正多邊形和圓

1、24.3 正多邊形和圓麻城集美學(xué)校 曹緒鹍教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：了解正多邊形和圓的有關(guān)概念；理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫正多邊形過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)正多邊形的學(xué)習(xí)，掌握正多邊形半徑、中心角、邊心距的計(jì)算方法.情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫正多邊形，培養(yǎng)學(xué)生的審美情趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.教學(xué)重點(diǎn)：正多邊形和圓內(nèi)接正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長(zhǎng)之間的關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)：正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長(zhǎng)之間的關(guān)系教學(xué)時(shí)數(shù)：四課時(shí)教學(xué)過(guò)程第一課時(shí)一、 課前預(yù)習(xí)：學(xué)生預(yù)習(xí)教材P104106.二、復(fù)習(xí)引入 請(qǐng)同學(xué)們口答下面兩個(gè)問(wèn)題

2、 1什么叫正多邊形？ 2從你身邊舉出兩三個(gè)正多邊形的實(shí)例，正多邊形具有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱嗎？其對(duì)稱軸有幾條，對(duì)稱中心是哪一點(diǎn)？老師點(diǎn)評(píng)：1各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形 2正多邊形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)多條；正多邊形是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是正多邊形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交點(diǎn)三、探索新知如果我們以正多邊形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的交點(diǎn)作為圓心，過(guò)點(diǎn)到頂點(diǎn)的連線為半徑，能夠作一個(gè)圓，很明顯，這個(gè)正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)圓上，如圖，正六邊形ABCDEF，連結(jié)AD、CF交于一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，那么肯定B、C、D、E、F都在這個(gè)圓上 因此，正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧

3、，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓 我們以圓內(nèi)接正六邊形為例證明 如圖所示的圓，把O分成相等的6段弧，依次連接各分點(diǎn)得到六邊ABCDEF，下面證明，它是正六邊形 AB=BC=CD=DE=EF AB=BC=CD=DE=EF 又A=BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD A=B 同理可證：B=C=D=E=F=A 又六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)都在O上 根據(jù)正多邊形的定義，各邊相等、各角相等、六邊形ABCDEF是O的內(nèi)接正六邊形，O是正六邊形ABCDEF的外接圓EFCD.中心角半徑R邊心距rAB 一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心

4、叫做這個(gè)多邊形的中心 外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑 正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角 中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距四、知識(shí)應(yīng)用例 有一個(gè)亭子,它的地基半徑為4m的正六邊形,求地基的周長(zhǎng)和面積(精確到0.1m2).解: 如圖由于ABCDEF是正六邊形,所以它的中心角等于 ， ，OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的半徑.OABCDEFRPr因此,亭子地基的周長(zhǎng)l =4×6=24(m).在RtOPC中,OC=4, PC=利用勾股定理,可得邊心距亭子地基的面積補(bǔ)充例題： 例1已知正六邊形ABCDEF，如圖所示，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長(zhǎng)和

5、面積 分析：要求正六邊形的周長(zhǎng)，只要求AB的長(zhǎng)，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長(zhǎng)應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)連接OA，過(guò)O點(diǎn)作OMAB垂于M，在RtAOM中便可求得AM，又應(yīng)用垂徑定理可求得AB的長(zhǎng)正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的 解：如圖所示，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于=60°，OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的半徑 因此，所求的正六邊形的周長(zhǎng)為6a 在RtOAM中，OA=a，AM=AB=a 利用勾股定理，可得邊心距 OM=a 所求正六邊形的面積=6××AB×OM=6××a×a=

6、a2第二課時(shí)一、 探究新知120 °AOCB用量角器度量，使AOB=BOC=COA=120° 用量角器或30°角的三角板度量，使BAO=CAO=30° 由于正多邊形在生產(chǎn)、生活實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用性，所以會(huì)畫正多邊形應(yīng)是學(xué)生必備能力之一。 怎樣畫一個(gè)正多邊形呢？ 問(wèn)題1：已知O的半徑為2cm，求作圓的內(nèi)接正三角形. 現(xiàn)在我們利用正多邊形的概念和性質(zhì)來(lái)畫正多邊形例2利用你手中的工具畫一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的正五邊形 分析：要畫正五邊形，首先要畫一個(gè)圓，然后對(duì)圓五等分，因此，應(yīng)該先求邊長(zhǎng)為3的正五邊形的半徑解：正五邊形的中心角AOB=72°，如圖，AOC=

