考研數(shù)一真題及解析

1、2000年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上 )(1). 2x -x dx = 曲面x2 2y2 3z2 =21在點(diǎn)1, -2, 2的法線方程為 微分方程xy" 3y0的通解為無解，則1 2已知方程組 23'J a設(shè)兩個相互獨(dú)立的事件 A和B都不發(fā)生的概率為1-,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)9生A不發(fā)生的概率相等，則 P(A)二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)設(shè) f(x),g(x)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且

2、f '(x)g(x) - f(x)g'(x) ：0,則當(dāng) a ： x : b時，有()(A) f(x)g(b)f(b)g(x)(B) f (x)g(a) f (a)g(x)(C) f(x)g(x)f(b)g(b)(D) f(x)g(x)f(a)g(a) 設(shè)S :x2 y2 z2二a2(z _0), S|為S在第一卦限中的部分，則有()(A) 11 xdS = 4 I ixdS(B) 11 ydS = 4 11 xdSsqss(C) 11 zdS = 4 ! xdS(D) 11 xyzdS = 4 ! xyzdSSSSSQ0設(shè)級數(shù)a Un收斂,則必收斂的級數(shù)為()n =1ooQO

3、ooO0n(A)遲(T)u n(B) ' Un2.(C) 7 (U2n -U2n).(D)、(Un 一 un 1)n吒nn ¥nmnm設(shè)n維列向量組 r,m(m ： n)線性無關(guān)，則n維列向量組 ，冷線性無關(guān)的充分 必要條件為()(A)向量組1,，可由向量組'1 ,廠m線性表示(B) 向量組-1,，-m可由向量組-：*，,-：im線性表示(C) 向量組>1,與向量組：1,:m等價.(D)矩陣A*,打與矩陣B十，f等價.(5)設(shè)二維隨機(jī)變量 X，丫服從二維正態(tài)分布，則隨機(jī)變量=X Y與 二X-Y不相關(guān)的充分必要條件為()(A) E(X)=E(Y).(B) E(X2

4、)-E(X)2 =E(Y2)-E(Y)f.(C) E(X2)=E(Y2).(D) E(X2 E(X)f = E(Y2lE(Y)2.(本題滿分5分)求limx_012 ex4J+ex四、(本題滿分6分)02zg具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求一ccy設(shè)z = f,y,°'+gi° ,其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),I y丿 V丿五、(本題滿分6分)計(jì)算曲線積分Ixd暮-彎,其中l(wèi)是以點(diǎn)1,0為中心，R為半徑的圓周 R >1，L 4x y取逆時針方向.六、(本題滿分7分) 設(shè)對于半空間x 0內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面S,都有r2x11 xf (x)dydz - xyf (x)dzdx

5、 - e zdxdy = 0,其中函數(shù)f (x)在(0, +：)內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且Am f（x）=1,=求 f（X）七、(本題滿分6分)求幕級數(shù)n =413n （-2）n的收斂區(qū)域，并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性八、(本題滿分7分)設(shè)有一半徑為R的球體，F(xiàn)?是此球的表面上的一個定點(diǎn)，球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn) 到P距離的平方成正比(比例常數(shù)k=0),求球體的重心位置九、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)f (x)在0,二 I上連續(xù)，且 ° f (x)dx = 0, ° f (x)cosxdx = 0,試證：在(0,二)內(nèi)至少存在兩個不同的點(diǎn), 2,使f （ J = f2）=0.十、（本

6、題滿分6分）設(shè)矩陣A的伴隨矩陣,且ABA=BA+3E,其中E為4階單-3位矩陣，求矩陣B .1然后將-熟練工支援其6卜一、（本題滿分8分）某試驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì),他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊，新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核2Xn, yn記成向有2成為熟練工.設(shè)第n年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比分別為5量.(1)求y與g丿的關(guān)系式并寫成矩陣形式:Xnyn丿-10A的兩個線性無關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值;2時，求1三十二、（本題滿分8分）某流水生產(chǎn)線上每個產(chǎn)品不合格的概率為 p 0 ： p : 1 ,各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)

