空間向量的坐標

1、3.2.3.2.空間向量的坐標空間向量的坐標xyzkijQPO一、空間向量基本定理：空間向量基本定理：如圖，設如圖，設i, j, k是空間三個兩兩垂直的向量，且有公共是空間三個兩兩垂直的向量，且有公共起點起點O。對于空間任意一個向量。對于空間任意一個向量p=OP,設點設點Q為點為點P在在i, j所確定的平面上的所確定的平面上的正投影正投影，由平面基本定理可知，由平面基本定理可知，在在O,Q,k所確定的平面上，存在實數所確定的平面上，存在實數z，使得使得 OP=OQ+z k,而在而在i, j所確定的平面上，由平面向量基本定理所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序之前數對可知，存在有序之

2、前數對(x,y)，使得使得OQ=xi+yj.從而從而OP=OQ+zk=xi+yj+zk.xyzkijQPO如果如果I , j , k是空間三個兩兩垂直的向量，對空間是空間三個兩兩垂直的向量，對空間任一個向量任一個向量p，存在一個有序實數組使得，存在一個有序實數組使得 p=xi+yj+zk.xi,yj,zk為向量為向量p在在i, j, k上的分向量。上的分向量。系數系數x,y,z由向量由向量p唯一確定唯一確定思考：思考：在空間中，如果用任意三個不在空間中，如果用任意三個不共面向量共面向量a,b,c代替兩兩垂直的向量代替兩兩垂直的向量i,j,k,能得能得到類似的結論嗎？到類似的結論嗎？空間向量基本

3、定理：空間向量基本定理：如果三個向量如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量不共面，那么對空間任一向量p,存在有序存在有序實數組實數組x,y,z,使得使得p=xa+yb+zc.空間所有向量的集合空間所有向量的集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zRa,b,c叫做空間的一個叫做空間的一個基底基底，a,b,c都叫做都叫做基向量?；蛄?。二、空間直角坐標系二、空間直角坐標系 單位正交基底：單位正交基底：如果空間的組個基底的如果空間的組個基底的三個基向量互相垂直，且長都為三個基向量互相垂直，且長都為1，則這組，則這組基底叫做單位正交基底，常用基底叫做單位正交基底，常用 i , j , k 表

4、表示示 空間直角坐標系：空間直角坐標系：在空間選定一點在空間選定一點O和一和一組單位正交基底組單位正交基底 i、j、k 。以點。以點O為原點，為原點，分別以分別以i、j、k的正方向建立三條數軸：的正方向建立三條數軸：x軸、軸、y軸、軸、z軸，它們都叫做坐標軸軸，它們都叫做坐標軸.這樣就建立了這樣就建立了一個空間直角坐標系一個空間直角坐標系O-xyz 點點O叫做原點，向量叫做原點，向量I、j、k都叫做坐標向量都叫做坐標向量.通通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面。過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面。 在空間直角坐標系在空間直角坐標系O-xyz中，對空間任一點，中，對空間任一點，A,對應一個向量對應一

5、個向量OA，于是存在唯一的有序實數，于是存在唯一的有序實數組組x,y,z，使，使 OA=xi+yj+zk 在單位正交基底在單位正交基底i, j, k中與向量中與向量OA對應的有對應的有序實數組序實數組(x,y,z)，叫做，叫做點點A在此空間直角坐標系中在此空間直角坐標系中的坐標，記作的坐標，記作A(x,y,z)，其中，其中x叫做點叫做點A的橫坐標，的橫坐標，y叫做點叫做點A的縱坐標，的縱坐標，z叫做點叫做點A的豎坐標的豎坐標.三、向量的直角坐標運算三、向量的直角坐標運算. .111222( , , ),( , , )ax y z bx y z設設則則121212(,);a bx x yy zz

