統(tǒng)計(jì)學(xué)教案習(xí)題07二項(xiàng)分布與Poisson分布及其應(yīng)用分享

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評(píng)與關(guān)注！ 第七章 二項(xiàng)分布與Poisson分布及其應(yīng)用一、教學(xué)大綱要求（一）掌握內(nèi)容1二項(xiàng)分布（1）分布參數(shù)；（2）各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)（均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等）的計(jì)算方法；（3）二項(xiàng)分布的分布特征，近似分布及其應(yīng)用條件。2Poisson分布（1）分布參數(shù)；（2）各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)（均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等）的計(jì)算方法；（3）Poisson分布的分布特征，近似分布及其應(yīng)用條件。（二）熟悉內(nèi)容1二項(xiàng)分布（1）樣本率的分布；（2）總體率的區(qū)間估計(jì)；（3）樣本率與總體率的比較；（4）兩樣本率的比較。2Poisson分布（1）總體均數(shù)的區(qū)間估計(jì)；（2）樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較；（3）兩個(gè)樣本均數(shù)

2、的比較。（三）了解內(nèi)容二項(xiàng)分布及Poisson分布的前提條件及其概率密度函數(shù)的應(yīng)用。二、教學(xué)內(nèi)容精要 （一）基本概念1概率分布二項(xiàng)分布（binomial distribution）和Poisson分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)中很重要的兩種分布。二項(xiàng)分布：若一個(gè)隨機(jī)變量X，它的可能取值是0,1,n，且相應(yīng)的取值概率為 (7-1)則稱此隨機(jī)變量X服從以n、為參數(shù)的二項(xiàng)分布，記為XB（n,）。Poisson分布：若離散型隨機(jī)變量X的取值為0,1,n，且相應(yīng)的取值概率為（>0） (7-2)則稱隨機(jī)變量X服從以為參數(shù)的Poisson分布（Poisson Distribution），記為XP（）。2兩種分布成立的條

3、件（1）二項(xiàng)分布成立的條件：每次試驗(yàn)只能是互斥的兩個(gè)結(jié)果之一；每次試驗(yàn)的條件不變；各次試驗(yàn)獨(dú)立。（2）Poisson分布成立的條件：平穩(wěn)性：X的取值與觀察單位的位置無關(guān)，只與觀察單位的大小有關(guān)；獨(dú)立增量性：在某個(gè)觀察單位上X的取值與前面各觀察單位上X的取值無關(guān)；普通性：在充分小的觀察單位上X的取值最多為1。（二）分布參數(shù)1二項(xiàng)分布，XB（n,）X的均數(shù)X = n (7-3)X的方差 = n(1-) (7-4)X的標(biāo)準(zhǔn)差 = (7-5)2Poisson分布，XP（）X的均數(shù)X = (7-6)X的方差= (7-7)X的標(biāo)準(zhǔn)差X = (7-8)（三）分布特性1可加性二項(xiàng)分布和Poisson分布都具有

4、可加性。如果X1，X2， Xk相互獨(dú)立，且它們分別服從以ni，p（i=1,2, ,k）為參數(shù)的二項(xiàng)分布，則X=X1X2Xk服從以n，p（n=n1+n2+nk）為參數(shù)的二項(xiàng)分布。如果X1，X2，Xk相互獨(dú)立，且它們分別服從以i（i=1,2, ,k）為參數(shù)的Poisson分布，則X=X1X2Xk服從以（=1+2+k）為參數(shù)的Poisson分布。2近似分布特定條件下，二項(xiàng)分布、Poisson分布可近似于某種其它的分布，這一特性拓寬了它們的應(yīng)用范圍。二項(xiàng)分布的正態(tài)近似：當(dāng)n較大，不接近0也不接近1時(shí)，二項(xiàng)分布B（n,）近似正態(tài)分布N（n, ）。二項(xiàng)分布的Poisson分布近似：當(dāng)n很大，很小，為一常數(shù)

5、時(shí)，二項(xiàng)分布近似于Poisson分布。Poisson分布的正態(tài)近似：Poisson分布P（），當(dāng)相當(dāng)大時(shí)（20），其分布近似于正態(tài)分布。（四）應(yīng)用1二項(xiàng)分布的應(yīng)用（1） 總體率的區(qū)間估計(jì)有查表法和正態(tài)近似法兩種方法。當(dāng)n50時(shí)可以通過查表求總體率的95和99可信區(qū)間。當(dāng)二項(xiàng)分布滿足近似正態(tài)分布的條件時(shí)（n較大，樣本率p不接近0也不接近1），可用正態(tài)近似法求總體率的1-可信區(qū)間：（p-uSp, p+uSp） (7-9)Sp= (7-10)（2） 樣本率與總體率比較應(yīng)用二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式計(jì)算事件（一般指X取某給定值一側(cè)的所有值）發(fā)生的概率，再比較其與檢驗(yàn)水準(zhǔn)大小，推斷樣本所在的總體率與給定總體

