔法等。為了得到較高精度的數(shù)值解,本實驗要求采用經(jīng)典四階龍格庫塔方法求解該問題。三、 實驗程序及注釋（1）算法程序function T=Runge_Kutta(f

2、,x0,y0,h,n) 定義算法，其中f為待解方程組，x0是初始自變量，y0是初始函數(shù)值，h是步長，n為步數(shù)if nargin<5 n=100; 如果輸入?yún)?shù)個數(shù)小于5，則步數(shù)n=100endr=size(y0);r=r(1); 返回初始輸出矩陣的行列數(shù)，并將值賦給r(1)s=size(x0);s=s(1); 返回初始輸入矩陣的行列數(shù)，并將值賦給s(1)r=r+s;T=zeros(r,n+1); T(:,1)=y0;x0; for t=2:n+1 以下是具體的求解過程 k1=feval(f,T(1:r-1,t-1); k2=feval(f,k1*(h/2)+T(1:r-1,t-1);x0

3、+h/2); k3=feval(f,k2*(h/2)+T(1:r-1,t-1);x0+h/2); k4=feval(f,k3*h+T(1:r-1,t-1);x0+h); x0=x0+h; T(:,t)=T(1:r-1,t-1)+(k1+k2*2+k3*2+k4)*(h/6);x0;end（2）主程序function dy=fun(x) 定義函數(shù)s=10.0; 給參數(shù)s，r，b賦值r=28.0;b=8.0/3;dy(1)=s*(x(2)-x(1); Lorenz方程表達式dy(2)=(r*x(1)-x(3)*x(1)-x(2);dy(3)=x(1)*x(2)-b*x(3);dy=dy'（

4、2）運行程序 T=Runge_Kutta('fun',0,10;10;10,0.01,5000); 調(diào)用前面的算法程序plot3(T(1,:),T(2,:),T(3,:); 顯示三分量的關(guān)系圖axis(-20 20 -50 50 0 50) 定義坐標軸長度view(3) 設(shè)定觀察角度四、 實驗數(shù)據(jù)結(jié)果及分析（1）各初始變量相同時的圖像分析各初始變量取相同的值10，10，10，運行上述程序后，得到如下圖像：從圖中可以看出，各初始變量相同時，曲線總是被吸引回奇怪吸引子附近作來回跳躍。初始變量值取為-10，-10，-10 ，20，20，20時，依然如此。圖像如下：-10，-10，-1

5、0 20，20，20（2）初始值的每個分量變化對圖像的影響y分量：0，2，0 0，5，00，15，0 0，20，0從上面可以看出，隨著初始y值的增大，奇怪吸引子中曲線在其附近來回跳躍的兩個位置中的一個吸引力變?nèi)?，另一個吸引力變強。初始y繼續(xù)增大到某一特定值，情況又會變回來。這說明在空間存在一些區(qū)域，當初始位置位于這些區(qū)域外時解將出現(xiàn)奇怪吸引子的性質(zhì)，而在這些區(qū)域以內(nèi)解將呈現(xiàn)普通吸引子的性質(zhì)。z分量：0，0，20從上圖可以看出解的曲線為一直線，這可以從方程的角度來解釋。當x=0,y=0時在方程中dx/dt=0,dy/dt=0，x，y 方向的值不發(fā)生變化，僅z方向的值變化，因此解為一直線。（3）調(diào)整參數(shù)r、s、b對圖像的影響為便于分析，我們只調(diào)整r、s、b三個參數(shù)中的任意一個。當只調(diào)整b且將初始變量取為0，eps，0。具體情況如下：s=10.0，r=28.0，b=8.0/3 s=10.0，r=28.0，b=9.6/3s=10.0，r=28.0，b=11.0/3 s=10.0，r=28.0，b=15.0/3增大b值時，Lorenz曲線在其附近來回跳躍的兩個位置會一個加強，一個減弱。當b達到某一值時，個位置喪失吸引力，另一位置則將曲線完全吸引過來變成普通吸