數(shù)學(xué)人教版八年級下冊數(shù)學(xué)活動(dòng)——折紙做60度,30度,15度的角

1、第十八章數(shù)學(xué)活動(dòng)折紙做60° , 30° , 15°的角學(xué)校：廈門集美中學(xué)授課人： 秦沖一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：1、能折出60° , 30° , 15°等特殊度數(shù)的角；2、通過折紙活動(dòng)，進(jìn)一步加深對軸對稱、等腰三角形、等邊三角形性質(zhì)的理解；過程與方法：探索折60°、30°、15°的角，經(jīng)歷折疊、觀察、猜想、論 證、交流、反思等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展學(xué)生對幾何圖形的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生從不同 角度尋找解決問題的策略，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力、創(chuàng)新能力、合作意識；情感與態(tài)度：在折紙活動(dòng)中感受數(shù)學(xué)活動(dòng)的樂趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興

2、趣, 發(fā)展學(xué)生對幾何圖形的認(rèn)知能力、演繹推理能力，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：讓學(xué)生學(xué)會折紙做 60° , 30° , 15°等特殊角，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力, 并在動(dòng)手過程中培養(yǎng)學(xué)生思考探究的習(xí)慣，養(yǎng)成合作交流意識；難點(diǎn)：讓學(xué)生通過自己的嘗試和思考折出特殊度數(shù)的角三、學(xué)情分析學(xué)生經(jīng)過之前的學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步掌握了平行四邊形相關(guān)的性質(zhì)和推理論證方 法。本節(jié)內(nèi)容圍繞特殊的平行四邊形展開，通過折紙做特殊度數(shù)的角，再得到與 之相應(yīng)的一系列角度。本節(jié)課既有動(dòng)手操作，又有一定的趣味性，還可以鞏固學(xué) 生對矩形性質(zhì)、垂直平分線性質(zhì)等知識的理解運(yùn)用，有效鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作

3、能 力、觀察發(fā)現(xiàn)能力以及推理論證能力。四、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課折紙是一門藝術(shù)形式，動(dòng)物、花、船和人等都是折紙的創(chuàng)作題材，在折的過程里要用到軸對稱等數(shù)學(xué)知識。 怎么樣把生活中的折紙和數(shù)學(xué)結(jié)合起來呢？今天讓我們一起探究，走進(jìn)折紙的世界。（二）提出問題，深度思考課題引入： 在沒有圓規(guī)、 三角尺、 量角器的情況下， 又需要作 60 °、30°、15°的角，怎么得到呢？本節(jié)課就來進(jìn)行折紙活動(dòng)，探索解決這一問題的途徑。問題 1 利用一張矩形的紙片，怎么折出一個(gè)45°的角？（學(xué)生分組折疊，學(xué)生很快會折出來，引導(dǎo)學(xué)生分析，得出結(jié)論：對折可以平分一個(gè)角。 ）問

4、題 2 用矩形紙片還能折出哪些度數(shù)的角？（從簡單的折紙游戲出發(fā)，提高學(xué)生課堂參與度，經(jīng)過學(xué)生的互相補(bǔ)充得出 22.5°、 67.5°、 112.5 °等度數(shù)的角。由此引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)上面的結(jié)論。此過程也讓學(xué)生感受折紙可以得到角的倍分關(guān)系。 ）小結(jié)： 在折紙過程中，怎樣得到不同度數(shù)的角？1、通過對折平分一個(gè)角；2、通過尋找余角或補(bǔ)角；3、通過角與角的組合；4、通過三角形或者四邊形內(nèi)角和。（三）動(dòng)手操作，實(shí)驗(yàn)探究問題 3 你能試著用矩形紙片折出 30°角嗎？（學(xué)生先折疊，交流、討論，再由各小組代表展示本小組折疊方法。 ）(1)方法引導(dǎo)：直接折30角角有難度，可以

5、考慮間接獲得。學(xué)生答：可以先用矩形紙片折60。角，通過互余關(guān)系得到300角如何折60°角？引導(dǎo)學(xué)生思考：等邊三角形中含有 600角。學(xué)生答：可以先折等邊三角形(2)方法窺探也就是如果折一個(gè)等邊三角形，問題就解決了，怎樣得到等邊三角形呢？(3)突破重難點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以先折等腰三角形：折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形紙片內(nèi)部 某點(diǎn)N,折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕BM。由折疊的軸對稱性可得AB=BN因止匕 ABN是等腰三角形由得到的等腰三角形，怎樣進(jìn)一步折出等邊三角形呢？(4)解決問題(安排小組交流，利用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示。)方法如右圖所示：對折矩形紙片 ABCR使AD與BC重合，得到折痕EF,把紙