6、 121212(,);a bx x yy zz 111(,)();axyzR 1 2121 2;a bx xy yz z 121212/,()a bxx yy zzR1 2121 20.abx xy yz z設設A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 則則AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一個向量在直角坐標系中的坐標等于表一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標點的坐標. . 空間向量坐標運算法則，關鍵是注意空空間向量坐標運算法則，關鍵

7、是注意空間幾何關系與向量坐標關系的轉化，為此在間幾何關系與向量坐標關系的轉化，為此在利用向量的坐標運算判斷空間幾何關系時，利用向量的坐標運算判斷空間幾何關系時，首先要選定單位正交基，進而確定各向量的首先要選定單位正交基，進而確定各向量的坐標。坐標。二、距離與夾角二、距離與夾角2222111| aa axyz2222222| bb bxyz1.1.距離公式距離公式（1 1）向量的長度（模）公式）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。角線的長度。|ABABABAB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxy

8、yzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空間直角坐標系中，已知、在空間直角坐標系中，已知、，則，則111(,)A xyz222(,)B xyz（2 2）空間兩點間的距離公式）空間兩點間的距離公式終點坐標減終點坐標減起點坐標起點坐標cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2.2.兩個向量夾角公式兩個向量夾角公式注意：注意：（1）當）當 時，同向；時，同向；（2）當）當 時，反向；時，反向；（3）當）當 時，。時，。cos,1 a b與 abcos,1 a b與 abcos,0 a bab思考：當思考：當 及及 時

9、，的夾角在什么范圍內？時，的夾角在什么范圍內？1cos,0 a b,10cos a b三、應用舉例三、應用舉例例例1已知、，求：已知、，求：（1）線段的中點坐標和長度；）線段的中點坐標和長度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：設是的中點，則解：設是的中點，則(, )M xy zAB113()(3,3,1)1,0,52,3 ,222 OMOAOB點的坐標是點的坐標是.M32,32222,(13)(03)(5 1)29 .A BdOABM（2）到兩點距離相等的點的）到兩點距離相等的點的坐標滿足的條件。坐標滿足的條件。 、AB(, )P xy z,xy z解：點到的距離相等，則解：點到的距離相

10、等，則(, )P xy z 、AB222222(3)(3)(1)(1)(0)(5),xyzxyz化簡整理，得化簡整理，得46870 xyz即到兩點距離相等的點的坐標滿即到兩點距離相等的點的坐標滿足的條件是足的條件是 、AB(, )xy z46870 xyz例例2如圖，在正方體中，如圖，在正方體中，求與所成的角的余弦值。，求與所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：設正方體的棱長為解：設正方體的棱長為1，如圖建，如圖建立空間直角坐標系，則立空間直角坐標系，則Oxyz13(1,1,0) ,1,1 ,4BE

11、11(0,0,0) ,0, 1 .4，DF1311,1(1,1,0)0,1 ,44BE 例例2如圖，在正方體中，如圖，在正方體中，求與所成的角的余弦值。，求與所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCxyzO1110, 1(0,0,0)0, 1 .44 ，DF111115001 1,4416 BEDF111717|, |.44 BEDF111111151516cos,.171717| |44 BEDFBEDFBEDF例題講解：例題講解：例例4、如圖，、如圖，M，N分別是四面體分別是四面體OABC的邊的邊OA，BC的

12、中點，的中點，P，Q是是MN的三等分點。用向量的三等分點。用向量OA，OB，OC表示表示OP和和OQ。BANCOMQP1.已知線段已知線段 、在平面、在平面 內，線段內，線段，如果，求、之間的距離，如果，求、之間的距離.ABBD BDAB AC ,ABaBDbACcCDcab CABD解：解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabc2.已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于 ，點分別是邊的中點。，點分別是邊的中點。求證：。求證：。ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCDNMABDC證明：因為證明：因為MNMAADDN 所以所以22()110022ABMNABMAADDNABMAABADABDNaa MNAB同理，同理，MNCD 3.已知空間四邊形已知空間四邊形