非實驗室環(huán)境下的大學(xué)物理實驗之二利用家中自制的三線扭擺測物體的轉(zhuǎn)動慣量

1、湖南大學(xué)物理實驗中心圖1三線扭擺原理示意圖非實驗室環(huán)境下的大學(xué)物理實驗之二利用家中自制的三線扭擺測物體的轉(zhuǎn)動慣量實驗?zāi)康?. 學(xué)習(xí)測量物體轉(zhuǎn)動慣量的一種簡便方法一一三線扭擺法。2. 通過實驗加深對轉(zhuǎn)動慣量、機(jī)械能守恒定律、簡諧振動等概念和理論的理解。3. 學(xué)習(xí)如何利用手機(jī) App對物理量進(jìn)行定量測量。實驗原理轉(zhuǎn)動慣量是物體在轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度，它與物體的總質(zhì)量、形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置等有關(guān)，測量物體轉(zhuǎn)動慣量的大小有很重要的實用價值和研究意義。例如，飛輪設(shè)計、 發(fā)動機(jī)葉片設(shè)計乃至炮彈飛行、導(dǎo)彈和衛(wèi)星的外型設(shè)計、分子運動的研究等，都需要有轉(zhuǎn)動慣量的數(shù)據(jù)。測量物體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量有很多方法，

2、本實驗所采用的三線扭擺法簡便易行，對復(fù)雜形狀的物體也可進(jìn)行測量。Phyphox是一個利用手機(jī)傳感器收集各種物理量數(shù)據(jù)的App。我們?nèi)粘Ｊ褂玫闹悄苁謾C(jī)中集成了大量的傳感器，力學(xué)（加速度、旋轉(zhuǎn)速度等）、磁學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、定位等等，可以提供非常豐富的測量功能。類似的App還有很多。三線扭擺的運動原理如圖 1所示。上面的圓盤水平固定，下面的圓盤A通過懸線懸掛在上盤的邊緣，圓盤 A可以轉(zhuǎn)動或擺動。 三根懸線的長度均為I，且懸線在上盤與下 盤的懸掛點均在正三角形的頂點上，因此 圓盤A也是水平的，且兩個圓盤圓心的連 線00是鉛垂線。當(dāng) A盤繞00軸作純粹 的轉(zhuǎn)動時，如果轉(zhuǎn)角較小，這個運動是一 個簡諧振動。圓

3、盤A的運動周期Ta與它的 轉(zhuǎn)動慣量Ja的大小有關(guān)，這里Ja是指A盤 繞通過圓心并垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣 量。如果在A上放置另一物體 B，它的轉(zhuǎn) 動周期就會發(fā)生變化，A+B的運動周期與 轉(zhuǎn)動慣量Ja+b有關(guān)。在轉(zhuǎn)軸明確重合的條 件下，Ja+b = Ja + Jb，所以可通過測定運動 周期來求B的轉(zhuǎn)動慣量。下面簡單推導(dǎo)一下物體轉(zhuǎn)動慣量與簡諧運動周期的關(guān)系。先考慮圓盤A單獨存在的情形。設(shè) A盤的質(zhì)量為mA，其懸線點到圓心的距離為R,上盤懸線點到其圓心的距離為r，懸線長為I?，F(xiàn)將A盤繞00 '軸轉(zhuǎn)過一小角度 0,如圖1所示，則A盤將升高h(yuǎn)。通過簡單的幾何關(guān)系，我們可以得到:h； = I2 -

4、 (R- r)2, h； = l2 - (R2 + r2 - 2Rrcos0)如果0很?。?<5° ,貝U h1 + h221，所以有h = h1 - h2 = hl - h2 = -Rr （1- cos e） h1 + h2l若忽略空氣阻力及擺線彈性的影響，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即盤1 Ja w2 + 1 mAv2 + mA gh = const2 2（1）A在任一位置滿足野-I?ddt(1- COS B)? = ”？sin e?- = -ir ®sin e? ldt lRrTce式中w是A的角速度（w = d edt）, v是盤A垂直升降的速度。因為湖南大學(xué)物理實驗