7、一個不合格產(chǎn)品時即停機(jī)檢修.設(shè)開機(jī)后第一次停機(jī)時已生產(chǎn)了產(chǎn)品的個數(shù)為X ,求X的數(shù)學(xué)期望E X和方差D X .十三、（本題滿分8分）設(shè)某種元件的使用壽命X的概率密度為f (x；B)2e“xq0,其中二0為未知參數(shù)，又設(shè) xx2，,人是X的一組樣本觀測值，求參數(shù) 二的最大似然估 計(jì)值.2000年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析、填空題【答案】【詳解】=2x- ?dx= f J1(x1)2dx解法1：用換元積分法：設(shè)x_1=si nt，當(dāng)x=0時,sint=1，所以下限取'；當(dāng)x=12時,si nt =0 ,所以上限取0 .x X=sint所以 I0J /cost costdt由于

8、在區(qū)間/，函數(shù)cost非負(fù)，則02-27：- cos tdt 2 cos t:-204解法2:由于曲線y = 2x -x2 = 1 -(x-1)2 是以點(diǎn)(1,0)為圓心，以1為半徑的上半圓周，它與直線1X =1和y =0所圍圖形的面積為圓面積的，故答案是4x1【答案】y 2 z_2-46【詳解】曲面方程F(x,y,z)=0在點(diǎn)(X0，y°,z0)的法矢量為:n =Fx(x°, y° ,Z0),Fy(x°, y°, Z0), Fz(X),y°, Z)令 F(x,y,z) =x2y2 3z2 -21,則有Fx' 1,-2, 2=

9、2x| 1, -2, 2 二 2,Fy' 1,-2, 2= 4y|1, -2, 2-8,Fz' 1, -2, 2= 6z|1, -2, 2= 12.所以曲面在點(diǎn)(1,-2,2)處的法線方程為:x 1y 2 z-2.即-812x1-4【答案】y =C2x【分析】此方程為二階可降階的微分方程，屬于yJf(x, y')型的微分方程.【詳解】令p二y'，有ydp 原方程化為:dx3p=0, =蟲 3衛(wèi)=0dxdx x分離變量:dpdx兩端積分：= -3In p = -3ln x+G px從而|p =6呵怦=eC£nx uefeC1 xC因記C2二eC1 0是大

10、于零的任意常數(shù)，上式可寫成p 2 ；xC記C二C2，p 3，便得方程的通解 p = C3X，x即 dy =C3X= dy =C3x"dx，其中C3是任意常數(shù)dx對上式再積分，得：y = C3X dx C2 C4,xC5所以原方程的通解為：C1 y= 1 C2x【答案】1.【詳解】化增廣矩陣為階梯形，有_1 21j211 123a+2:3->0-1a1a-2-:0 一L0a 2_3t121:1T 0-1a:100 (a-3)(a+1) a-3一3,根據(jù)方程組解的判定，其系數(shù)矩當(dāng)a = -1時，系數(shù)矩陣的秩為2，而增廣矩陣的秩為 陣與增廣矩陣的秩不同，因此方程組無解當(dāng)a = 3時，

11、系數(shù)矩陣和增光矩陣的秩均為 2,由方程組解的判定，系數(shù)矩陣的秩等于增 廣矩陣的秩，而且小于未知量的個數(shù)，所以方程組有無窮多解(5)【答案】2 3(由代B獨(dú)立的定義：P(AB) = P(A)P(B) A 【詳解】由題設(shè)，有 P(AB) = ,P(AB) =P(AB) 9因?yàn)锳和B相互獨(dú)立，所以 A與B，A與B也相互獨(dú)立于是由p(Ab= FT AB)有 P(A)P(B) =P(A)P(B)即有 P(A) I1P(B) I - U-P(A) P(B),可得 p(a)=P(B) , P(A)=P(B)從而 p(AB)=p(A)p(B)=p(A)】i_p(A)f J,-92解得 P(A) .3二、選擇題

