等差數(shù)列計(jì)算

1、P智I®教肓 mww.J lajlaoljain.ciTi 知識點(diǎn)撥等差數(shù)列的相關(guān)公式1三個重要的公式 通項(xiàng)公式：遞增數(shù)列：末項(xiàng)首項(xiàng)項(xiàng)數(shù)1公差，an a1 n 1 d遞減數(shù)列：末項(xiàng)首項(xiàng)項(xiàng)數(shù)1公差，an ai n 1 d回憶講解這個公式的時候可以結(jié)合具體數(shù)列或者原來學(xué)的植樹問題的思想，讓學(xué)生明白末項(xiàng)其實(shí)就是首項(xiàng)加上末項(xiàng)與首項(xiàng)的間隔個公差個數(shù)，或者從找規(guī)律的情況入手同時還可延伸出來這樣一個有用的公式：an am n m d , n m 項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)末項(xiàng) 首項(xiàng)公差+1jj *由通項(xiàng)公式可以得到：na.ajd 1*假設(shè)a.aj ； n aa.d 1假設(shè)aa.找項(xiàng)數(shù)還有一種配組的方法，其中運(yùn)

2、用的思想我們是常常用到的.譬如：找找下面數(shù)列的項(xiàng)數(shù)：4、7、10、13、L、40、43、46 ,分析：配組：4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、L、46、47、48，注意等差是 3 ,I jgr.那么每組有3個數(shù)，我們數(shù)列中的數(shù)都在每組的第1位，所以46應(yīng)在最后一組第1位，4到48有48 4 1 45項(xiàng)，每組3個數(shù)，所以共45“3 15組，原數(shù)列有15組.當(dāng)然還可以有其他的配組方法. 求和公式：和=首項(xiàng) 末項(xiàng)項(xiàng)數(shù)吃 對于這個公式的得到可以從兩個方面入手: 偲路 1) 1 2 3 L 98 99 1001 41004 4(2|> 羊9 4 23 4 98)4 L 4

3、 454 451) 101 50 5050共50個101思路2這道題目，還可以這樣理解:F智屋教肓mwivji擊jlaob古和 =1234 L 9899100+ 和100999897L321即， 和2 倍和101101101101L101101101(100 1) 100 2 101 505050(2)中項(xiàng)定理：對于任意一個項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均數(shù)，也等于首項(xiàng)與末項(xiàng)和的一半；或者換句話說，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù).譬如： 4 8 12 L 32 36 (4 36) 9 2 20 9 1800，題中的等差數(shù)列有 9項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第 5項(xiàng)的值是20，而和恰等于20 9

4、； 65 63 61 L 5 3 1(1 65) 33 2 33 33 1089，題中的等差數(shù)列有 33項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第17項(xiàng)的值是33,而和恰等于33 33 .目m 車?yán)}精講【例1】用等差數(shù)列的求和公式會計(jì)算下面各題嗎？I JkJ J 3 4 5 6 L 76 77 78 1 3 5 7 L 87 99 4 7 10 13 L 40 43 46【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】2星【題型】計(jì)算【解析】根據(jù)例1的結(jié)果知：算式中的等差數(shù)列一共有76項(xiàng)，所以：3 4 5 6 L 76 7778 (3 78)7623078算式中的等差數(shù)列一共有50項(xiàng)，所以：135 7 L 87 99(1 99)502

5、2500算式中的等差數(shù)列一共有15項(xiàng)，所以：4710 13 L 40 43 46(446)152 375|J、【答案】 30782500375【穩(wěn)固】1 28 9 10 9 82 1 ?！究键c(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2005年，希望杯，第三屆，四年級，二試【解析】1+2+3+3+2+1=n冷，所以原式=10 >10=100【答案】100【穩(wěn)固】1966、1976、1986、1996、2006這五個數(shù)的總和是多少 ？【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】1星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】 第一屆，華杯賽，初賽【解析】1986是這五個數(shù)的平均數(shù)，所以和=19865= 9930?！敬?/p>

6、案】9930【穩(wěn)固】計(jì)算：110+ 111+ 112+ + 126 =【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】 第四屆，走美杯，四年級,初賽【解析】原式(110 126) 17 22006【答案】2006【穩(wěn)固】計(jì)算下面結(jié)果.48 1216 L32 36656361 L 53 134 5L 99100【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】2星【題型】計(jì)算根據(jù)剛剛學(xué)過的求項(xiàng)數(shù)以及求和公式，項(xiàng)數(shù)【解析】等差數(shù)列的和(首項(xiàng)+末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)2項(xiàng)數(shù):(364)19; 和:(4 36)項(xiàng)數(shù):(651)1 33;和:(1 65)33(末項(xiàng)1802首項(xiàng))公差133 331089項(xiàng)數(shù):(100 3)198;

