數(shù)分13冪級數(shù)(--)

1、精品文檔精品文檔第十三章事級數(shù)§1哥級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)域1.求下列各曷級數(shù)的收斂域：等n4n!解：limn-=lim=0,那么原級數(shù)的收斂域為，依n二（n1）!2n-n1QO(2廣n1ln(n1)n1x；n1解：由于iimln(n+2)n+1=1,并且1!nW發(fā)散，而1-1)nln(n+1)|攵斂nn2ln(n1)n=1n1n=1n1為1-1,1.，因此原收斂域解:limIn-22一：;n%;n42解：lim_n亭-nnx(n1)2=lime2n中=g,因此可知原級數(shù)的收斂域為x=0.n工二x(n1)22non1n22x2n書2n-1，由達(dá)朗貝爾判別法可知當(dāng)<1時，級數(shù)收斂

2、;因此只要x：二1原級數(shù)就收斂，又因為當(dāng)x=±1時,級數(shù)也收斂，因此原級數(shù)的收斂域為1-1,11.OCn13+(-1)nn解：曷級數(shù)的收斂半徑為oo由于工n13+(-1)nn3(-1)n(-4)nn：2:102k1=£工+£，前者發(fā)散后者收斂k42kk442k12k1:二:二02k1=L-ZF2,前者發(fā)散后者收k42kk44-2k1因此可知原級數(shù)的收斂域為-,一.4,4，因此發(fā)散；斂，因此發(fā)散；(6廣3(-2)(x1)n;n1n解：曷級數(shù)的收斂半徑為 r13,1qQ又因為級數(shù)n1知原級數(shù)的收斂域為nn.3(-2)1n3n一42)13,3；發(fā)散而級數(shù)n13n(-2)

3、n(-1)3n，因此可n二(1)n二1(1-1n1nnwnz(2n)!n”一x;na(2n1)!解：由于lim(2n2)!(2n1)!=1而空2=1,于是原級數(shù)的收斂半徑為r=1；n；二(2n3)!(2n)!n.：2n3當(dāng)x=1時，由于limn1(2n)!(2n+3)!一11=1Mn,空心1卜1,故由拉阿比判別法可tJ(2n+1)!(2n+2)!_i12n+222知級數(shù)工(2')!發(fā)散;nm(2n1)!由于lim(2n)!p3§0，因此由萊布尼茲判別法可知級數(shù)£(2n)!(-1)n收斂,于是可nE=(2n1)!nm(2n1)!知原級數(shù)的收斂域為-1,1).1(8)&

4、quot;1一n4.n_n2xn；I1V11人，一，=lim11+1=1,于是可知原級數(shù)的收斂半徑為ni(n)er=e.11v當(dāng)x=±e時，由于lim1+JennJ(9)一)】；n4nn解：由于limn_二二1:0,因此可知原級數(shù)的收斂域為-e，e.n=1,因此可知原級數(shù)的收斂半徑為r=1；由于級數(shù)£上?收斂，而級數(shù)n=1nnn11發(fā)散，因此可知原級數(shù)的收斂域為(1,11n4nnnxn(1%k解：由于lim=1,因此可知原級數(shù)的收斂半徑為r=7,由于limrJ=1#0,因此可n5n.7n7n_f：5n7n知原級數(shù)的收斂域為-7,7.(11)包，；na(2n)!解：由于lim

5、.2(n”(2n)!n一廣：(2n2)!(n!)1,因此可知原級數(shù)的收斂半徑為i(2n2)(2n1)4r=4;”網(wǎng)由于(2n)!qQ當(dāng)x=4時，級數(shù)£一n1limnn_：二(n!)24n(2n2)!(2n)!(n+1)!24n+-1=limnnT二；(2n+2)(2n+1)1144(n+1)21=lim-n2n2二4(n1)那么由拉阿比判別發(fā)可知級數(shù)發(fā)散綜上可知原級數(shù)的收斂域為1-4,4.1=1 lim -n-J =1,n入1乙 一 nnod(13)2 nxn;解：由于n =1二11n(12?1-HI-xn；n4.2n解：由于調(diào)和級數(shù)發(fā)散于+嗎因此可知11111國1lim2n-；n1