6、率的關(guān)系。（3） 兩樣本率的比較根據(jù)獨(dú)立的兩個(gè)正態(tài)變量的差也服從正態(tài)分布的性質(zhì)和二項(xiàng)分布在一定條件下的近似正態(tài)分布特性，當(dāng)兩個(gè)樣本的含量n1和n2較大，且p1、（1-p1）、p2、（1-p2）均不太小，可用u檢驗(yàn)方法對(duì)兩樣本率對(duì)應(yīng)的總體率作統(tǒng)計(jì)推斷。 (7-11) (7-12)2Poisson分布的應(yīng)用（1） 總體均數(shù)的區(qū)間估計(jì)有查表法和正態(tài)近似法兩種方法。當(dāng)樣本計(jì)數(shù)X50時(shí)，可用查表法求得總體均數(shù)的95或99可信區(qū)間。當(dāng)樣本計(jì)數(shù)X>50時(shí)，可利用Poisson分布的正態(tài)近似性，計(jì)算其總體均數(shù)（1-）可信區(qū)間如下：（，） (7-13)（2）樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較有直接計(jì)算概率法和正態(tài)近

7、似法兩種方法。樣本均數(shù)與總體均數(shù)比較的目的是推斷此樣本所代表的未知總體均數(shù)是否等于已知總體均數(shù)0。當(dāng)總體均數(shù)較小時(shí)，可采用直接計(jì)算概率法進(jìn)行比較。X取某一值的概率以Poisson分布的概率密度函數(shù)來計(jì)算，即（k=0,1,2,）注意：樣本均數(shù)與總體均數(shù)比較時(shí)，應(yīng)以X取大于等于（樣本均數(shù)大于總體均數(shù)時(shí)）或小于等于（樣本均數(shù)小于總體均數(shù)時(shí)）樣本均數(shù)的所有值的概率總和同檢驗(yàn)界值進(jìn)行比較，切不可僅以X取樣本均數(shù)的概率同檢驗(yàn)界值進(jìn)行比較。當(dāng)總體均數(shù)較大時(shí)，可用正態(tài)近似法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。此時(shí)Poisson分布近似正態(tài)分布，故可計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)統(tǒng)計(jì)量u， (7-14)通過u值得出相應(yīng)的概率，推斷樣本均數(shù)與總體均數(shù)的

8、關(guān)系。（3）兩個(gè)樣本均數(shù)的比較：兩個(gè)樣本計(jì)數(shù)均較大時(shí)，可根據(jù)Poisson分布的正態(tài)近似性對(duì)其進(jìn)行u檢驗(yàn)。兩個(gè)樣本觀察單位相同時(shí)，用下式計(jì)算u值。 (7-15)兩個(gè)樣本觀察單位不同時(shí)，用下式計(jì)算u值。 (7-16)三、典型試題分析(一)單項(xiàng)選擇題1某地人群中高血壓的患病率為，由該地區(qū)隨機(jī)抽查n人，則（ ）A樣本患病率p=X/n服從B（n, ）Bn人中患高血壓的人數(shù)X服從B（n, ）C患病人數(shù)與樣本患病率均不服從B（n, ）D患病人數(shù)與樣本患病率均服從B（n, ）答案：B評(píng)析 本題考點(diǎn)：二項(xiàng)分布概念的理解。二項(xiàng)分布中所指的隨機(jī)變量X代表n次試驗(yàn)中出現(xiàn)某種結(jié)果的次數(shù)，具體到本題目就是指抽查的n個(gè)人

9、中患高血壓的人數(shù)，因此答案為B。2二項(xiàng)分布近似正態(tài)分布的條件是（ ） An較大且接近0 Bn較大且接近1 Cn較大且接近0或1 Dn較大且接近0.5 答案： D評(píng)析 本題考點(diǎn)：二項(xiàng)分布的正態(tài)近似特性。從對(duì)二項(xiàng)分布特性的描述中可知：當(dāng)n較大，不接近0也不接近1時(shí)，二項(xiàng)分布B（n,）近似正態(tài)分布N（n, ）。不接近0也不接近1，等同于接近0.5，因而此題目答案為D。3. 以下分布中，其均數(shù)和方差總是相等的是（ ） A正態(tài)分布 B. 對(duì)稱分布 CPoisson分布  D. 二項(xiàng)分布答案：C評(píng)析 本題考點(diǎn)：Poisson分布的特性。Poisson分布P（）的參數(shù)只有一個(gè)，即。它的均數(shù)和方差均