6、片展平；再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕BM,同時(shí)，得到線段BN.問題4 在右圖中， ABN是等邊三角形,(1)操作的依據(jù)是什么？(請學(xué)生作答：垂直平分線的性質(zhì)定理)(2)觀察所得的/ ABM, /MBN和/NBC,這三個(gè)角有什么關(guān)系？(請學(xué)生思考并作答：ZABM=Z NBM=/ NBC=30 )（四）引發(fā)猜想，理論驗(yàn)證（學(xué)生自主寫出證明過程）已知：將矩形ABCD沿EF對折，折疊AB使點(diǎn)A落在折痕EF上，并使折痕 經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕BM.同時(shí)，得到了線段BN.證明：/ABM=/ NBM=/ NBC=30證明：連接AN.經(jīng)折疊，AB=BN, /ABM=/ NBM, 且

7、 EF垂直平分AB.點(diǎn)N在線段EF上，. AN=BN.AB=BN=AN ABN是等邊三角形 ./ABN=60° ,. ./NBC=30 , ./ABM=/ NBM=30° ,/ ABM=/ NBM=/ NBC=30思考：還能用什么樣的方法證明？（問題設(shè)計(jì)的目的在于讓學(xué)生對所學(xué)知識的清晰， 能對知識間的練習(xí)融會貫通，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈活性。 ）（五）繼續(xù)實(shí)踐，探索新知（ 1）你能用矩形紙片折出 15°角嗎？（學(xué)生自主折疊，請同學(xué)回答折疊方法并展示。2） 60°，120°以及150°角呢？（請學(xué)生作答，其實(shí)答案就在折好圖紙中（3）還可以得到

8、多少度的角？（引導(dǎo)學(xué)生小組討論，得出結(jié)果）小結(jié)：發(fā)現(xiàn)通過折30 0角的過程，可以同時(shí)產(chǎn)生15 ° , 45° ,60° ,75° ,105° ,120° ,135° ,150° ,165° 角，這些角都是 15° 的倍數(shù)。（六）知識運(yùn)用，解決問題（通過補(bǔ)充練習(xí)，鍛煉學(xué)生對所學(xué)知識的靈活運(yùn)用能力）練1:如圖，面積為1的正方形ABCD中，M, N分別為AD、BC的中點(diǎn)，將C 點(diǎn)折至MN上，落在P點(diǎn)的位置，折痕為BQ,連接PQ.那么，以PQ為邊長的 正方形的面積等于多少？-,/ 1解：連接 BP, P

9、C.:正方形ABCD®積為1,則BC=1.,經(jīng)折疊，BP=BC=1 /BPQ=Z C=90° , / PBQ=Z CBQ-點(diǎn)M, N分別為AD、BC的中點(diǎn)，IMN垂直平分BC.I.點(diǎn) P 在 MN 上，. PB=PC.IPB=PC=BP BCP是等邊三角形丁. / PBC=60 ,. / PBQ玄 CBQ=30 .I222在 RtPBQ中，設(shè) PQ=x,則 BQ=2x ,則 x +1 =（2x）,得x2 =1, 以PQ為邊長的正方形的面積等于1.I33練2:如圖，矩形ABCD中，AB=4, AD=3, M是邊CD上一點(diǎn)，將 ADM沿直線AM對折，得到 ANM.(1)當(dāng)AN平

10、分/ MAB時(shí)，求DM的長；(2)連接BN,當(dāng)DM=1時(shí)，求4ABN的面積；解：(1)經(jīng)折疊，/ DAM=/ MAN,當(dāng) AN 平分 / MAB 時(shí)，/ MAN=/ NAB,./ DAM=/ MAN=/NAB,又/DAM+/ MAN+/NAB=90° ,丁. / DAM=/ MAN=/ NAB=30° .在 RtADM 中，設(shè) DM=x,則 AM=2x,則 x2+32 = (2x)2x =、3,DM= 73 .(2)過點(diǎn)N作N已CD于點(diǎn)E,過點(diǎn)N作NFL AB于點(diǎn)F,連接DN,交AM于點(diǎn)O.經(jīng)折疊，AD=AN, MD=MN,故AM垂直平分DN.,1_1 一一在 RtAADM

11、 中，AD?DM= AM?DO, 22又 am=Jad2 +DM 2 =43 +12 =770 ,DO眄DN .10105在 Rtaaod中，mo= Jdm 2 do2 = J12 - l301=近 1010,1 一一 1在AMND 中，DNWIO=DM任N, 22 .EN=3,NF=3-3=,55 511 ,1 2SABN=AB NF = 4 =225練3:如圖，四邊形ABCD為矩形紙片，把矩形紙片折疊，使點(diǎn) B剛好落在CD邊的中點(diǎn)E處，折痕為AF,若CD=6,求AF.解：經(jīng)折疊，AE=AB Z AEF=Z B=90° , Z BAF=Z EAF. CD=G E 為 CD中點(diǎn)，. . ED=3, AE=AB=CD=6.在RtAADE,中取AE中點(diǎn)H,