平行四邊形輔助線

1、平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5）過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.第一類：連結(jié)對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化

2、成兩個全等三角形。例 1 如左下圖1，在平行四邊形ABCD 中，點 E, F 在對角線 AC 上，且 AECF ,請你以 F 為一個端點，和圖中已標(biāo)明字母的某一點連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結(jié) BF BFDE證明：連結(jié)DB,DF ,設(shè) DB, AC 交于點 O四邊形 ABCD 為平行四邊形 AOOC,DO OBAE FCAO AEOC FC即 OEOF四邊形 EBFD 為平行四邊形 BFDEDCDCFOOEABABE圖 1圖2第二類：平移對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例 2 如右圖 2，在平行四邊形 ABCD 中，對角線 AC 和 BD 相

3、交于點 O，如果 AC12 ，BD 10， ABm ，那么 m 的取值范圍是（）A 1 m 11B 2m 22C10 m 12D 5 m 6解：將線段 DB 沿 DC 方向平移，使得 DBCE ,DCBE ,則有四邊形 CDBE 為平行四邊形 ,在 ACE中, AC12, CEBD10, AE2 AB 2m 12 10 2m12 10，即 22m 22解得 1m 11故選 A第三類：過一邊兩端點作對邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。例 3 已知：如左下圖3，四邊形ABCD 為平行四邊形求證： AC 2BD 2AB 2BC 2CD 2DA 2證明：過 A, D 分別作 AEBC于

4、點 E， DFBC 的延長線于點 FAC2AE 2CE 2AB2BE 2(BC BE)2AB 2BC 22BE BCBD 2DF 2BF 2(CD 2CF 2)(BCCF)2CD 2BC 22BC CF則 AC2BD 2AB 2BC 2CD 2DA 22BCCF2BC BE四邊形ABCD 為平行四邊形 ABCD且 ABCD, ADBCABCDCFAEBDFC900ABEDCFBE CFAC2BD 2AB 2BC 2CD 2DA 2CED1D3APF2BECFBAK圖3圖 4第四類：延長一邊中點與頂點連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例 4：已知：如右上圖 4，在正方形 ABCD 中， E, F

5、分別是 CD 、 DA 的中點， BE 與 CF 交于 P 點，求證： AP AB證明：延長 CF 交 BA 的延長線于點K四邊形 ABCD 為正方形 ABCD且 AB CD, CDAD ,BADBCDD 900 1K又DDAK900 ,DFAF CDF KAF AKCDAB CE1 CD, DF1 AD CEDF22 BCDD 900BCE CDF 121390023900CPB900,則KPB900 AP AB第五類：延長一邊上一點與一頂點連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例 5 如左下圖 5，在平行四邊形 ABCD 中，點 E 為邊 CD 上任一點，請你在該圖基礎(chǔ)上， 適當(dāng)添加

6、輔助線找出兩對相似三角形。解：延長 AE 與 BC 的延長線相交于F ，則有 AED FEC , FAB FEC , AED FABAADDENOFBCFBE圖6C圖5第六類：把對角線交點與一邊中點連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線例 6已知：如右上圖6，在平行四邊形ABCD 中， ANBN ,BE1BC,NE3交BD于F ，求 BF:BD解：連結(jié) AC 交 BD 于點 O ,連結(jié) ON四邊形 ABCD 為平行四邊形 OAOC,OBODBD2 ANBNON 1BC且ON1 BC BEBF22ONFO BE1 BCBE:ON2 : 3 BF23FO3 BF2BF:BD1 : 5BO5綜上所述，平行四邊形中常

7、添加輔助線是：連對角線，平移對角線，延長一邊中點與頂點連線等，這樣可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形（或特殊三角形） 、矩形（梯形）等圖形，為證明解決問題創(chuàng)造條件。課堂練習(xí)1、如圖，已知 ABC 是等邊三角形， D、 E 分別在 BC 、AC 上，且 CD=CE ，連結(jié) DE 并延長至點F，使 EF=AE ，連結(jié) AF 、 BE 和 CF。（ 1）請在圖中找出一對全等三角形，用符號“”表示，并加以證明；（ 2）判斷四邊形 ABDF 是怎樣的四邊形，并說明理由；（ 3）若 AB=6 ， BD=2DC ，求四邊形 ABEF 的面積。2、如圖，在矩形1ABCD 中， E、F 分別是 AD 、 BC 的中點，點 G、H 在 DC 邊上，且 GH= DC 。2若 AB=10 ， BC=12 ，則圖中陰影部分的面積為_。3、如圖， E、 F 分別是平行四邊形 ABCD 對角線 BD 所在直線上兩點， DE=BF ，請你以 F 為一個端點，和圖中已標(biāo)明字母的某一點連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等。（只需研究一組線段相等即可）。（ 1）連結(jié) _ ；（ 2）猜想： _；（ 3）證明：（說明：