7、和:(3 100 985047【答案】180 1089f 5047用等差數(shù)列的求和公式會計(jì)算下面各題嗎？ 3 4 5 6 L 76 77 78 1 3 5 7 L 87 99 4 7 10 13 L 40 43 46【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】2星【解析】【穩(wěn)固】【題型】計(jì)算【答案】(1) 算式中的等差數(shù)列一共有 76項(xiàng)，所以：3(2) 算式中的等差數(shù)列一共有 50項(xiàng)，所以：(3) 算式中的等差數(shù)列一共有 15項(xiàng)，所以：46 L 76 77 78(3 78)762 30788799(110 13 L4043 4699) 502(4 46)1525002 375(1) 3078(2) 2500

8、(3)375計(jì)算以下一組數(shù)的和：105, 110, 115, 120,【難度】2星【穩(wěn)固】【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題，195, 200【題型】計(jì)算【解析】 根據(jù)等差數(shù)列求和公式，必須知道首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，這里首項(xiàng)是105，末項(xiàng)是200，但項(xiàng)數(shù)不知道.假設(shè)利用an印(n 1) d，可有n (a. aj d 1N智康教肓wwwJiajlM9>l?an.££im據(jù)此可先求出項(xiàng)數(shù)，再求數(shù)列的和.解：數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n (an aj d 1(200 105)5 195 5 120 故數(shù)列的和是：S (a1 爲(wèi))n 2(105 200) 20 2305 20 23050【答案】3050【穩(wěn)

9、固】聰明的小朋友們， PK 一下吧.465【難度】【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【解析】根據(jù)剛剛學(xué)過的求項(xiàng)數(shù)以及求和公式，項(xiàng)數(shù)等差數(shù)列的和首項(xiàng)+末項(xiàng)項(xiàng)數(shù)2【答案】【穩(wěn)固】項(xiàng)數(shù)：36項(xiàng)數(shù)：651804)1)巧算下題： 5000 2 4& 13 5 74 19; 和:2 1 33;和:(4 36)61末項(xiàng)180;9233 331089 32 363 1【題型】計(jì)算L 58 12 16 L632星首項(xiàng)公差1【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題111【解析】原式 5000(2L 981995(1 65) 332 10891001997 1999【難度】2星【題型】計(jì)算L 98100)5000 (2100) 50 2

10、 5000 2550 2450這一串加數(shù)可以組成首項(xiàng)為1、末項(xiàng)為1999，公差為2的等差數(shù)列,項(xiàng)數(shù) (19991)2 11000，原式(11999)1000 2 2000 1000 2 1000000【答案】24501000000【穩(wěn)固】12 3【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題20072022 2007【難度】1 2022【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】 第六屆，走美杯，四年級，初賽2022【解析】 觀察原式可知，1、2、32007分別可與2007、2006、20051組成2022,于是括號中有個2022，故原式結(jié)果為 2022?！敬鸢浮?022【穩(wěn)固】(2005200620072022 202220222022

11、)2022 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2022年，第6屆，希望杯，4年級，1試【解析】根據(jù)中項(xiàng)定理知：2005+2006+2007+2022+2022+2022+2022=20227,所以原式=2022 7X2022=7【答案】7【穩(wěn)固】計(jì)算：1 - 50+2 - 50+98 - 50+99 - 50=【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2022年，第7屆，希望杯，4年級，1試【解析】原式=(1234 5L 98 99) 50(199) 99 2 5099【答案】99【例2】計(jì)算：(1 35L19971999)-(2 46 L1996 1998

12、 400051015 L95100 99 198297396495594 693792891 990【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】(方法一)第一個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)1000,第二個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 999，禾U用求和公式得：(1 1999) 1000 2 (2 1998) 999 2 1000.(方法二)第一個括號內(nèi)共有 1000個數(shù)，第二個括號內(nèi)有 999個數(shù)把1除外，第一個括號 內(nèi)的各數(shù)依次比第二個括號里相應(yīng)的數(shù)大1，因此可簡捷求和.原式 1 (3 2) (5 4) L (1999 1998 l 1 1 L 1(共 1000 個 1) 1000通過觀察可知，題目中的減數(shù)可以組成

13、等差數(shù)列，所以，可先求這些減數(shù)的和，再從被減數(shù)中 減去這個和.4000 5 10 15 L 95 100 4000 (5 10 15 L 95 100) 4000 (5 100 (20 2)4000 1050 2950 .當(dāng)一個數(shù)連續(xù)減去幾個數(shù)，這些減數(shù)能組成等差數(shù)列時，可以先求這些 減數(shù)的和，再從被減數(shù)中減去這個和. 99 198 297 396 495 594 693 792 891 990100 1 200 2 300 3 L 1000 10100 200 300 L 1000 (12 3 L 10)(100 1000 10 2 (1 10) 10 25500 555445【答案】100

14、0 2950 5445【穩(wěn)固】計(jì)算(2 4 6 L 1984 1986 1988) (1 3 5 L 1983 1985 1987)【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】根據(jù)求項(xiàng)數(shù)公式可知兩個括號內(nèi)的算式都各有994項(xiàng)原式 (2 1) (4 3) L (2 1)(4 3 L (1988 1987) 1 zj 412 l4 I4 31 994994 個 1【答案】994【穩(wěn)固】計(jì)算：2007 2006 2005 2004 2003 2002 L 5 4 3 2 1【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2007年，第5屆，走美杯，3年級，決賽【解析】找規(guī)律并分組計(jì)

