第十一章 第5節(jié)

1、第5節(jié)古典概型最新考綱1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式；2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.知 識(shí) 梳 理1.基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下兩個(gè)特征的概率模型稱(chēng)為古典的概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型.(1)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果.(2)每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.3.如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是；如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A).4.古典概型的概率公式P(A)

2、.常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.古典概型中的基本事件都是互斥的，確定基本事件的方法主要有列舉法、列表法與樹(shù)狀圖法.2.概率的一般加法公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)中，易忽視只有當(dāng)AB，即A，B互斥時(shí)，P(AB)P(A)P(B)，此時(shí)P(AB)0.診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.()(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件.()(3)從3，2，1，0，1，2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.()(4)利用古典概

3、型的概率可求“在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，這點(diǎn)到正方形中心距離小于或等于1”的概率.()解析對(duì)于(1)，發(fā)芽與不發(fā)芽不一定是等可能，所以(1)不正確；對(duì)于(2)，三個(gè)事件不是等可能，其中“一正一反”應(yīng)包括正反與反正兩個(gè)基本事件，所以(2)不正確；對(duì)于(4)，應(yīng)利用幾何概型求概率，所以(4)不正確.答案(1)×(2)×(3)(4)×2.(必修3P127例3改編)擲兩顆均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于()A. B. C. D.解析所有基本事件的個(gè)數(shù)為6×636，點(diǎn)數(shù)之和為5的基本事件有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共4個(gè).故所求概率為P

4、.答案B3.(2019·北京卷)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為()A. B. C. D.解析甲被選中的概率為P.答案B4.(2019·長(zhǎng)沙模擬)在裝有相等數(shù)量的白球和黑球的口袋中放進(jìn)一個(gè)白球，此時(shí)由這個(gè)口袋中取出一個(gè)白球的概率比原來(lái)由此口袋中取出一個(gè)白球的概率大，則口袋中原有小球的個(gè)數(shù)為()A.5 B.6 C.10 D.11解析設(shè)原來(lái)口袋中白球、黑球的個(gè)數(shù)分別為n個(gè)，依題意，解得n5.所以原來(lái)口袋中小球共有2n10個(gè).答案C5.在集合中任取一個(gè)元素，則所取元素恰好滿(mǎn)足方程cos x的概率是_.解析基本事件總數(shù)為10，滿(mǎn)足方程cos x的基本事件數(shù)為2，

5、故所求概率為P.答案考點(diǎn)一簡(jiǎn)單的古典概型的概率【例1】 (1)(2019·山東卷)從分別標(biāo)有1，2，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A. B. C. D.(2)(2019·沈陽(yáng)模擬)將A，B，C，D這4名同學(xué)從左至右隨機(jī)地排成一排，則“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學(xué)”的概率是()A. B. C. D.解析(1)由題意得，所求概率P.(2)A，B，C，D 4名同學(xué)排成一排有A24種排法.當(dāng)A，C之間是B時(shí)，有2×24種排法，當(dāng)A，C之間是D時(shí)，有2種排法，所以所求概率為.答案(1)C(2)B規(guī)律方法

6、1.計(jì)算古典概型事件的概率可分三步：(1)計(jì)算基本事件總個(gè)數(shù)n；(2)計(jì)算事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m；(3)代入公式求出概率P.2.(1)用列舉法寫(xiě)出所有基本事件時(shí)，可借助“樹(shù)狀圖”列舉，以便做到不重、不漏.(2)利用排列、組合計(jì)算基本事件時(shí)，一定要分清是否有序，并重視兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的靈活應(yīng)用.【訓(xùn)練1】 (1)(2019·湖南衡陽(yáng)八中、長(zhǎng)郡中學(xué)等十三校二模)同學(xué)聚會(huì)上，某同學(xué)從愛(ài)你一萬(wàn)年十年父親單身情歌四首歌中選出兩首歌進(jìn)行表演，則愛(ài)你一萬(wàn)年未被選取的概率為()A. B. C. D.(2)(2019·昆明診斷)從集合A2，1，2中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為a，從集合B1，1，3

7、中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為b，則直線axyb0不經(jīng)過(guò)第四象限的概率為()A. B. C. D.解析(1)從四首歌中任選兩首共有C6種選法，不選取愛(ài)你一萬(wàn)年的方法有C3種，故所求的概率為P.(2)(a，b)所有可能的結(jié)果為(2，1)，(2，1)，(2，3)，(1，1)，(1，1)，(1，3)，(2，1)，(2，1)，(2，3)，共9種.由axyb0得yaxb，當(dāng)時(shí)，直線不經(jīng)過(guò)第四象限，符合條件的(a，b)的結(jié)果為(2，1)，(2，3)，共2種，直線axyb0不經(jīng)過(guò)第四象限的概率P.答案(1)B(2)A考點(diǎn)二復(fù)雜的古典概型的概率(典例遷移)【例2】 (經(jīng)典母題)某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A