12、(1)【答案】A【分析】由選項(xiàng)答案可知需要利用單調(diào)性證明，關(guān)鍵在于尋找待證的函數(shù)題設(shè)中已知f (x)f'(x)g(x) - f(x)g'(x) : 0,想到設(shè)函數(shù)為相除的形式.g(x)【詳解】設(shè) F(x)仝，則 F(x)'(x)g(x)2-f(x)g'(x) gg(x)g2(x)則 F(x)在 a ： x : b 時單調(diào)遞減，所以對 -a ： x ： b，F(xiàn)(a) F(x) F(b)，即f(a) f (x) f(b) g(a) g(x) g(b)得 f(x)g(b) f (b)g(x), a ： x : b，(A)為正確選項(xiàng)【答案】C【性質(zhì)】第一類曲面積分關(guān)于奇

13、偶性和對稱性的性質(zhì)有：若f (x, y,z)關(guān)于x為奇函數(shù) 若f (x, y, z)關(guān)于x為偶函數(shù)性質(zhì)1設(shè)f(x,y,z)在分塊光滑曲面 S上連續(xù)，S關(guān)于yoz平面對稱，則°f(x,y,z)dS 二 2 f(x,y,z)dSS ，其中 S = S ' x _°.性質(zhì)2：設(shè)f (x,y,z)在分塊光滑曲面 S上連續(xù)，S關(guān)于xoz平面對稱，則°若f (x, y,z)關(guān)于y為奇函數(shù).f (x,y,z)dS 二 2 f (x,y,z)dS若f (x, y, z)關(guān)于 y為偶函數(shù)S性質(zhì)3：設(shè)f (x,y,z)在分塊光滑曲面S上連續(xù)，S關(guān)于xoy平面對稱，則0若f (

14、x,y,z)關(guān)于z為奇函數(shù)! f (x, y, z)dS 二 2 11 f (x, y,z)dS 若f (x, y, z)關(guān)于 z為偶函數(shù)sL s其中 S =S - z _0.【詳解】方法1直接法：本題中S在xoy平面上方，關(guān)于yoz平面和xoz平面均對稱，而f(x, y,z)=z對x, y 均為偶函數(shù)，則性質(zhì)1性質(zhì)2zdS = 2 zdS = 4 zdSsS -x _0S1又因?yàn)樵赟,上將x換為y , y換為z， z換為x， S1不變(稱積分區(qū)域S1關(guān)于x, y,z輪換對稱)，從而將被積函數(shù)也作此輪換變換后，其積分的值不變，即有4 zdS =4 xdS =4 ydS.選項(xiàng)(C)正確.S1 S

15、方法2:間接法(排除法)曲面S關(guān)于yoz平面對稱，x為x的奇函數(shù)，所以 xdS=0，而 xdS中x_0且 s'S；僅在yoz面上X = 0，從而 xdS - 0， (A)不成立S1曲面S關(guān)于zox平面對稱，y為y的奇函數(shù)，所以.ydS = 0 ,而 xdS 0，所SS'以(B)不成立曲面S關(guān)于zox平面對稱，xyz為y的奇函數(shù)，所以iixyzdS = 0,而 d 0，SS1所以(D)不成立0設(shè)級數(shù)7 Un收斂，則必收斂的級數(shù)為()n =1(B)v Un2.n A(D) v (Un -Un 1).n =±n Un® -1n m nQO(C)、(U2n4 -U2

16、n).n =±【答案】D【詳解】方法1：直接法由7 un收斂，所以V Un1也收斂由收斂級數(shù)的性質(zhì)（如果級數(shù)7 un、nJngn 4QOoovn分別收斂于s、匚，則級數(shù)7 un _Vn也收斂，且其和為s_；）知nJnJcooQco三,：Un - Un -t Un '二 Un .1 選項(xiàng)(D)成立. nnn£方法2:間接法找反例：(A):取 Un =(-1ln1 n，級數(shù)V un收斂,n 4旳u00、(-1)n(-1)n nnnJ1nln(1 n)是發(fā)散的；（關(guān)于上述結(jié)束的斂散，有下述結(jié)果:QOZn=1匚 收斂(n 1)ln p(1 n)發(fā)散(1、n： ：: : 1(