10、等于，這一點(diǎn)大家需要牢記。4. 測(cè)得某地區(qū)井水中細(xì)菌含量為10000L,據(jù)此估計(jì)該地區(qū)每毫升井水中細(xì)菌平均含量的95%可信區(qū)間為（ ） A B. C  D. 答案：C評(píng)析本題考點(diǎn)：Poisson分布的正態(tài)近似性。當(dāng)X較大（一般大于50）時(shí)，Poisson分布近似正態(tài)分布，按照正態(tài)分布資料的計(jì)算公式計(jì)算該地區(qū)井水中平均每升細(xì)菌含量的95%可信區(qū)間，再除以1000即得平均每毫升井水中細(xì)菌的平均含量（設(shè)，有）。（二） 是非題從裝有紅、綠、藍(lán)三種顏色的乒乓球各500、300、200只的暗箱中隨機(jī)取出10個(gè)球，以X代表所取出球中的紅色球數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布B（10，0.5）。（ ）答案：正確。

11、評(píng)析 本題考點(diǎn)：二項(xiàng)分布的定義。二項(xiàng)分布成立的條件是：每次試驗(yàn)只能是互斥的兩個(gè)結(jié)果之一；每次試驗(yàn)的條件不變；各次試驗(yàn)獨(dú)立。此題目所述情況完全滿足后兩個(gè)條件，關(guān)鍵在于第一個(gè)條件的判斷，從表面上看，每次試驗(yàn)的結(jié)果有三種，但本題目所關(guān)心的試驗(yàn)結(jié)果是“紅色與否”，因而該試驗(yàn)結(jié)果仍為兩種互斥的情況“紅色”和“非紅色”。所以，此題目所述情況滿足以上三個(gè)條件，X服從二項(xiàng)分布B（10，0.5）。（三）計(jì)算題炮擊命中目標(biāo)的概率為0.2，共發(fā)射了14發(fā)炮彈。已知至少要兩發(fā)炮彈命中目標(biāo)才能摧毀之，試求摧毀目標(biāo)的概率。答案：0.802評(píng)析 本題的考點(diǎn)：二項(xiàng)分布概率函數(shù)的理解和應(yīng)用能力。摧毀目標(biāo)的概率即有兩發(fā)或兩發(fā)以上

12、炮彈命中目標(biāo)的概率，此概率又等于1減去只有一發(fā)命中或無一命中的概率之差。根據(jù)二項(xiàng)分布的概率函數(shù)計(jì)算如下：四、習(xí) 題（一）名詞解釋1二項(xiàng)分布 2. Poisson分布3. Bernoulli試驗(yàn)（二） 單項(xiàng)選擇題：1. X1、X2分別服從二項(xiàng)分布B（n1，p1）、B（n2，p2），且X1、X2相互獨(dú)立，若要X= X1X2也服從二項(xiàng)分布，則需滿足下列條件（ ）。AX1=X2 B. n1=n2Cp1=p2 D. n1p1=n2p22. 二項(xiàng)分布B（n，p）的概率分布圖在下列哪種條件下為對(duì)稱分布（ ）。An=50 B. p=0.5Cnp=1 D. p=13. Poisson分布P（）滿足下列何種條件時(shí)

13、近似正態(tài)分布N（，）（ ）。A相當(dāng)大 B. =1C=0 D. =0.54. 已知某高校學(xué)生近視眼的患病率為50%，從該高校隨機(jī)挑選3名學(xué)生，其中2人患近視眼的概率為（ ）。A0.125 B. 0.375C0.25 D. 0.55. 某自然保護(hù)區(qū)獅子的平均密度為每平方公里100只，隨機(jī)抽查其中一平方公里范圍內(nèi)獅子的數(shù)量，若進(jìn)行100次這樣的抽查，其中的95次所得數(shù)據(jù)應(yīng)在以下范圍內(nèi)（ ）。A5195 B80.4119.6C95105 D74.2125.8 （三）簡(jiǎn)答題1服從二項(xiàng)分布及Poisson分布的條件分別是什么？2二項(xiàng)分布、Poisson分布分別在何種條件下近似正態(tài)分布？3在何種情況下，可以