7、30°，OA=AB÷sin36°=1.5÷sin36°2.55（cm） 畫法（1）以O(shè)為圓心，OA=2.55cm為半徑畫圓； （2）在O上順次截取邊長(zhǎng)為3cm的AB、BC、CD、DE、EA （3）分別連結(jié)AB、BC、CD、DE、EA 則正五邊形ABCDE就是所要畫的正五邊形，如圖所示二、鞏固練習(xí) 教材P115 練習(xí)1、2、3 P116 探究題、練習(xí)三、應(yīng)用拓展 例3在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn)C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個(gè)內(nèi)接于ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如

8、圖24-94的設(shè)計(jì)方案是使AC=8，BC=6 （1）求ABC的邊AB上的高h(yuǎn) （2）設(shè)DN=x，且，當(dāng)x取何值時(shí)，水池DEFN的面積最大？（3）實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點(diǎn)185的M處有一棵大樹，問(wèn)：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護(hù)大樹，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹 分析：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達(dá)式，再考慮最值的求法，初中階段，尤其現(xiàn)學(xué)的知識(shí)，應(yīng)用配方法求最值（3）的設(shè)計(jì)要有新意，應(yīng)用圓的對(duì)稱性就能圓滿解決此題 解：（1）由AB·CG=AC·BC得h=4.8 （2）h=且DN=x NF= 則S四

9、邊形DEFN=x·（4.8-x）=-x2+10x =-（x2-x） =- （x-）2- =-（x-2.4）2+12 -（x-2.4）20 -（x-2.4）2+1212 且當(dāng)x=2.4時(shí)，取等號(hào) 當(dāng)x=2.4時(shí)，SDEFN最大 （3）當(dāng)SDEFN最大時(shí)，x=2.4，此時(shí)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，在RtFEB中，EF=2.4，BF=3 BE=1.8 BM=1.85，BM>EB，即大樹必位于欲修建的水池邊上，應(yīng)重新設(shè)計(jì)方案 當(dāng)x=2.4時(shí)，DE=5AD=3.2，由圓的對(duì)稱性知滿足條件的另一設(shè)計(jì)方案，如圖所示:此時(shí)，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，這樣設(shè)計(jì)既滿足條件，又避開大樹四

10、、歸納小結(jié)1正多邊和圓的有關(guān)概念：2正多邊形的半徑、正多邊形的中心角、邊長(zhǎng)、正多邊的邊心距間的等量關(guān)系3畫正多邊形的方法4運(yùn)用以上的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題五、布置作業(yè)：練習(xí)冊(cè)P4952教學(xué)反思第三課時(shí)（練習(xí)課）內(nèi)容：練習(xí)冊(cè)P4952第四課時(shí)（講評(píng)課）內(nèi)容：練習(xí)冊(cè)P4952課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1如圖1所示，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O，則ADB的度數(shù)是（ ）A60° B45° C30° D225° (1) (2) (3) 2圓內(nèi)接正五邊形ABCDE中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)P，則APB的度數(shù)是（ ） A36° B60° C72° D108° 3若半徑為5cm的一段弧長(zhǎng)等于半徑為2cm的圓的周長(zhǎng)，則這段弧所對(duì)的圓心角為（ ） A18° B36° C72° D144° 二、填空題 1已知正六邊形邊長(zhǎng)為a，則它的內(nèi)切圓面積為_ 2在ABC中，ACB=90°，B=15°，以C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑的圓交AB于D，如圖2所示，若AC=6，則AD的長(zhǎng)為_ 3四邊形ABCD為O的內(nèi)接梯形，如圖3所示，ABCD，且CD為直徑，如果O的半徑等于r，C=60°，那圖中OAB的邊長(zhǎng)AB是_；OD