17、B):取Un -，級數(shù)7 un收斂，V U,八，發(fā)散;*nn 1nn：1n(C):取 Un(J)"od，級數(shù)7 Un收斂，但n AU2n d ' ' U2n丄丄2n1 2n4n112n(2 n -1) nQO由比較審斂法的極限形式知，級數(shù) '、' （U2nj -U2n）發(fā)散n A【答案】（D）【詳解】用排除法（A）為充分但非必要條件：若向量組-：»,-：£可由向量組：1,廠m線性表示，則一定可推導(dǎo)，：m線性無關(guān)，因?yàn)槿?，'m線性相關(guān)，則r：S,-：m : m,于是m 必線性相關(guān)，矛盾但反過來不成立，如當(dāng) m =1時，r =

18、（1,0）T, 1 =（o,1）T均為單個非零 向量是線性相關(guān)的，但r并不能用 打線性表示（B）為既非充分又非必要條件：如當(dāng)m = 1時，考慮1 =（1,0）T, ：1 r（0,1）T均線性無關(guān)，但并不能由«1線性表示，必要性不成立；又如 =（1,0）丁，宮=（0,0）T,可由6線性表示，但'-1并不線性無關(guān)，充分性也不成立(C) 為充分但非必要條件：若向量組 1,，與向量組：1,：m等價，由1,，線 性無關(guān)知,r 、，, '-m二r宀，：m二m,因此：仆，：m線性無關(guān)，充分性成立；當(dāng) m =1時，考慮M =(1,0)T, ' (0,1)T均線性無關(guān)，但：1與

19、»并不是等價的，必要性不成立(D) 剩下(D)為正確選項(xiàng)事實(shí)上，矩陣A二,：m與矩陣B二-1-, -m等價？r A =r B ? r九，：m ：4,，m l=m,因此是向量組 ，：m線性無關(guān)的充要 條件 【答案】B.【詳解】'和不相關(guān)的充分必要條件是它們的相關(guān)系數(shù)由協(xié)方差的性質(zhì)：cov(aX bY,Z) =acov(X,Z) bcov(Y,Z)故 Cov ,=Cov X Y,X -丫= Cov X,X -Cov X,Y CovY,X -Cov Y,Y二Cov X,X -Cov Y,Y =D X -D Y可見 Cov ，十0= D X -D Y=0= D X i=D Y-E(X

20、2I.E(X)Ne(Y2I.E(Y)2(由方差定義 DX =EX2_(EX)2)故正確選項(xiàng)為(B).1三【分析】由于極限中含有e°與x ,故應(yīng)分別求其左極限與右極限，若左極限與右極限相等，則極限值存在且等于其極限值，否則極限不存在【詳解】lim30 f1f12+exsinx=lim2+exsin x+44|xxJ十ex)J十exJ二十1 ；1lim 0 +2+exJ +exsin x+Ixl=limo+2 exJ+exsin x+x= 0 1=1左極限與右極限相等，所以12 ex4sin xJ+ex+|x|四【詳解】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有.:zfy f2' - g'

21、;y f2'IF22g'-氛x爲(wèi)也+f；2&y+叫5宀停舟 tr 1、.1 (yFr (1 f2 12+ giJ2-2< y丿x Ix丿Ix丿五【詳解】方法1:(復(fù)連通條件下的封閉曲線積分 )設(shè)：(1) L1與L2是兩條分段光滑的簡單封閉曲線，具有相同的走向，(2)在L1與L2所包圍的有界閉區(qū)域 D1與D2的內(nèi)部除一些點(diǎn)外，P(x, y)與Q(x, y)連續(xù)并具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)g =滬:x;y則P(x, y)dx Q(x, y)dy = :| P(x, y)dx Q(x, y)dy解：以點(diǎn)1,0為中心，R為半徑的圓周的參數(shù)方程是：x =1 Rcosv,y二Rsin