5、中心湖南大學(xué)物理實驗中心而l遠(yuǎn)大于R和r，故v可忽略。所以有-Ja w2 + mA gh = const2對（2）式求導(dǎo)，可得：湖南大學(xué)物理實驗中心即:,d wd h 小J a W+ mAg= 0dtdtd2 e汗 Ja d e.d ed2 eJA2dt dt2+ rmAg巴=0 dtmAg dh可得：煜晉Sin e" e將(1)式對e求導(dǎo)，把結(jié)果代入上式,d2 e(3)這是一個簡諧振動方程，圓頻率和周期分別為2 mAgRrW = JaI '24n2Ta4也。所以,wamugRr圓盤A的轉(zhuǎn)動慣量為:J =mAgRr?T24 n l測出轉(zhuǎn)動周期，我們就可以根據(jù)上式計算轉(zhuǎn)動慣量。

6、 如在A上放置另一物體 B，使A、B 一起繞(4)00'轉(zhuǎn)動，則I(mA + mB)gRrT2JAB ="2T AB4n2l因此有：Jb = Jab - Ja注意，這樣得到的轉(zhuǎn)動慣量 Jb，其轉(zhuǎn)軸應(yīng)位于將 B放置于A盤上時中心線 OO所在的 位置，放置位置或方式不同，結(jié)果是不一樣的。(5)(6)實驗操作1. 利用一般家庭中廚房里的常用物品，制作一個三線擺，如圖2所示。制作時應(yīng)盡量保證上、下各三個懸線點位于正三角形的頂點上，三根線等長，越準(zhǔn)確誤差越小。2. 掛好三線扭擺，上盤固定不動（可加一重物壓?。?。打開手機(jī) App"Phyphox”，選擇應(yīng)用"Gyros

7、cope”，按兩下"？ ”鍵（此時手機(jī)已經(jīng)開始記錄數(shù)據(jù)），然后把手機(jī)平放在下盤的中間位置。穩(wěn)住圓盤不動，再將圓盤轉(zhuǎn)動一個小角度后放手（小于5°）,圓盤的轉(zhuǎn)動將是一個簡諧振動。注意，讓圓盤轉(zhuǎn)起來的時候盡量保證是一個純粹的轉(zhuǎn)動，不要有“擺動”的 成分。3. 我們可以觀察到手機(jī)屏幕上的數(shù)據(jù)曲線，其中繞Z軸的部分是一個很好的正弦曲線（略有阻尼）。經(jīng)過數(shù)十個周期的運動后， 數(shù)據(jù)記錄量夠了，圖2湖南大學(xué)物理實驗中心湖南大學(xué)物理實驗中心再進(jìn)行下一步。4. 將一個待測物體放在手機(jī)上（例如一個水杯，將水杯的中心盡量對準(zhǔn)圓盤的中心），過程中不要動手機(jī)，讓它繼續(xù)記錄下去。我們會發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在的數(shù)據(jù)曲線

8、周期變了。記錄數(shù)十個周期后，停止測量。數(shù)據(jù)曲線如圖3所示，底部的曲線是繞 Z軸的運動數(shù)據(jù)（角速度），曲線的 前半截是未加水杯的結(jié)果，后半截是加了水杯之后的結(jié) 果。5. 導(dǎo)出數(shù)據(jù)。點擊右上方的“?，在菜單欄中選擇“ Export Data ”，然后將數(shù)據(jù)以Excel或其他格式傳輸出去，然后在電腦上處理數(shù)據(jù)。6. 用彈簧秤體重秤之類的工具稱量 “圓盤A +手機(jī)” 的質(zhì)量mA，物體B的質(zhì)量mB。也可去超市一類的地方 請別人代為稱量。7. 用卷尺測量上盤、下盤懸線點到圓心的距離，分 別為r、R,懸線的長度I。 g取10 （或從Phyphox中獲0.0020.040.0tfsl更 5.001 0.003'5.00zooLQ0 lOO -1.0020.00.00t <e40. Dw.rO.dC 2O.d 40.0 M.t t筒更1言7 Vo口湖南大學(xué)物理實驗中心圖4得）。數(shù)據(jù)處理1. 打開Origin，將待處理的數(shù)據(jù)導(dǎo)入。2. 我們只需要考慮繞 Z軸的部分。選擇Z軸數(shù)據(jù)，畫出其“折線圖”（不要畫散點圖或 點線圖）。3. 先確定Ta。定位前半截曲線第一個周期的頂點，記下其橫坐標(biāo)（時間t1），再定位最后一個周期的頂點，記下其橫坐標(biāo)t2,數(shù)一下中間有多少個周期 n。則Ta = （t1 - t2）/n，如圖4所示。4. 再確定Tab。在曲線后半截進(jìn)行同 樣的操作，可以得到 T