6、.1limn=：11n_.:二1-nr-2n于是原級數(shù)的收斂半徑為r=1,則可知原級數(shù)的收斂域為-1,1.lim上【=1,于是可知級數(shù)的收斂域為-1,1.n:n二(x2)2n(14廠(_);n4(2n-1)!解：對于任意確定的xW+=c)有l(wèi)im-C(2n-1)!n二(2n1)!(x-2)-lim(x-2)=0,n二2n12n那么由達(dá)朗貝爾判別法可知原級數(shù)的收斂域為L,博二2(15廠anxn,0二a：1;n1解：由于0<a<1可知limvann工二=liman=0,因此可知原級數(shù)的收斂域為-：,二n.二xn(16廠-ynWn解:由于pnlim=limn二(n1)pn;1111np=

7、1,因此原級數(shù)的收斂半徑為r=1.當(dāng)pW0時，可以知道級數(shù)在x=±1處都發(fā)散，那么此時級數(shù)的收斂域為(-1,1);Ix=1當(dāng)pJ0,1對,可以知道級數(shù)<x':，那么此時級數(shù)的收斂域為1-1,1);x=-1收斂當(dāng)p>1時，可以知道級數(shù)在x=±1處都收斂，那么此時級數(shù)的收斂域為-1,1】.2.設(shè)幕級數(shù)£anXn的收斂半徑為R,zbnXn的收斂半徑為Q,討論下列級數(shù)的收斂半徑:nn£(1尸anX2n;(2廣anbnXn；(3尸anbnXn.n0n0n0解：(1用于幕級數(shù)工anXn的收斂半徑為R,那么對于任意x0尿,級數(shù)£anX2n

8、收斂;對于任意n0n=0Xo尿,級數(shù)=anX2n發(fā)散，因此可知幕級數(shù)£anX2n的收斂半徑r=JR;nOn0oO(2)設(shè)RQ,則對于V網(wǎng)R,可知級數(shù)£(an+bn收斂，對于v|x01AR,可知級數(shù)n=0、 an - bnXn - anXn、'bnXnn =0n zOn zO發(fā)散。因此此時級數(shù)z(an+bn*的收斂半徑為R同理當(dāng)RQ,級數(shù)z(an+bn)xn的收斂半徑nzOnzO為Q.于是可知原級數(shù)的收斂半徑為r=min(R,Q).(3)對于V%RQ,可知x0=RQe2Q10,1).那么利用達(dá)朗貝爾判別法可知級數(shù)、anbnXn=vanbnRnQl2nn=On=OqQ收

9、斂;當(dāng)聞ROW門無法判別級數(shù)Zanbnxn是否收斂，因此可知原級數(shù)的收斂半徑rRQ.n=On3.設(shè)akakxkMM,n=0,1,2,H|,求證：當(dāng)0Mx<x1時,(1)工anXn收斂;n z00a(2)2 anxn <M.n衛(wèi)證明：（i）rn An（x）二 anxi , Bn (x)-n，由于a akxkk1i.由于Ocxcx,因止匕£ akxkkz01< Z akx1k < M顯然成立;k4ii.設(shè)n 1kakxk =0n1< Z akx1k < M ;kmiii.nkakxk =0阿貝爾變換n 1 z k =0nWM,即2An（x）致有界；而V

10、xjO,%），數(shù)k1qQ列Bn（x）單調(diào)下降趨于零，那么由狄理克雷判別法可知函數(shù)項級數(shù)Zanxn在區(qū)間（0,xi）一致n=0收斂.于是對于當(dāng)0<x"時,fanxn收斂。nz0（2）我們利用數(shù)學(xué)歸納法證明，這里我們用到了阿貝爾變換:綜上可知所證成立。§2哥級數(shù)的性質(zhì)1.設(shè)f (x) =anxn當(dāng)n -0x<r時收斂，那么當(dāng)一旦rn書收斂時，有nn+10f(x)dx八n衛(wèi)anJ.1n1qQ不論£anxn在x=r時是否收斂。n0&xn *且其收斂半徑仍為r.n 1證明：由題意可得對于Vxw(0,rKTJ0f(t)dt=£n=0由于J烏-xn