22、v ,逆時針方向一周為從t =0到t =2二，代入曲線積分II 4x y由于分母很繁，計(jì)算不方便由曲線封閉，可以考慮使用格林公式，但在L所包圍的區(qū)域內(nèi)部有點(diǎn)0(0,0)，該點(diǎn)處分母為0，導(dǎo)致被積函數(shù)不連續(xù)，格林公式不能用記 P = -n , Q =4x + y4x2 y2FP,且 P(x, y)與 Q(x,y)滿足-= exy2 4x2jQ2 2 24x y(x, y) =(0,0) 作足夠小的橢圓:L- ；I。,？二,。取逆時針方向)，y = ；si nt于是L與Li及函數(shù)P(x,y)與Q(x,y)滿足 分析”中所述定理的一切條件,xdy - ydx4x2 y2而后一積分可用參數(shù)法計(jì)算xdy

23、 - ydx1 l 4x2 y2zzcost ； cost - ； si nt(-si n t)22dt1 2z2dt 皿4x2 y2方法 2：記 P =Jy o ,Q 召右，貝=0 , (x,y) = (0,0).在 L 內(nèi)加 L,:4x + yexcy橢圓4x2 +y2 = g2的順時針方向，則xdy - ydx xdy - ydxL Li 4x2 y2Li 4x2 y2D 0dxd八 L1 4x2 y2xdy ydx (D 由 L 與 Li 所圍)1 1 2 2 2 xdyydx = p JJ2dxdy( D1 : 4x +y < ® )；L1； D1六【詳解】由題設(shè)條件

24、，可以用高斯公式：2 x0 xf (x)dydz-xyf (x)dzdx-e zdxdy=土 川 xf '(x) + f (x) - xf (x) -e2x dv其中Q為S所圍成的有界閉區(qū)域，當(dāng)S的法向量指向0外時，土”中取 竿”；當(dāng)S的法向量指向門內(nèi)時，“ ”中取“-”.由S的任意性，知被積函數(shù)應(yīng)為恒等于零的函數(shù)2x即 xf'(x) f(x)-xf(x)-e =0,(x0)變形后得f '(x) +|_ _1 |f(x>-e2x,(>0) lx丿x2x這是一階線性非齊次微分方程,利用一階線性非齊次微分方程3 P(x)y =Q(x)的通解公式:dx(x)dxd

25、x C_P(x)dxP (JQ(X)e其通解為Rl)dx f(x)=ex2xe e x1 dxdx Cx-e2x xedx C =e xx ex C由于lim丄f (x) = lim0 十I*e2x +Cex=1,故必有 xirme2x Cex 二0 ,(否則不能滿足極限值為1)，即C 1 =0,從而C = - 1.因此f(xe- ex -1 .x七【定義概念】幕級數(shù)cO人-na“xn=0|3n (-2)n n3n 1(-2)n 1 (n 1)二 limx ；：討(n。31 (qQ=匚其中an,an .1是幕級數(shù)"anXn的相鄰n=0兩項(xiàng)的系數(shù)，則該幕級數(shù)的收斂半徑 P0PR= P

26、= 00P =i開區(qū)間(-R,R)叫做幕級數(shù)的收斂區(qū)間【詳解】所以收斂半徑為R = 3，相應(yīng)的收斂區(qū)間為-3,3 .當(dāng)x =3時，因?yàn)?n1 1 1,jm13n (-2)nn_1+2fn '32n:1且丄發(fā)散，由比較審斂法的極限形式，所以原級數(shù)在點(diǎn)x =3處發(fā)散;n $ n當(dāng)x = -3時，由于(-3)1 心)+丫3n (-2)n n 3n - (2)n2n3n - (-2)nnn1(2)n 一一1 n 3n - (2)nod1送（_1 ）丄是收斂的又因n 4n再由&n -1收斂,3根據(jù)比較審斂法知qQ J收斂于是三I n1 3(-2)n(-3) n分別考慮兩個級數(shù)，級數(shù)2 n