15、算如下：2007 2006 2005 2004 2003 2002 L 5 4 3 2 1 、"、'=2007 20062005 200420032002 L 5 43 21=1i+U2- L 4+1+12003 個=2004【答案】2004【穩(wěn)固】計(jì)算：(24 6 L 9698 100)(1 3 5 L 95 97 99) 1 3 4 6 7 9 10 12 13 L 66 67 69 70 ； 1000 999 998 997 996 995 L 106 105 104 103 102 101. 61 692 6993 69994 699995 6999996【考點(diǎn)】等差

16、數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 和式2 4 L 98 100, 13 5 L 97 99中的項(xiàng)成等差數(shù)列，從而可能想到先求和，再做減法這樣做，很自然，也比擬簡便，有其他更為簡便的解法嗎？再看題，你會冒出一個好Jr想法：運(yùn)用加減運(yùn)算性質(zhì)先做減法：2 1, 4 3 , 6 5 , L , 100 99，它們的差都等于1,然后，計(jì)算等于1的差數(shù)有多少個.由于題中1至100的全部偶數(shù)之和作為被減數(shù)， 奇數(shù)之和 為減數(shù)，所以，相鄰的奇偶數(shù)相減 (以大減小)，共得50個差數(shù)1，從而，原式(2 1( 4 3 L(98 97 (100 99) 50 .以把這個數(shù)列拆分為兩個數(shù)列1 4 7 10 1

17、3 L 67 70和3 6 9 12 L 66 69，對它們分別求和：原式(1 70 24 2 (3 69) 23 2 1680 ;此題也可以按照上題的方法做，但還有更簡便的方法，把式子中的減法都計(jì)算出來可以得到下式：1000 1 997 1 L 106 1 103 1 這是1000 997 L 106 103和1 1 L 1 1的組合，分別計(jì)算結(jié)果即可：原式 (1000 103300 2 1 300 165750原式(70 9(700 8(70007)(70000 6)(700000 5)(7000000 4)7777770(9 8 7 6 5 47777731【答案】 5016801657

18、507777731【穩(wěn)固】計(jì)算：(1 3 5 L2022) (2 4 6 L 2022【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】方法一：讓學(xué)生用等差數(shù)列求和公式分別計(jì)算前后兩局部，然后講方法二，這樣可以讓學(xué)生體會觀察數(shù)列規(guī)律，動腦思考的重要性.原式(1 2022 1005 2 (2 2022 1004 2 1005方法二：把括號去掉，兩兩結(jié)合，簡便計(jì)算.原式 1(32)(54)L(20222022)1 4 41S414 運(yùn)1 10051005 個 1【答案】1005【穩(wěn)固】計(jì)算：(2 4 6 L2022) (1 3 5 L 2007) 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算

19、【解析】方法一：等差數(shù)列求和.原式 (2 2022 1004 2 (1 2007) 1004 2 1004 方法二：把括號去掉，兩兩結(jié)合，簡便計(jì)算.原式 (2 D (4 3) L (2022 2007) 1 4 44L2 414 如1 1°°4 1004 個 1 I I r 才【答案】1004【穩(wěn)固】計(jì)算：2022 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 L 4 3 2 1 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】2星【題型】計(jì)算【解析】方法一：原式(2022 2007 2006 2005 (2004 2003 2002 2001 L (4 3 2 1)

20、1 44 2 4 令4 4 5022022502個 4方法二：原式 2022(20072006)(2005 2004(20032002)(2001 2000) L (5 4)(3 2)120221 1 11 L11 12022方法三：2022 2006200720052004 2002 L4 23 12，觀察到這一點(diǎn)就好辦了，改變原來的運(yùn)算順序不難發(fā)現(xiàn)每兩個數(shù)放在一起就是2,就等于說每一個數(shù)都看成1就N智康教肓 mwwrjl時古fttarn 行了，原式有2022項(xiàng)，所以最后答案就是 2022.(讓學(xué)生體會觀察數(shù)列規(guī)律動腦思考的重要性)【答案】2022【穩(wěn)固】計(jì)算：1 2 3 4 5 6 78

21、9 L 97 98 99.【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】原式(1 2 3)(4 5 6)(7 89) L(979899)0 3 69 L 96(3 96)(96 33 1 21584【答案】1584【例 3 】 計(jì)算：1.1 3.3 5.5 7.7 9.9 11.11 13.13 15.15 17.17 19.19 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【關(guān)鍵詞】第十三屆，迎春杯，試題【解析】原式 5.5 5 15.15 5(5.5 15.15)520.56 5 103.25【難度】2星【題型】計(jì)算【答案】103.25【例4】計(jì)算123L 1990Jkj J19901990 19901990【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】原式 1 2