軌跡方程的五種求法例題(共3頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上動點(diǎn)軌跡方程的求法一、直接法按求動點(diǎn)軌跡方程的一般步驟求，其過程是建系設(shè)點(diǎn)，列出幾何等式，坐標(biāo)代換，化簡整理，主要用于動點(diǎn)具有的幾何條件比較明顯時例1已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：，動點(diǎn)M到圓C的切線長與的比等于常數(shù)（如圖），求動點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線【解析】：設(shè)M（x，y），直線MN切圓C于N，則有，即，整理得，這就是動點(diǎn)M的軌跡方程若，方程化為，它表示過點(diǎn)和x軸垂直的一條直線；若1，方程化為，它表示以為圓心，為半徑的圓二、代入法若動點(diǎn)M（x，y）依賴已知曲線上的動點(diǎn)N而運(yùn)動，則可將轉(zhuǎn)化后的動點(diǎn)N的坐標(biāo)入已知曲線的方程或滿足的幾何條件，從而求得

2、動點(diǎn)M的軌跡方程，此法稱為代入法，一般用于兩個或兩個以上動點(diǎn)的情況例2 已知拋物線，定點(diǎn)A（3，1），B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BP:PA=1:2，當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上變動時，求點(diǎn)P的軌跡方程，并指出這個軌跡為哪種曲線【解析】：設(shè)，由題設(shè)，P分線段AB的比， 解得.又點(diǎn)B在拋物線上，其坐標(biāo)適合拋物線方程， 整理得點(diǎn)P的軌跡方程為其軌跡為拋物線三、定義法若動點(diǎn)運(yùn)動的規(guī)律滿足某種曲線的定義，則可根據(jù)曲線的定義直接寫出動點(diǎn)的軌跡方程此法一般用于求圓錐曲線的方程，在高考中常填空、選擇題的形式出現(xiàn)例3 若動圓與圓外切且與直線x=2相切，則動圓圓心的軌跡方程是（A） （B）（C） （D）【解

3、析】：如圖，設(shè)動圓圓心為M，由題意，動點(diǎn)M到定圓圓心（2，0）的距離等于它到定直線x=4的距離，故所求軌跡是以（2，0）為焦點(diǎn)，直線x=4為準(zhǔn)線的拋物線，并且p=6，頂點(diǎn)是（1，0），開口向左，所以方程是選（B）例4 一動圓與兩圓和都外切，則動圓圓心軌跡為（A）拋物線 （B）圓 （C）雙曲線的一支 （D）橢圓【解析】：如圖，設(shè)動圓圓心為M，半徑為r，則有動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)的距離之差為1，由雙曲線定義知，其軌跡是以O(shè)、C為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，選（C）四、參數(shù)法若動點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系不易直接找到，而動點(diǎn)變化受到另一變量的制約，則可求出x、y關(guān)于另一變量的參數(shù)方程，再化為普通方程例5設(shè)

4、橢圓中心為原點(diǎn)O，一個焦點(diǎn)為F（0，1），長軸和短軸的長度之比為t（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)P在該直線上，且，當(dāng)t變化時，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形【解析】：（1）設(shè)所求橢圓方程為由題意得解得 所以橢圓方程為(2)設(shè)點(diǎn)解方程組得 由和得其中t1消去t，得點(diǎn)P軌跡方程為和其軌跡為拋物線在直線右側(cè)的部分和拋物線在直線在側(cè)的部分五、交軌法一般用于求二動曲線交點(diǎn)的軌跡方程其過程是選出一個適當(dāng)?shù)膮?shù)，求出二動曲線的方程或動點(diǎn)坐標(biāo)適合的含參數(shù)的等式，再消去參數(shù)，即得所求動點(diǎn)軌跡的方程例6 已知兩點(diǎn)以及一條直線：y=x，設(shè)長為的線段AB在直線上移動，求直線PA和QB交點(diǎn)M的軌跡方程【解析】：PA和QB的交點(diǎn)M（x，y）隨A、B的移動而變化，故可設(shè)，則PA：QB：消去t，得當(dāng)t=2，或t=1時，PA與QB的交點(diǎn)坐標(biāo)也滿足上式，所以點(diǎn)M的軌跡方程是以上是求動點(diǎn)軌跡方程的主要方法，也是常用方法，