27、nn2J>3 丿."G3n+(-2)n n( 2-n 13 丿1+ -I 3丿收斂，所以原級數(shù)在點(diǎn) x = - 3處收斂所以收斂域?yàn)?3,3）.八【詳解】本題為一物理應(yīng)用題，由于重心坐標(biāo)是相對某一些坐標(biāo)系而言的，因此本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，一般來說，可考慮選取球心或固定點(diǎn)P0作為坐標(biāo)原點(diǎn)，相應(yīng)的有兩種求解方法X方法1記所考慮的球體為則球面方程為：2 2 2 2x+y +zR，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（R,0,0 ），設(shè)Q的重心位置為Q,以Q的球心為坐標(biāo)原點(diǎn) 0,射線0P。為正x軸建立直角坐標(biāo)系,（x,y,z）,由對稱性，得y =0,z = 0,設(shè)丄為門上點(diǎn)（x,y,z）處的密度，按

28、題設(shè)-k X _R 2 y2 z2，則! xdVIII X k x R 2 y2 z2 dV2 y2 z2 dVx二.JdVk x-R。Q LMk（x-+y2+z21dV! k x2 y2 z2 R2 dV - 2k i zdVQQ二k 11 ix2 y2 z2 dV k iii R2dV-0（利用奇函數(shù)的對稱性）QQ二 R5R4 k= 8k02 02 .0r r sin dr §（利用奇偶函數(shù)的對稱性輪換對稱性-球體體積公式）-至sin d R2 0 0r4dr 坐二 R53二 8kf 5、f2sin Qd® J0cI5 /0（牛-萊公式）=8k 25-cos5.0二 R

29、5（牛-萊公式）5= 4R_.4_r5531522kx x-R y二 kiii x（x2y2Q其中第一個積分的被積函數(shù)為z2 dV又由于關(guān)于x, y,z輪換對稱,z2 R2） -2kRGx2dVQz的奇函數(shù)，i 對稱于xOy平面，所以該積分值為零, 所以.z2dV 二x2dV!：y2dVQQQ從而z2）dVE:&0d2 fg 古R5于是111 kx x - R i 亠 y2 z2 dV - -2kRR5 -坐二 R6豈-1515 RR故x.因此，球體Q的重心位置為（，0,0）44方法2:用Q表示所考慮的球體，O表示球心，以點(diǎn) P選為原點(diǎn)，射線P0O為正z軸建立直角坐標(biāo)系，則球面的方程為

30、x2y2z2 =2Rz,設(shè)Q的重心位置為（x, y, z），由對稱性，得x = 0, y = 0 ,設(shè)為l】上點(diǎn)（x, y, z）處的密度，按題設(shè)- k |x2 y2 - z2所以!>JdVkz X2 y2 Z2 dVz 二in'-dV hi k x2 y2 z2 dV因?yàn)?2Rcos門 x2y2z2 dV= 4 02dS2d0r2 r2 sin dr = 32二 R515zx2y2 z2Q2Rcos :dV =4 2d 2dr5sin cos dr“00 0二64 二 R63”82COS7sin ：d =- R603故z=5R.因此，球體Q的重心位置為（0,0,坐）.44九【證

31、明】方法1令F(x)二f (t)dt,0 乞 x 乞二，有 F (0) = 0,由題設(shè)有 F (二)=0 又由題設(shè) ：f (x)cosxdx = 0，用分部積分，有二 F(x)cosx0 o F (x)sin xdx 二 o F (x)sin xdx由積分中值定理知，存在三(0,二)使0= 0 F(x)sinxdx = F( )sin(二-0)因?yàn)椋?0,二),si n =0，所以推知存在-(0,二)，使得F)= 0.再在區(qū)間0,與二上對F(x)用羅爾定理，推知存在(0, )，2 (.)使F ( i) =0,F ( 2) =0，即 f ( J ",f( 2) =0IT方法2：由f (