11、書在x=r點收斂，故在10,r上連續(xù)，因此nKn-1limx_rof出=四£rn=0于是有2.利用上題證明:1n(1 -x)x0 f (x)dx -n =0二 1 dx = -v .nm n證明：由于ln(1-x) = -、£因此有1n(1x)na nann Hrn 1nJ nm nn -1，顯然-£二在x:二1時收斂且八二nd n在x=1處收斂，因此由上題有fm二發(fā)dxn-f工.0xnn3川逐項微分或逐項積分求下列級數(shù)的和：nx(1戶一=-1n(1-x);nWn(2)£nxn=x£nxn=xj(xny=xU'£xnKx

12、9;-1)=-;n3nmnJ(ndJl1一x(1x)2qQ(3尸n(n1)xn;n丑qQ解：設(shè)S(x)=Hn(n+1)xn,則qQn 12 - -nJ2x % nx xn 1n1x小x二二S(x),0Sdt='on(n1)tndtnx1對S(x)逐項積分可得:S(t)dt=(n 1x二-ntn'dt -因此可知0 sdt =x2S(x)x2x-U-xJ2x2 ,1-x于是QO% n(n 1)xnn 1二s(1)(x)二 |1-x41-x2x - 2x241-x(T- x2n；n(2n -1)、二(_1尸解：設(shè) S(x) ='、. -("1nn(2n-1)QO(

13、4廣n 1x2n,那么S(x)二二2n x00=£2 nm(-1尸2n(2n -1)2n x(-1)n=1n2n(2n -1)QO'=£n=1(-1尸2n -1cd'=£(-1)n 1QOn -1 2n-2n 2nx = '(-1) xn =0因此可知1t2=arctanx,x1,2=arctantdt=xarctanx-In1xo2于是可知，二”1)n以ox=S(x)=2xarctanx-In1xn"(2n-1)OCn 14n1X4n1解：令S(x)二x4n二G，那么2二X4n"x2S(x)=、,n44n1于是可知2_

14、xS(x)4n書、x4n1Q0=£n1、4n+1oOk14n'=2xn二1x4x2 _x S(x)x t4dt0 1 -t4x111rE|i_+0IL41-11t21t111,-ln(1-x)-ln(1x)arctanx-x4421,1x二InIarctanx-x,1-x2因此可知4ndx4n1=S(x)In.J+2arctanx-4x1x4x20Ozn=1(6廣(2n1-1)xn=12(2x)n,xn=n=0n=0nR1-2x1-x2xnn1qQ解：令£n2xn'=S(x)，那么n：1/S(t)dt=fln2tn,dt=£n2tn,dt=

15、3;nxn=xZnxn，=x(x),00,01n1n1n1n166oOxxx0S1(t)dt=0£ntdt=£0ntdt=£xn1n1n111-x1-x于是可知c/、x,1-xx1S(x)=.=2=21-x1-x1-xs(x)=(x§(x)y=J1-x(1-xf+2(1-x)x41-x3，Jx即1n2xn，n13.1-x4.求下列級數(shù)的和:二2n-1'kn42解：我們知道COzn42n-1心2n二xnJ0nnJ2令S(x)八n112069dt00xJnz4ntnJ2ndtnxnt于是可知Si(x)那么我們可得-2n-1-nxnN2n因此有QOzn

16、W2n422x)12-xJ2n-1二vn-7一二-2n-nf222-x2x22-xcO(2廣n11n(2n1)解：令則因此可知因此有n1nx2n100-zn1n1x2n22-12nT工x=2、nmn(2n1)ndO0S'(x)=2ZS''(x)oO2n、2Z32nJ.：22n=2-：i'nd2nS'(x)x2tdt01-t21-1二1-242.2-x422-x117=4-1=3.21-122n1x2n(2n1)=S(x),2-x2n1二=2"2n(2n1)nm2n1x2n(2n+1),Q0=2"xnTxdt201-t22n4:-2n=

