教案：第二講(摩擦角)

1、單位：綜采二隊(duì)授課時(shí)間2012年7月5日2014級高一物理競賽培訓(xùn)第一講摩擦角（兩課時(shí)）頁腳內(nèi)容5高一物理組郭金朋，摞南縣力學(xué)中的一個(gè)竟薨幅金，在工蠢力挈中有廣 田應(yīng)田.在存中物理教學(xué)中，一般不分蝌摩擦用這個(gè)概念, 也他在蜀埋克費(fèi)中，靈式詔用犀探用的期認(rèn)，可以巧妙地帚 央有關(guān)常擦半所的一類問題下面就厚排住的相關(guān)概念種立用作荷甲一介甲1摩爆角的招美概念全反力：司悻助受的士 限力與廉暮力的合力.圖 中的F就墾全反力，V為 梅體普受的正壓力.為廉 援力海動單蟹仍：物體曼笊 曲磨需力作用時(shí)，正壓力與 望反力的夷岫，匝中的料 武矮將咕庠爆角一«I J1 -1林一:LM：- tan 取說明:接觸

2、面一定，動 率股區(qū)數(shù)的一起.滑動犀制如國3明示.有一長為L.甯k G的超用地切料 看律在登上的機(jī)轅的壁上，開端與堵壁間的摩擦 因救方尸,H屆用 強(qiáng)度足夠大且不可撲仗的第懸往，制的 另一弟底定在城攜上的C點(diǎn)，木桿處于水平狀態(tài),黑和桿 夾角為8“）求稈能即持水平時(shí)挈和4應(yīng)強(qiáng)足的條件i彳門若杼保持平觸狀急時(shí),在抨上某一他圉內(nèi),君娃任 康量的物便不能蔽壞肝的平黃狀態(tài).而在這個(gè)范用以 外加當(dāng)兔物的血量網(wǎng)其大時(shí)，期可以使平后破耳，成出 這個(gè)葩苗一振南審就確定，靜用攆曲;唬體爻部摩 擦力等用麓,正壓力與全反 力的夬角.國二中的弱就是 沖摩餐由一最大群阜集角:物體受最大爵犀擦力作用國.正壓力與 全反力的施加法

3、2申的樂a就易最土部提巾制1第卷L用一鴕物體平窗條件求解.受力如圖4 8f示. 想抿杵處于串盤聯(lián)窸富上Sf = 0rS>< =但圖不It重物時(shí)而=0甫十"燈hDG,，化即 Miajifl.（?；在門）的條件下.時(shí)任青的。度，格法要平帝，心霸京D3即范雨為Wn小茸工解甚2：用摩撩帝解，。）不棒腐折桿牌保持水平時(shí)，要求全反力.編子強(qiáng)力, 了熊力，三力作用甥相交于一點(diǎn)，受力如圖5所系,F為 反力.有srW%*/i,w 貶的-。k境上的2r點(diǎn)，語. L - J)tai6cofni= d,(0說明:握觸面一定率接因數(shù)用一定.最大忤摩捧曲導(dǎo)解£1.（與式存=t*82 * 1

4、故地里為jUCOCo f 1小琴:如果乃用摩舞角處理嵬春串百關(guān)屋霰學(xué)所的問 圾,往柱軍收耳意強(qiáng)不到的效果，它回世畏化愛力.院化方 程,根高郵決何題的效率.（收超H用:和10l（E M）f2）崎星平衙時(shí).受力如圖6所示，三力忤用跳程交于1、“千斤頂”中的學(xué)問【例U在固定的斜面上放一物體，并對它施加一豎直向下的壓力，物體與斜面間的摩擦因數(shù)為祖。求斜面傾角9的最大值，使得當(dāng)9<9m時(shí)，無論豎直向下的壓力有多大，物體也不會滑下。分析：如圖，物體受四個(gè)力，重力和壓力的合力為G+F,靜摩擦力電斜面支持力Fn。將G+F分解為R和區(qū)根據(jù)平衡條件得Fn=F2=(G+F)coseE=F1=(G+F)sin8

