第九講培優(yōu)競賽垂直平分線與角平分線輔導(dǎo)題

1、第 7 頁 共 頁第九講 全等三角形培優(yōu)競賽線段的垂直平分線與角平分線一、線段垂直平分線1、線段垂直平分線的性質(zhì)（1）線段的對稱軸是 （2）垂直平分線性質(zhì)定理： 定理的幾何符號表示：如圖1 2、線段垂直平分線判定定理：定理的幾何符號表示：如圖1， 定理的作用：證明一個點在某線段的垂直平分線上.3、關(guān)于三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)（1）三角形三邊的垂直平分線 ，并且這一點到 的距離相等.（2）三角形三邊垂直平分線的交點位置與三角形形狀的關(guān)系：若三角形是銳角三角形，則它三邊垂直平分線的交點在三角形 ；若三角形是直角三角形，則它三邊垂直平分線的交點是 ；若三角形是鈍角三角形，則它三邊垂直平分線的交點在

2、三角形 .經(jīng)典例題：BCDEA例1如圖1，在ABC中，BC8cm，AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E，BCE的周長等于18cm，則AC的長等于（）A6cm B8cmC10cm D12cmB針對性練習(xí)：已知：1)如圖，AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，如果EBC的周長是24cm，那么BC= 2) 如圖，AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，如果BC=8cm，那么EBC的周長是 3） 如圖，AB=AC,AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，如果A=28度，那么EBC是 CBOAN例2. 已知：在ABC中，ON是AB的垂直平

3、分線,OA=OC 求證：點O在BC的垂直平分線 B針對性練習(xí)：已知如圖，在ABC中，AB=AC，O是ABC內(nèi)一點，且OB=OC，求證：AO垂直平分BC. 例3. 在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與邊AC所在的直線相交所成銳角為50°，ABC的頂角B的大小為_。B針對性練習(xí)：在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在直線相交所得的銳角為40°，則底角B的大小為_。例4、如圖8，已知AD是ABC的BC邊上的高，且C2B，求證：BDACCD.針對性練習(xí)：1.如圖，AC=AD，BC=BD，則（ ）A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分ACB D.以

4、上結(jié)論均不對2.如果三角形三條邊的中垂線的交點在三角形的外部，那么這個三角形是（ ）A.直角三角形B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等邊三角形3.下列命題中正確的命題有（ ）線段垂直平分線上任一點到線段兩端距離相等；線段上任一點到垂直平分線兩端距離相等；經(jīng)過線段中點的直線只有一條；點P在線段AB外且PA=PB，過P作直線MN，則MN是線段AB的垂直平分線；過線段上任一點可以作這條線段的中垂線.A.1個B.2個C.3個D.4個4.ABC中，AB的垂直平分線交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么DBC的周長是（ ）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm5、如圖7，在ABC中

5、，AC23，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，ACE的周長為50，求BC邊的長.6、求證：等腰三角形兩腰中線的交點在底邊的垂直平分線上.二、角的平分線1.角平分線的性質(zhì)定理：角是一個軸對稱圖形，它的對稱軸是 .角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到 的距離相等. 定理幾何符號表示：如圖4， 定理的作用：證明兩條線段相等；用于幾何作圖問題；2、角平分線的判定定理：角平分線的判定定理：在角的內(nèi)部，且 的點在這個角的角平分線上. 定理的幾何符號表示:如圖5 定理的作用：用于證明兩個角相等或證明一條射線是一個角的角平分線 3、關(guān)于三角形三條角平分線的定理：（1）關(guān)于三角形三條角平分線交點的定理

6、：三角形三條角平分線 ，并且這一點到 的距離相等.定理的作用：用于證明三角形內(nèi)的線段相等；用于實際中的幾何作圖問題.（2）三角形三條角平分線的交點位置與三角形形狀的關(guān)系：三角形三個內(nèi)角角平分線的交點一定在三角形的 .4、關(guān)于線段的垂直平分線和角平分線的作圖：（1）會作已知線段的垂直平分線； （2）會作已知角的角平分線；（3）會作與線段垂直平分線和角平分線有關(guān)的簡單綜合問題的圖形.經(jīng)典例題：例1 已知：如圖，點B、C在A的兩邊上，且AB=AC，P為A內(nèi)一點，PB=PC， PEAB，PFAC，垂足分別是E、F。 求證：PE=PFB針對性練習(xí)：*已知,BD平分ABC,ABAD于A,BC=2AB,求證

7、BD=DC。 例2、如圖10，已知在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，E為BC中點，連接AE、DE，DE平分ADC，求證：AE平分BAD.B針對性練習(xí)：BACPNM1、*已知： AP、CP分別是ABC外角MAC和NCA平分線，它們交于PD，作BM于D，PFBN于F，求證：BP為MBN的平分線。2、ABC的外角ACD與內(nèi)角ABC平分線CP，BP交于點P,若BPC=40度,則CAP= 度【實戰(zhàn)模擬】培優(yōu)競賽訓(xùn)練一、選擇題：1. 如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A、ABC的三條中線的交點B、ABC三邊的中垂線的交

8、點 C、ABC三條角平分線的交點D、ABC三條高所在直線的交點2. 在中，平分，交于點，若，且，則點到的距離為（ ） A. 18B. 16C. 14D. 123、如圖，直線表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要修建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離都相等，則可供選擇的地址有（ ）A. 一處B. 兩處C. 三處D. 四處 4、 如圖，中，點為的三條角平分線的交點，點分別是垂足，且，則點到三邊的距離分別等于（ ） A. 2、2、2B. 3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、55、如圖，直線CP是AB的中垂線且交AB于P，其中AP=2CP甲、乙兩人想在AB上取兩點D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作ACP、BCP之角平分線，分別交AB于D、E，則D、E即為所求；（乙）作AC、BC之中垂線，分別交AB于D、E，則D、E即為所求 對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確（）A、兩人都正確B、兩人都錯誤 C、甲正確，乙錯誤D、甲錯誤，乙正確二、填空題1. ABC中，AB=AC，AC的中垂線交AB于E，EBC的周長為20cm，AB=2BC，則腰長為_。2. 如圖所示，AB/CD，O為A、C的平分線的交點，OEAC于E，且OE=2，則AB與CD之間的距離等于_。三、解答題1.已知：如圖，B=C=900，DM平分ADC， AM平分DAB 。求證： M B=MC2、如圖，