17、2，nT2nQ0=2x'xn12Jn(1-x2),2n-22x1-x2,x2S(x)=-oln(1-t)dt=-(x-1)ln(1-x)-(x1)ln(1x)2x.oOzn11n(2n1)-S(1)-2-lim(x-1)ln(1-x)-2ln2=2-2ln2.證明：設(shè)S(x)八，n衛(wèi)4n5證明:(1)£l滿足方程y(4)=y;n衛(wèi)(4n)!4nI,由于此事級數(shù)的收斂域為(-依),則可知(4n)!oOS'(x)=Z4n-：x1n30odnOoO4n'=£,ng(4n1)!x4n-2S”(x)八S'(x)n衛(wèi)(4n-2)!')n衛(wèi)4n4S

18、(x)八八n(4n-4)!n衛(wèi)因此可知有S(x)=S(x)，即得所證。二n(2)x*2滿足方程xy''y'-y=0.4nJ3x)(4n_3)!,4nx(4n)!證明：設(shè)S(x)=、：n=0nj,可以知道這個曷級數(shù)的收斂域為一y'那么易知n!n_2 x一門n-1S'(x)='、xnmn!n-1!ooxS''(x)八n=2,S”(x)Cn=2n!n-2!n-1xn!n-2!因此可得oOxS''(x) S'(x)八n -2n1n1x%xn!n-2!nwn!n-1!二1xn,xn=1+£|+nn!L(n-

19、2J(n1打oO二1八n=2oO二1八n=21nn(n-1)n4xQO二1八n1n!2n2n!nxn!2n!二二n-1xn=1%2仃n-1!nx=2=S(x)；nJn!于是可知有xS''(x)+S'(x)-S(x)=0,即得所證。6.設(shè)f(x)是曷級數(shù)£anxn在(R,R)上的和函數(shù)，若f(x)為奇函數(shù)，則級數(shù)中僅出現(xiàn)奇次曷的項nz0若f(x)為偶函數(shù)，則級數(shù)中僅出現(xiàn)偶次曷的項。證明：i.若f(x)為奇函數(shù)，則有f(x)+f(-x)三0,我們知道oOOOf(x)=、,anxn,f(-x)Can-xn,n0n0于是二n二nf(x)f(-x)=xanx一二an：i

20、xn0n=0oO-nn-i.anxan-xn=0QOnn八anx-xn=0QOm=2a2mx-0,m-0因此必有a2m=0,m=0,1,2用I;即函數(shù)項級數(shù)中僅出現(xiàn)奇次曷的項。ii.若f(x)為奇函數(shù)，則有f(x)-f(-x)三0,我們知道f(x)=£anxn,f(x)=£an(-x),n=0n=0于是f(x)-f(-x)=，anxn-an-xn=0n=0QOn=：，lanx-an-xn-0QOn-、anx-xn=0二'2a2mixm1=0,m為因此必有a2m書=0,m=0,1,2,川；即函數(shù)項級數(shù)中僅出現(xiàn)偶次曷的項。oO7.設(shè)f(x)八n 12,n ln(1 -

21、n)求證：(1)f(x)在1,1連續(xù),f'(x)在(1,1戶連續(xù);(2) f(x)在點x=-1可導(dǎo)；(3) limf'(x)=:；x1-(4) f(x)在點x=1不可導(dǎo)。Yn證明：(1).對于Vx1,1,必有3,由于級數(shù)工二收斂，那么由M判別法可知原級nln(1+n)nnn數(shù)在區(qū)間1,1上一致收斂；又由于此級數(shù)的每一個分項在區(qū)間1,1上連續(xù)，于是可知此級數(shù)的和函數(shù)在區(qū)間1,1上連續(xù)。n我們對級數(shù)工逐項求導(dǎo)可得級數(shù)nm n ln(1 n)xn£ ;對于 Vx0w(1,1Q6 >0,使得n4 nln(1 n)1>6a|x0|>0成立，那么必有n-1-n-