5、物體不會滑下的條件是E小于最大靜摩擦力Fm,而Fm=nFn,從而有:(G+F)sinO<(G+F)cosO化簡得0Cretann所以只要0Cretann,無論F有多大，物體也不會滑下。說明：“千斤頂”螺旋實(shí)際可以看作是tan的彎曲斜面。2、推力的極大值(自鎖)【例2】在機(jī)械設(shè)計(jì)中，常用到下面的力學(xué)裝置，如圖只要使連桿AB與滑塊m所在平面法線的夾角8小于某個(gè)值，那么無論連桿AB對滑塊施加多大的作用力，都不可能使之滑動，且連桿AB對滑塊施加的作用力越大，滑塊就越穩(wěn)定，工程力學(xué)上稱為自鎖現(xiàn)象。則自鎖時(shí)9應(yīng)滿足什么條件？設(shè)滑塊與所在平面間的動摩擦因數(shù)為小。分析：將連桿AB對滑塊施加的推力F分解，

6、且F遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于mg,可以忽略。則滑塊m不產(chǎn)生滑動的條件為化簡得自鎖的條件為 0 <arctanFsinO<nFcosQ3、拉力的極小值【例3】在水平面上放有一質(zhì)量為m的物體，物體與地面的動摩擦因數(shù)為小,現(xiàn)用力F拉物體,使其勻速運(yùn)動，怎樣施加F才能最小。分析：設(shè)拉力與水平面間的夾角為9,將拉力F分解，并列出平衡方程，由動摩擦力公式得FcoS)=n(mg-Fsin8),化簡為Fmgmg8ssin/21sin()單位：綜采二隊(duì)授課時(shí)間2012年7月5日（其中令sin當(dāng)90時(shí)F有最小值：Fmin,mg,且0=arctan仙。214、破冰船中的道理【例4】1999年，中國首次北極科學(xué)考察隊(duì)乘坐

7、我國自行研制的“雪龍”號科學(xué)考察船?！把垺碧柨茖W(xué)考察船不僅采用特殊的材料，而且船體的結(jié)構(gòu)也滿足一定的條件，以對付北極地區(qū)的冰塊和冰層。它是靠本身的重力壓碎周圍的冰塊，同時(shí)又將碎冰塊擠向船底，如果碎冰塊仍擠在冰層與船體之間，船體由于受到巨大的側(cè)壓力而可能解體。為此，船體與豎直方向之間必須有一傾角a。設(shè)船體與冰塊之間的動摩擦因數(shù)為小。試問使壓碎的冰塊能被擠壓向船底，a角應(yīng)滿足的條件。頁腳內(nèi)容19分析：冰塊受到三個(gè)力：冰層對冰塊的水平向后的擠壓力，船體對冰塊的側(cè)壓力F,以及沿船體方向的摩擦力（冰塊的重力和浮力可以忽略）。將F分解，如圖Fn=F尸F(xiàn)cosa能使壓碎的冰塊被擠壓向船底必須滿足的條件為E

8、>F,有Fsina>nFcosx化簡得a>arctann5、壓延機(jī)原理問能壓延的鐵板厚度b是多少?【例5】壓延機(jī)由兩輪構(gòu)成，兩輪的直徑均為d=50mm,輪間的間隙為a=5mm,兩輪按反方向轉(zhuǎn)動,接觸點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸連線的夾角為 鐵板受到FN2和F2兩個(gè)力，如圖 右，M如圖中箭頭所示。已知燒紅的鐵板和鑄鐵輪之間的摩擦因數(shù)為=0.1,分析：鐵板的A、B兩點(diǎn)和鑄鐵輪接觸，a。在A點(diǎn)鐵板受到FN稱口Ffi兩個(gè)力，在B點(diǎn)所示。要使鐵板能壓延鐵板所受合力必須向a<0=arctana則鐵板的最大厚度為bm=a+2(r-rco§=7.48mm所以能壓延的鐵板厚度b<7.48mm

9、【例6】物體放在水平面上，用與水平方向成30°的力拉物體時(shí)，物體勻速前進(jìn)。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速前進(jìn)，求物體與水平面之間的動摩擦因素以。答案：引進(jìn)全反力R,對物體兩個(gè)平衡狀態(tài)進(jìn)行受力分析，再進(jìn)行矢量平移，得到圖18中的左圖和中間圖(注意：重力G是不變的，而全反力R的方向不變、F的大小不變)，(|)m指摩擦角。再將兩圖重疊成圖的右圖。由于灰色的三角形是一個(gè)頂角為30。的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊故有：小m=15°。最后，N=tg(J)m=0.268O【例7】如圖2-1-7所示用力F推一放在水平地面上的木箱，質(zhì)量為M,木箱與地面間摩擦因數(shù)

