平行四邊形輔助線

1、平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：（1）連對(duì)角線或平移對(duì)角線：（2）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.第一類：連結(jié)對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化

2、成兩個(gè)全等三角形。例 1 如左下圖1，在平行四邊形ABCD 中，點(diǎn) E, F 在對(duì)角線 AC 上，且 AECF ,請(qǐng)你以 F 為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結(jié) BF BFDE證明：連結(jié)DB,DF ,設(shè) DB, AC 交于點(diǎn) O四邊形 ABCD 為平行四邊形 AOOC,DO OBAE FCAO AEOC FC即 OEOF四邊形 EBFD 為平行四邊形 BFDEDCDCFOOEABABE圖 1圖2第二類：平移對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例 2 如右圖 2，在平行四邊形 ABCD 中，對(duì)角線 AC 和 BD 相

3、交于點(diǎn) O，如果 AC12 ，BD 10， ABm ，那么 m 的取值范圍是（）A 1 m 11B 2m 22C10 m 12D 5 m 6解：將線段 DB 沿 DC 方向平移，使得 DBCE ,DCBE ,則有四邊形 CDBE 為平行四邊形 ,在 ACE中, AC12, CEBD10, AE2 AB 2m 12 10 2m12 10，即 22m 22解得 1m 11故選 A第三類：過(guò)一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問(wèn)題。例 3 已知：如左下圖3，四邊形ABCD 為平行四邊形求證： AC 2BD 2AB 2BC 2CD 2DA 2證明：過(guò) A, D 分別作 AEBC于

4、點(diǎn) E， DFBC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) FAC2AE 2CE 2AB2BE 2(BC BE)2AB 2BC 22BE BCBD 2DF 2BF 2(CD 2CF 2)(BCCF)2CD 2BC 22BC CF則 AC2BD 2AB 2BC 2CD 2DA 22BCCF2BC BE四邊形ABCD 為平行四邊形 ABCD且 ABCD, ADBCABCDCFAEBDFC900ABEDCFBE CFAC2BD 2AB 2BC 2CD 2DA 2CED1D3APF2BECFBAK圖3圖 4第四類：延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例 4：已知：如右上圖 4，在正方形 ABCD 中， E, F

5、分別是 CD 、 DA 的中點(diǎn)， BE 與 CF 交于 P 點(diǎn)，求證： AP AB證明：延長(zhǎng) CF 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K四邊形 ABCD 為正方形 ABCD且 AB CD, CDAD ,BADBCDD 900 1K又DDAK900 ,DFAF CDF KAF AKCDAB CE1 CD, DF1 AD CEDF22 BCDD 900BCE CDF 121390023900CPB900,則KPB900 AP AB第五類：延長(zhǎng)一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例 5 如左下圖 5，在平行四邊形 ABCD 中，點(diǎn) E 為邊 CD 上任一點(diǎn)，請(qǐng)你在該圖基礎(chǔ)上， 適當(dāng)添加

6、輔助線找出兩對(duì)相似三角形。解：延長(zhǎng) AE 與 BC 的延長(zhǎng)線相交于F ，則有 AED FEC , FAB FEC , AED FABAADDENOFBCFBE圖6C圖5第六類：把對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線例 6已知：如右上圖6，在平行四邊形ABCD 中， ANBN ,BE1BC,NE3交BD于F ，求 BF:BD解：連結(jié) AC 交 BD 于點(diǎn) O ,連結(jié) ON四邊形 ABCD 為平行四邊形 OAOC,OBODBD2 ANBNON 1BC且ON1 BC BEBF22ONFO BE1 BCBE:ON2 : 3 BF23FO3 BF2BF:BD1 : 5BO5綜上所述，平行四邊形中常

7、添加輔助線是：連對(duì)角線，平移對(duì)角線，延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線等，這樣可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形（或特殊三角形） 、矩形（梯形）等圖形，為證明解決問(wèn)題創(chuàng)造條件。課堂練習(xí)1、如圖，已知 ABC 是等邊三角形， D、 E 分別在 BC 、AC 上，且 CD=CE ，連結(jié) DE 并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使 EF=AE ，連結(jié) AF 、 BE 和 CF。（ 1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，用符號(hào)“”表示，并加以證明；（ 2）判斷四邊形 ABDF 是怎樣的四邊形，并說(shuō)明理由；（ 3）若 AB=6 ， BD=2DC ，求四邊形 ABEF 的面積。2、如圖，在矩形1ABCD 中， E、F 分別是 AD 、 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) G、H 在 DC 邊上，且 GH= DC 。2若 AB=10 ， BC=12 ，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)。3、如圖， E、 F 分別是平行四邊形 ABCD 對(duì)角線 BD 所在直線上兩點(diǎn)， DE=BF ，請(qǐng)你以 F 為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等。（只需研究一組線段相等即可）。（ 1）連結(jié) _ ；（ 2）猜想： _；（ 3）證明：（說(shuō)明：