22、1x、:二,"x一；nln(1n)nln(1n)n1n由于6<1,那么可知級數(shù)z收斂，于是由M判別法可知級數(shù)z在(-5,6)±n：nln(1n)nnln(1n)一致收斂，于是可知這個級數(shù)在(-5,6)上一致收斂于函數(shù)f'(x),且在此區(qū)間上連續(xù)。nJ特別地在x0點級數(shù)ZU斂于f'(x)且連續(xù)，由于x0A在區(qū)間(-1,1)上的任意性可知nmnln(1n)二-n1級數(shù)£在區(qū)C(-1,1廣上收斂于f'(x)且連續(xù)；即得所證。nmnln(1n)二-n-1(2)由于級數(shù)Z-在點x=-1處收斂，那么可知此級數(shù)在區(qū)間-1,0)上一致收斂，且nmnl

23、n(1n)可知收斂于函數(shù)f'(x),于是可知函數(shù)“*)在*=-1點可導(dǎo)。(3)(這兩個怎么做呢？?？)§3函數(shù)的哥級數(shù)展開1利用基本初等函數(shù)的展開式，將下列函數(shù)展開成麥克勞林級數(shù)，并說明收斂區(qū)間:1n(1),a=0;解:-=-j,-<1.a-xa-x.xanlaa1_a(2)OQ2-=1：1,x)=1%n1-2L(-3)-L(-2-n1)n!解:_3:=1x=1%n1-3(-4)(-3-n1)n!xn,x：:1.2(4)cosx；解:2cos1cos2xx二1I墨n(2x)2n=1+Z(-1)21nn(2nJ;1a2一n(2x)2nI72nL(5)sin3x;解:sin

24、3x=3sinx-43二/(_1)4n衛(wèi)1一3二sin3x="(一1)44n=0n+(32n-1)x2n+2n1nx2n1!_2n11-n3x(-1)n4n2n1!2n1!:,二.x(6)；,1-3x解：x1-3x1-3x3=xoO=x'n1(7)(1x)e"；解：(1,x)e'二(x)n=on!(8)lnx.1x2解：由于因此可知O01人n4TTJ-,L-3-n1nn-x-an=on!QO=En=0=1&且十上1ILn!(n-1)!n!nn(-1)xn!QO+£n=0(-1)nxn1n!:二.二.11"一1口-3jJ-L.1-1

25、-n+11=(1+x2戶=1隹_，2n,x<1,1x2n1n!lnx1x2oOx1dtx0n1x(9)1-3x2x2解：12，1-3x2x21-2x1-x00oOoO2工(2xf-Zxn=£(2n-1)xn,2xn=0n=0n=01.(10)arcsinx;解：由于(arcsinx)=121-x因此可知2(11)ln1xx11-x2-2co=1Jn4oO二1八n1arcsinx=imuj-nFn!1i3-C,J一nn122一12，n!xdt01日00=x;n11n-12解：ln1xx2=In(-1)nx2n2nx；x：-x1dt'、0-0n1i1n-12t2ndtn!(

26、2n1)n!31-x3=ln1-x-In1-x1一x廠3k=，k1k十£k=0oO33k由x3k-2J二(x3)n二xnn1nntn3k書、一3k+13k+23k+3,oO=Ek=0oO=£k=03k13k2.xx1I+3k13k23k3k13k3x33k書x3k+13k七八3k書、+x2x3k+23k+3,-1:二xM1.(12)xarctanx-解：由于于是可知又因為因此可知那么可得(13)；平dt;解：由于因此x2(14)°costdt.x2；arctanx',xdtarctanx=01toOn2n=、，(-1)x,n0='；x(1)nt2n

27、dt="n0'n=08xarctanx="n=0(-1)nx2n2.2n1;0gh痣=In1x2xtdt1t2(-1)nx2n12n1=x(-x2)n八(-1)nx2n11xn-0n=0二-x八,(-1nWQOdt八n=0(-1)nx2n2J2n2QOxarctanx-ln,1x2="n=0oOn2n-2(-1)x2n11cdn=01n2n«2(-1)x2n2=Z2n22n1n=0sintdttn2n：u2(-1)xV一竺3(-1)nx2n,x<1.nm(2n+2)(2n+1)00zsintn=0(-1)nt2n1oon=0(2n1)!tn