10、為問：當(dāng)力F與豎直成夾角多大時(shí)，力F再大也無法推動木箱？思路分析本題屬于物體平衡問題，一般方法是用平衡條件列方程求極值，但這里用摩擦角的概念分析，問題會更加簡單.解:選物體為研究對象，受力如圖2-1-8所示，其受四個(gè)力作用而靜止，將彈力N和摩擦力f合成作出全反力F.當(dāng)物體將要發(fā)生滑動時(shí)，靜摩擦角0。滿足tg0=,由平衡條件知當(dāng)0<<0時(shí)，物體出現(xiàn)自瑣現(xiàn)象，也就是說此時(shí)無論用多大的力都不會使物體推動，故角屬于范圍(0,o)。圖2-1了圖2J-g一個(gè)接觸面的平衡問題【例8】一物體質(zhì)量為m,置于傾角為的斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為，若要使物體沿斜面勻速向上滑動，求拉力的最小解析：本

11、題有兩種解法，一種是根據(jù)平衡條件利用數(shù)學(xué)建模得到FF()后再求極值，另一種是引入全反力(摩擦角)化四力平衡為三力平衡根據(jù)矢量三角形直觀快速地求解。解法一：(利用平衡條件求解)設(shè)拉力與斜面夾角為8,則由平衡條件可得：Fcos(mgcosFsin)mgsin0即有F(sincos)mg/(cossin)令tg，則有F(Sin8s)mgSin8smgsin()12y解法二：(引入摩擦角)如圖1所示，設(shè)tg1,則由平衡條件和矢量三角形可得：當(dāng)拉力F垂直于全反力方向時(shí)此時(shí)F的拉力最小，即：Fmgcos()8ssin_mg12【例91結(jié)構(gòu)均勻的梯子AB,靠在光滑豎直墻上，已知梯子長為L,重為G,與地面間的

12、動摩擦因數(shù)為如圖所示，1,求梯子不滑動，梯子與水平地面夾角9的最小值90；2,當(dāng)8=8。時(shí)，一重為P的人沿梯子緩慢向上，他上到什么位置，梯子開始滑動？分析：本題有兩種解法：解法一是根據(jù)物體的平衡條件求解，這是常規(guī)解法；另一解法是分析出它臨界條件8。再引入摩擦角解。解法一：(1)如圖2所示，平衡條件可得:N1fNNGN1Lsin0GLcos02由上述3式可解得：0tg1,(2)如圖3所示，由平衡條件可得：N1fNNGPNiLsinoGLcosoPxcoso2由上述3式可解得：xL/2解法二：(1)(引入摩擦角)如圖4所示，tg1,由平衡條件可得：GLcosoLsin°(Gtan)2所以

13、有°tan12(2)如圖5所示，將梯子和人的重力用具等效重力代替G,當(dāng)?shù)刃е亓Φ闹匦倪€在梯子重心下面時(shí)梯子還不會滑倒，當(dāng)?shù)刃е亓Φ闹匦倪€在梯子重心上面時(shí)梯子就會滑倒，所以當(dāng)人上到梯子一半即L/2時(shí)，梯子開始滑動。兩個(gè)接觸面的平衡問題【例10】一架均勻梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在豎直的墻上，梯子與地面及梯子與墻的靜摩擦系數(shù)分別為小仙2,求梯子能平衡時(shí)與地面所成的最小夾角。分析：此題同樣有兩種解法，為了節(jié)省篇幅，接下來只介紹引入摩擦角的解法。此題是多點(diǎn)摩擦的問題，而且又是多點(diǎn)同時(shí)滑動，所以系統(tǒng)達(dá)到臨界平衡狀態(tài)（極限平衡狀態(tài)）時(shí)，即梯子與水平所成的夾角最小時(shí)，各處摩擦力均達(dá)到最大

14、值。現(xiàn)把兩端點(diǎn)的受力用全反力表示，則梯子就只受三個(gè)力,且三個(gè)力必共點(diǎn)。1 tan 1 2 1 ,2 tan 1 2 ,由平衡條解：如圖6所示,件和幾何關(guān)系可得：,BCDHDEDHDEtan-AC2AH2AH2EB即梯子與地面所成的最小的角為tan 1 2思考題質(zhì)量為m的均勻梯子，一端在堅(jiān)直光滑的墻上，另一端置于粗糙的水平地面上，靜摩擦系數(shù)為一個(gè)質(zhì)量為M的人沿梯往上爬，為了保證該人的安全，對梯子的放置有什么要求？(答案:,2Mm、tan)2(Mm)【例12】一梯子長為L,斜靠在豎直的墻壁上，梯子的傾角為，與水平地面間的靜摩擦系數(shù)為1,與豎直墻面間的靜摩擦系數(shù)為為2,不計(jì)梯子的重力，求：重為G的人

