橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)練習(xí)

1、課題：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。教師指出：這兩個定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。令橢圓上任一點(diǎn)M，則有問題：如圖已知焦點(diǎn)為的橢圓，且=2c,對橢圓上任一點(diǎn)M，有，嘗試推導(dǎo)橢圓的方程。MxyMO方案一 方案二xyMO按方案一建立坐標(biāo)系，師生研討探究得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程+=1（），其中b2 = a2c2 ( b > 0 )；選定方案二建立坐標(biāo)系，由學(xué)生完成方程化簡過程，可得出+=1，同樣也有a2c2 = b2 ( b > 0 )。我們所得的兩個方程+=1和+=1（）都是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（四）歸納概括，方程特征1、 觀察橢

2、圓圖形及其標(biāo)準(zhǔn)方程，歸納總結(jié)（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的橢圓中心在原點(diǎn)，以焦點(diǎn)所在軸為坐標(biāo)軸；（2）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1；（3）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a,b,c關(guān)系：；（4）橢圓焦點(diǎn)的位置由標(biāo)準(zhǔn)方程中分母的大小確定；（5）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時，可運(yùn)用待定系數(shù)法求出a,b的值。2、 歸納總結(jié)如下表標(biāo)準(zhǔn)方程+=1xyMO+=1圖形xyMOa,b,c關(guān)系焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)位置在x軸上在y軸上（五）例題研討，變式精析例1.判斷下列各橢圓的焦點(diǎn)位置，并說出焦點(diǎn)坐標(biāo)、焦距以及的值（口答） 例2.已知橢圓兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，并且經(jīng)過點(diǎn)；求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式訓(xùn)練1. 如圖，圓的半徑為定長r，

3、A是圓內(nèi)的一定點(diǎn)，P為圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？2. 已知B、C是兩個定點(diǎn)，|BC|=6，的周長為16.問點(diǎn)A的軌跡是什么曲線？你能寫出它的方程嗎？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一、填空題1方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_解析：因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以16m>25m，即m>，又因?yàn)閎225m>0，故m<25，所以m的取值范圍為<m<25.答案：<m<252橢圓1(m<n<0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_解析：因?yàn)閙<n<0，所以m>n>0，故焦點(diǎn)在

4、x軸上，所以c，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)答案：(，0)，(，0)3已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1(a>5)，它的兩焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，且F1F28，弦AB過點(diǎn)F1，則ABF2的周長為_解析：因?yàn)镕1F28，即即所以2c8，即c4，所以a2251641，即a，所以ABF2的周長為4a4.答案：44過點(diǎn)(3,2)且與橢圓1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析：因?yàn)閏2945，所以設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由點(diǎn)(3,2)在橢圓上知1，所以a215.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案：15已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(0，1)、F2(0,1)，P是橢圓上一點(diǎn)，并且PF1PF22F1F2，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_

5、解析：由PF1PF22F1F22×24，得2a4.又c1，所以b23.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.答案：16已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且2a10，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析：由橢圓定義知c1，b.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案：17若ABC的兩個頂點(diǎn)坐標(biāo)A(4,0)，B(4,0)，ABC的周長為18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為_解析：頂點(diǎn)C到兩個定點(diǎn)A，B的距離之和為定值10，且大于兩定點(diǎn)間的距離，因此頂點(diǎn)C的軌跡為橢圓，并且2a10，所以a5,2c8，所以c4，所以b2a2c29，故頂點(diǎn)C的軌跡方程為1.又A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以y0.所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為1(y0)

6、答案：1(y0)8已知橢圓1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓上的一點(diǎn)，Q是PF1的中點(diǎn)，若OQ1，則PF1_.解析：如圖所示，連結(jié)PF2，由于Q是PF1的中點(diǎn)，所以O(shè)Q是PF12的中位線，所以PF22OQ2，根據(jù)橢圓的定義知，PF1PF22a8，所以PF16.答案：69設(shè)F1、F2是橢圓1的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且PF1PF221，則PF1F2的面積等于_解析：由橢圓方程，得a3，b2，c，PF1PF22a6.又PF1PF221，PF14，PF22，由2242(2)2可知PF1F2是直角三角形，故PF1F2的面積為PF1·PF2×2×44.答案：4二、解

7、答題10已知橢圓x22y2a2(a>0)的左焦點(diǎn)F1到直線yx2的距離為2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：原方程可化為1(a>0)，ca，即左焦點(diǎn)F1.由已知得2，解得a2或a6(舍去)，即a28.b2a2c2844.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.11已知圓C：(x3)2y2100及點(diǎn)A(3,0)，P是圓C上任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線l與PC相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程解：如圖所示l是線段PA的垂直平分線，AQPQ.AQCQPQCQCP10，且10>6.點(diǎn)Q的軌跡是以A、C為焦點(diǎn)的橢圓，且2a10，c3，即a5，b4.點(diǎn)Q的軌跡方程為1.12已知F1、F2是橢圓1的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)(1)若F1PF2，求F1PF2的面積；(2)求PF1·PF2的最大值解：(1)設(shè)PF1m，PF2n(m>0，n>0)根據(jù)橢圓的定義得mn20.在F1PF2中，由余弦定理得PFPF2PF1·PF2·cosF1PF2F1F，即m2n22mn·cos122.m2n2mn144，即(mn)23mn144.2023mn144，即mn.又SF1PF2PF1·PF2·sinF1P