28、x2nx(-1)t0(2n1)!x2x二:costdt='、on=0:(-1)nt2n二,nj(2n1)!oodt“n=0n2n1(-1)x(2n1)(2n1)!2n(-1)nt2Jxdt2n!nJ2n(-1)nt2Jdt2n!n.(4n1)2n!2.利用曷級數(shù)相乘求下列函數(shù)的麥克勞林展式:(1)ln(1x);1 x'解：由于j(-1)n,xn1、二nln(1x)=,=(-x);n=1n1xn因此有l(wèi)n(1+x)片(-1尸xn+小二2_I2-(-x)1+x、nn八=0g f=、(-1)n=1n1nnxk-0n-k二）".2(2)arctanx;解：已知arctan x

29、 =0 1 t二 xc= 10(-1)nt n=0oO dt = '、' n=0(-1)nx2n12n 1因此可得(arctan x )=工n=0(-1)nx2n*)2n+1 小(-1尸 n 1='(-1尸 n 1t(2n -1) (2 1)(2n -3)2n x11 w 1+1H +<1 (2n -1) 312n-3)(2n-1)L1 J2n x2(3)ln2(1-x).n解:x已知ln(1-x)=-£,于是有nmnln2(1-x)=z、口nJnTnQO=zn1QO=£n1O0Z-1n1Emk(n1-k)xn書n1J1Jkn1-kn1x=、x

30、nwn1k+k(n1-k)31kn+1-k力COAf6入n由k11x=2ZZnTn+1IkhkJ3.將下列函數(shù)在指定點*0展開成泰勒級數(shù):/、1，C(1),Xo=b,b-二a,a=0;a-x1n解:，a - x t(-1)n4tn二 tn二 t2k 1f (x) = ln x = ln ln(1 t) fn(1 t)二、 ' 一二、 1-tnd nn+ n .2k 1=a-b=二1一二，x-ba-b-(x-b)1x-ba-b1x-ba-bn衛(wèi)a-ba-ba-b1,(2)ln 2, xo = -1;2 2x x2f122解：ln 2 = ln 2 2x x = ln 1 (1 x)2 2

31、x x2=，一(-1尸n z4(1 x)2nnJ Q1)nn zz1(1x)2nn(3)lnx,xo=2;解：Inx=ln(2x-2)=In21-2=In2Ini12=In2，二(x2_2.2nmn.2nj(4)ex, x0=1.解:ex=ex11=eS=e：_(1_J£(x-1)n.n=0n!n=0n!4展開-dj1泌x的幕級數(shù)，并推出1=JdxxJn/(n+1)!:_n二-n解：可知ex1=£*1=£J于是nzon!n+n!ex -1oO=En 1n!nm n 1 !于是/xA10clnoQii，n、oOndie1d_xkd|x_nx=2=2L-=2LdxIx

32、Jdxnz0(n+1Jndxi(n+1)!jn(n+1)!xxxn1那么可知&j=xeU1=2,將x=1帶入即可得1=£dx<x)xn(n+1)!nT(n+1)!x-15試將f(x) =lnx®開成的幕級數(shù)。x1解：令t=，則x=9，于是x11-t將t回帶入即可得f(x)=£x1k=02k12x12k16設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a,b）上的各階導(dǎo)數(shù)一致有界，即存在M>0,對vxw（a,b）有f(n)(x)HM,n=1,2,3,|lL證明：對于（a,b月的任意點x與乂0有£（乂）=£n20f(n)(xo)n!(x-x0).證明：

33、我們將f（x）在x。點展開成帶拉格朗日余項的泰勒展式，得nf(x)八k=0f(k)(x0)k!(x_x°)kf(n1)()(n1)!(x-x0)n1,其中是x與x0之間的數(shù)。由于f(n1)()(n1)!n1(x-x0)M(b-a)(n1)!qQ因此對于Vx0w(a,b)有f(x)=£n=0f(n)(x0)n!(x-%)n.7求下列級數(shù)的和:n21nrx；n1n!2解：已知oO令S(x)='nh6zn1nnxn21nn!2n*oO=znWn-1!2n，則幽=9xn1n!2nxn-1nxn八-x-n”!2nn-1!2n；令§（x）=；乎出=xntnt0ndn-1!2QO=&#