14、用率的標(biāo)準(zhǔn)誤Sp描述率的抽樣誤差？（四）計(jì)算題1. 已知我國(guó)成人乙肝病毒表面抗原平均陽性率為10%，現(xiàn)隨機(jī)抽查某地區(qū)10位成人的血清，其中3人為陽性。該地區(qū)成人乙肝表面抗原陽性率是否高于全國(guó)平均水平？2. 對(duì)甲、乙兩種降壓藥進(jìn)行臨床療效評(píng)價(jià)，將某時(shí)間段內(nèi)入院的高血壓病人隨機(jī)分為兩組，每組均為100人。甲藥治療組80位患者有效，乙藥治療組50位患者有效，兩種降壓藥有效率有無差別？3. 某放射性物質(zhì)發(fā)生脈沖頻率為100克小時(shí)，已知某礦區(qū)礦石中該放射性物質(zhì)的含量為4克千克，今又測(cè)得另一礦區(qū)同種礦石每千克發(fā)生脈沖頻率為1000小時(shí)，問兩個(gè)礦區(qū)礦石中該放射性物質(zhì)的含量是否相等？ 4. 一臺(tái)儀器在1000

15、0個(gè)工作時(shí)內(nèi)平均發(fā)生10次故障，試求在100個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障不多于兩次的概率。五、習(xí)題答題要點(diǎn)（一）名詞解釋1. 二項(xiàng)分布：若一個(gè)隨機(jī)變量X，它的可能取值是0,1,n，且相應(yīng)的取值概率為則稱此隨機(jī)變量X服從以n、為參數(shù)的二項(xiàng)分布（Binomial Distribution），記為XB（n,）。2. Poisson分布：若離散型隨機(jī)變量X的取值為0,1,n，且相應(yīng)的取值概率為（>0）則稱隨機(jī)變量X服從以為參數(shù)的Poisson分布（Poisson Distribution），記為XP（）。 3. Bernoulli試驗(yàn)：將感興趣的事件A出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果稱為“成功”，事件A不出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果稱為“失

16、敗”，這類試驗(yàn)就稱為Bernoulli試驗(yàn)（Bernoulli Test）。（二）單項(xiàng)選擇題1.C 2.B 3.A 4.B 5.B（三）問答題1.二項(xiàng)分布成立的條件：每次試驗(yàn)只能是互斥的兩個(gè)結(jié)果之一；每次試驗(yàn)的條件不變；各次試驗(yàn)獨(dú)立。Poisson分布成立的條件：平穩(wěn)性：X的取值與觀察單位的位置無關(guān)，只與觀察單位的大小有關(guān)；獨(dú)立增量性：在某個(gè)觀察單位上X的取值與前面各觀察單位上X的取值無關(guān)；普通性：在充分小的觀察單位上X的取值最多為1。2. 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似：當(dāng)n較大，不接近0也不接近1時(shí)，二項(xiàng)分布B（n,）近似正態(tài)分布N（n, ）。Poisson分布的正態(tài)近似：Poisson分布P（），當(dāng)

17、相當(dāng)大時(shí)（20），其分布近似于正態(tài)分布。3. 當(dāng)率P所來自的樣本近似服從正態(tài)分布時(shí)，即n較大，P不接近0也不接近1時(shí)，可以用率的標(biāo)準(zhǔn)誤Sp描述率的抽樣誤差。 （四）計(jì)算題1. 建立檢驗(yàn)假設(shè)H0：該地區(qū)成人乙肝表面抗原陽性率為10%；H1：該地區(qū)成人乙肝表面抗原陽性率大于10%。=0.05。從總體率為10%的人群隨機(jī)抽取10人，3人或3人以上陽性的概率為：P(X3)=1-P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1-0.910+10*0.1*0.99+45*0.12*0.98=0.0702P(X3)0.05，在=0.05水平上，不拒絕H0，不能認(rèn)為該地區(qū)成人乙肝表面抗原陽性率高于全國(guó)水平。2. 建立檢驗(yàn)假設(shè)H0：兩種藥有效率無差別；H1：兩種藥有效率有差別。=0.05。2.58，P0.01在=0.05水平上，拒絕H0，接受H1，即兩種降壓藥有效率有顯著差別，甲藥比乙藥有效率高。3. 放射性物質(zhì)含量為4克千克的礦石每千克的平均脈沖記數(shù)為=100*4=400小時(shí)，值較大，可利用Poisson分布的近似正態(tài)分布特性進(jìn)行計(jì)算。H0：兩礦區(qū)礦石中該放射性