8、中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；(2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，求參賽女生人數(shù)不少于2人的概率.解(1)由題意，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)沒(méi)有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為，因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1.(2)設(shè)“參賽的4人中女生不少于2人”為事件A，記“參賽女生有2人”為事件B，“參賽女生有3人”為事件C.則P(B)，P(C).由

9、互斥事件的概率加法公式，得P(A)P(B)P(C)，故所求事件的概率為.【遷移探究1】 求A中學(xué)至多有1人入選代表隊(duì)的概率.解設(shè)“A中學(xué)至多有1人入選代表隊(duì)”為事件A，“A中學(xué)無(wú)人入選代表隊(duì)”為事件B，“A中學(xué)有1人入選代表隊(duì)”為事件C，則P(B)，P(C)，由互斥事件的概率加法公式得P(A)P(B)P(C)，故所求事件的概率為.【遷移探究2】 求B中學(xué)入選代表隊(duì)的女生人數(shù)多于男生人數(shù)的概率.解設(shè)“B中學(xué)入選代表隊(duì)的女生人數(shù)多于男生人數(shù)”為事件A，則P(A)，即B中學(xué)入選代表隊(duì)的女生人數(shù)多于男生人數(shù)的概率為.規(guī)律方法1.求較復(fù)雜事件的概率問(wèn)題，解題關(guān)鍵是理解題目的實(shí)際含義，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概率

10、模型，必要時(shí)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的和，或者先求其對(duì)立事件的概率，進(jìn)而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蠼?2.注意區(qū)別排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.【訓(xùn)練2】 (1)(2019·亳州模擬)已知集合M1，2，3，4，N(a，b)|a，bM，A是集合N中任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OA與yx21有交點(diǎn)的概率是()A. B. C. D.(2)(2019·蘭州模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，P，Q，M，N分別是線段OA，OB，OC，OD的中點(diǎn).在A，P，M，C中任取一點(diǎn)記為E，在B，Q，N，D中任取一點(diǎn)記為F.設(shè)G為滿(mǎn)足向量的

11、點(diǎn)，則在上述的點(diǎn)G組成的集合中的點(diǎn)，落在平行四邊形ABCD外(不含邊界)的概率為_(kāi).解析(1)設(shè)A(a，b)，則直線OA的方程為yx，由得x2x10，由題意得40，即b2a或b2a，由于點(diǎn)A的坐標(biāo)可能取到的所有情況有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16種，其中滿(mǎn)足b2a或b2a的情況有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4種，故所求的概率為P.(2)易知基本事件的總數(shù)是4×416，在中，當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)G在平行四邊

12、形的邊界上，而其余情況的點(diǎn)G都在平行四邊形外，故所求的概率是1.答案(1)C(2)考點(diǎn)三古典概型與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的交匯問(wèn)題【例3】 (2019·黃岡質(zhì)檢)已知某中學(xué)高三理科班學(xué)生的數(shù)學(xué)與物理的水平測(cè)試成績(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)如下表：若抽取學(xué)生n人，成績(jī)分為A(優(yōu)秀)，B(良好)，C(及格)三個(gè)等級(jí)，設(shè)x，y分別表示數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)，例如：表中物理成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的共有14401064(人)，數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)锽等級(jí)且物理成績(jī)?yōu)镃等級(jí)的共有8人.已知x與y均為A等級(jí)的概率是0.07.(1)設(shè)在該樣本中，數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率是30%，求a，b的值；(2)已知a7，b6，求數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的人數(shù)比C等級(jí)的人數(shù)多的概率.解

13、(1)由題意知0.07，解得n200，×100%30%，解得a18，易知ab30，所以b12.(2)由14a28>10b34得a>b2，又ab30且a7，b6，則(a，b)的所有可能結(jié)果為(7，23)，(8，22)，(9，21)，(24，6)，共18種，而a>b2的可能結(jié)果為(17，13)，(18，12)，(24，6)，共8種，則所求概率P.規(guī)律方法求解古典概型與統(tǒng)計(jì)交匯問(wèn)題的思路(1)依據(jù)題目的直接描述或頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等統(tǒng)計(jì)圖表給出的信息，提煉需要的信息.(2)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與古典概型概率的正確計(jì)算.【訓(xùn)練3】 從某地高中男生中隨機(jī)抽取100名同學(xué)，

14、將他們的體重(單位：kg)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由圖中數(shù)據(jù)可知體重的平均值為_(kāi)kg；若要從體重在60，70)，70，80)，80，90三組內(nèi)的男生中，用分層抽樣的方法選取12人參加一項(xiàng)活動(dòng)，再?gòu)倪@12個(gè)人中選兩人當(dāng)正副隊(duì)長(zhǎng)，則這兩人體重不在同一組內(nèi)的概率為_(kāi).解析由頻率分布直方圖可知，體重在40，50)內(nèi)的男生人數(shù)為0.005×10×1005，同理，體重在50，60)，60，70)，70，80)，80，90內(nèi)的人數(shù)分別為35，30，20，10，所以體重的平均值為64.5.利用分層抽樣的方法選取12人，則從體重在60，70)，70，80)，80，90三組內(nèi)選取