15、沿梯子能上升的最大高度。解：以梯子和人組成的系統(tǒng)為研究對象，如圖所示，建立直角坐標(biāo)系:地面對梯子的全反力F1的直線方y(tǒng)=1(xLcos)(1)tan1豎直墻面對梯子的全反力桎的直y=tan2x+Lsin(2)梯子AB的直線方程：y=tan(xLcos)(3)當(dāng)人達(dá)最高時(shí)，梯子將要滑動，此時(shí)有：tan1=1tan2=2代入上式由（1）、（2）兩式可得R與月的交點(diǎn)P坐標(biāo)為:L(cos1sin)112代入（3）式得人達(dá)到的最大高度為:y=- 11 L tan (sin 2 cos )2Lsin(Sin2cos)112cos令h=Lsin則:y=11h-(tan 2)2=tan2h121討論：（1）當(dāng)

16、tan工時(shí)，yh,說明人可到達(dá)梯子的頂端，即：ymax=Lsin。也就是說，梯子的1傾角大于某一臨界角0時(shí)（tan0=工），梯子會處于自鎖狀態(tài)。這種情況在實(shí)際中正是人們所希望的,1因此人們通常把梯子放得陡一些，使得人無論爬到梯子的任何位置，梯子都將因自鎖而不至滑倒，而且梯子與水平地面間的靜摩擦系數(shù)1越大，臨界角0就會越小，梯子會更容易實(shí)現(xiàn)自鎖狀態(tài)。,1（2）、當(dāng)tan'時(shí)，y<h,說明人不能到達(dá)梯子的頂端,1tan2ymax=h21如果此題考慮到梯子的重力，則上述結(jié)果便是人與梯子系統(tǒng)重心的最大高度，根據(jù)系統(tǒng)重心的計(jì)算公式，也可計(jì)算出人沿梯子上升的最大高度。小結(jié)：由于摩擦角與全反力

17、所在直線的斜率存在著特殊的關(guān)系，所以在解決此類有關(guān)全反力及摩擦角的問題時(shí)，應(yīng)首選“坐標(biāo)法”，這樣可避免解繁瑣的三角形，使解題的目的性更加明確，從而達(dá)到事半功倍的效果?！纠?2如圖9所示，每側(cè)梯長為1的折梯置于鉛垂平面內(nèi)，已知A、B兩處動摩擦因數(shù)分別為pA=0.2、pB=0.6,不計(jì)梯重，求人能爬多高而梯不滑到。解析：這是多點(diǎn)摩擦不同時(shí)滑動的平衡問題，比前面的例題要復(fù)雜。如果地面與梯的摩擦系數(shù)足夠大，則梯子不會滑到，現(xiàn)兩邊的摩擦系數(shù)較小，所以梯子有可能滑到，所以必須對A、B分別分析A tg 10.2300解：由題意可得btg10.6300如果從A開始往上爬，爬到如圖所示時(shí)梯子將滑到，此時(shí)受力如圖

18、9所示，設(shè)此時(shí)人離A端的距離為S,則由平衡條件和幾何關(guān)系可得：sc0tA(ls)cot300所以從A端能爬的最大高度為Hstan6000.441如果從B端開始往上爬，爬到如圖所示時(shí)梯子將滑到，此時(shí)圖10受力如圖10所示，這將不可能，因?yàn)锳梯早就滑動了或A梯早就轉(zhuǎn)動了。綜上所述，人能爬的最大高度是想一想為什么人在梯子上爬時(shí)，水平地面對另一邊梯子的作用力必須沿梯子方向?解題經(jīng)驗(yàn)小結(jié)：引入摩擦角的好處：通過全反力的等效替代，可以減少力的個(gè)數(shù)，化多力平衡問題為三力平衡問題；可以迅速確定臨界平衡狀態(tài)；把平衡問題的判斷轉(zhuǎn)化為尋求角度之間的關(guān)系，這梯子AC BG由C端的錢鏈 6m, C端離水平地面4m,總重與地面的靜摩擦因數(shù)以=0.6,是求解平衡問題的重要思路。【例13如圖115,兩把相同的均勻連起來，組成人字形梯子，下端A和B相距200N,一人重600N,由B端上爬，若梯子則人爬到何處梯子就要滑動？解：進(jìn)行受力分析，如圖所示，把人和梯子看成一個(gè)整體，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài):AB=6m ,設(shè)人到錢鏈C的距滿足