32、x)cx 0及積分中值定理知，存在(0,二)，使f( J=0.若在區(qū)間(0,二)0內(nèi)f (x)僅有一個零點(diǎn)1，則在區(qū)間(0, 1)與(1,二)內(nèi)f(x)異號不妨設(shè)在(0, i)內(nèi)乂兀兀亠f (x) >0，在(J 町內(nèi) f (x) c0.于是由 J0 f (x)dx = OJ0 f (x)cosxdx= 0，有JIT遲丁遲0= o f(x)cosxdx- p f (x)cos 曲 二 o f (x)(cosx-cos 1)dxi二f (x)(cosx-cos Jdx 亠 i. f (x)(cosx-cos 1)dx0 1當(dāng) 0 ：X ：: 1 時，cos( cos， f(X)(COSX-C

33、OS ) 0 ；當(dāng) 1 ： x ：:二時， cosx ： cos，仍有 f (x)(cosx-cos J 0，得到：0 0.矛盾，此矛盾證明了 f (x) 在(0,二)僅有1個零點(diǎn)的假設(shè)不正確，故在 (0,二)內(nèi)f(x)至少有2個不同的零點(diǎn)十【分析】本題為解矩陣方程問題，相當(dāng)于是未知矩陣，其一般原則是先簡化，再計(jì)算，根據(jù)題設(shè)等式，可先右乘 A，再左乘A*，盡量不去計(jì)算 A，【詳解】 方法1：由AA=A A=|Ae,知A=|A ,因此有8 = A =|A ,于是|A| =2，所以 A*A=2等式 ABA BA4 3E 兩邊先右乘 A，得ABA，A = BA，A 3EA再左乘 A*，得A* A B

34、 A1 A *A BA A 3* A E A化簡=|A|BE 二 A*BE 3A*A= 2B = A*B 3| A|E=2B 二 A B 6E二 2E-A B=6E,'I=60-1Of00-6（由初等變換法求得）方法2: A =2（同解1），由AA = A A =AE,* A* A.A = A(A) =2( A) =2（由初等變換法求得），可見A-疋，由 A-E BA=3E,因此1_2B =3方法3:由題設(shè)條件ABA4000160100-10-1E為逆矩陣=3 A-E000312一一 04rBA"1 3E ,知：A-E , B均是可逆矩陣，且A,而101000-2010010

35、0014°0603006001001得 A-E BA =3E.A4 A-E-4_1 -1=3 E-A,e a*I |a|A =8，得 A = 2 故/* A,L A"2 E _ A*、E -=3 < 2丿< 2丿其中n = 4,B =36 2E - A其中*2E-A -所以卜一【詳解】0【00-6* -J2E - A10|11(1)由題意，一x60 10 00 6 0 0)=6-10 106 0 6 003 0-6_I0 3 0 -1一10 600000B = 6 2E - A*n - Yn是非熟練工人數(shù),2 15 6XnYn是年終由非熟練工人5變成的熟練工人數(shù)，-Xn是年初支援其他部門后的熟練工人數(shù)，根據(jù)年終熟練工的人數(shù)列6出等式(1)，根據(jù)年終非熟練工人人數(shù)列出等式得可見521Xn6Xn 5 6Xn Yn3(1)Yn 1Xn Yn5 16yn丨_9Xn1 F和1“10Xn2535YnYn(1)Yx1一103Xn十5/ 、'9_2 '/'sXn +105XnJn十3<Yn><105丿即Yn_ 5_9101<10把，口 2作為列向量寫成矩陣的形式(1, 2)，因?yàn)槠湫辛惺?-111(l, 2)= 5 = 0矩陣為滿秩，由矩陣的秩和向量的關(guān)系可