15、的人數(shù)分別為12×6，12×4，12×2，則兩人體重不在同一組內(nèi)的概率為.答案64.5基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.集合A2，3，B1，2，3，從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是()A. B. C. D.解析從A，B中任意取一個(gè)數(shù)，共有C·C6種情形，兩數(shù)和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)兩種，P.答案C2.(2019·淮南一模)從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是()A. B. C. D.解析從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)不同的數(shù)有10種不同的

16、情況，而這2個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)，則2個(gè)數(shù)全為偶數(shù)，或2個(gè)數(shù)全為奇數(shù)，共有1C4(種)不同情況，由古典概型概率公式得所求概率P.答案B3.(2019·張家口期末)某同學(xué)先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為y，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)在直線2xy1上的概率為()A. B. C. D.解析先后投擲一枚骰子兩次，共有6×636種結(jié)果，滿(mǎn)足題意的結(jié)果有3種，即(1，1)，(2，3)，(3，5)，所以所求概率為.答案A4.(2019·鄭州模擬)一個(gè)三位自然數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a>b，b&l

17、t;c時(shí)稱(chēng)為“凹數(shù)”(如213，312等)，若a，b，c1，2，3，4，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)是“凹數(shù)”的概率是()A. B. C. D.解析選出一個(gè)三位數(shù)有A24種情況，取出一個(gè)凹數(shù)有C×28種情況，所以，所求概率為P.答案C5.從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為()A. B. C. D.解析從邊長(zhǎng)為1的正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中，隨機(jī)(等可能)取兩點(diǎn)，共有C10條線段，滿(mǎn)足該兩點(diǎn)間的距離小于1的有AO，BO，CO，DO共4條線段，則根據(jù)古典概型的概率公式可知隨機(jī)(等可能)取兩點(diǎn)，則該兩點(diǎn)間的距離小于1的概率P.答案

18、B二、填空題6.(2019·武漢模擬)小明忘記了微信登錄密碼的后兩位，只記得最后一位是字母A，a，B，b中的一個(gè)，另一位是數(shù)字4，5，6中的一個(gè)，則小明輸入一次密碼能夠成功登陸的概率是_.解析小明輸入密碼后兩位的所有情況有C·C12(種)，而能成功登陸的密碼只有一種，故小明輸入一次密碼能夠成功登陸的概率是.答案7.某校高三年級(jí)要從4名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽(每人被選中的機(jī)會(huì)均等)，則男生甲和女生乙至少有一人被選中的概率是_.解析男生甲和女生乙至少有一人被選中的概率是1.答案8.(2019·上海卷)某食堂規(guī)定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲

19、、乙兩同學(xué)各自所選的兩種水果相同的概率為_(kāi).解析甲同學(xué)從四種水果中選兩種，選法種數(shù)有C，乙同學(xué)的選法種數(shù)為C，則兩同學(xué)的選法種數(shù)為C·C，兩同學(xué)各自所選水果相同的選法種數(shù)為C，由古典概型概率計(jì)算公式可得，甲、乙兩同學(xué)各自所選的兩種水果相同的概率為P.答案三、解答題9.海關(guān)對(duì)同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè).地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來(lái)自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商

20、品來(lái)自相同地區(qū)的概率.解(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是，所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是：50×1，150×3，100×2.所以A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1，3，2.(2)從6件樣品中抽取2件商品的基本事件數(shù)為C15，每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.記事件D：“抽取的這2件商品來(lái)自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件數(shù)為CC4，所以P(D).故這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率為.10.袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，

21、直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止.每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的.(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；(2)求取球2次即終止的概率；(3)求甲取到白球的概率.解(1)設(shè)袋中原有n個(gè)白球，從袋中任取2個(gè)球都是白球的結(jié)果數(shù)為C，從袋中任取2個(gè)球的所有可能的結(jié)果數(shù)為C.由題意知從袋中任取2球都是白球的概率P，則n(n1)6，解得n3(舍去n2)，即袋中原有3個(gè)白球.(2)設(shè)事件A為“取球2次即終止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，P(A).(3)設(shè)事件B為“甲取到白球”，“第i次取到白球”為事件Ai，i1，2，3，4，5，因?yàn)榧紫热?，所以甲只可能在?次，第3次和第5次取到白球.所以P(B)P(A1A3A5)P(A1)P(A3)P(A5).能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.(2019·西安調(diào)研)安排甲、乙、丙、丁四人參加周一至