1231角平分線的性質(zhì)1

1、人教版八年級數(shù)學(上)12.3.1角平分線角平分線的性質(zhì)（的性質(zhì)（1）ADBCEADCB自學提綱1.角平分儀為什么能平分一個角？ P462.如何畫一個角的平分線？P464.角的平分線的性質(zhì)是什么？如何證明？用幾何符號如何表示？P496.課本中利用角平分線的性質(zhì)解決了一個什么實際問題？P503.如何通過作一個平角的平分線得到直線的垂線？P50練習5.證明一個幾何命題的步驟是什么？P49AOBC活活 動動1（對折對折）1、如圖，是一個角平分儀，、如圖，是一個角平分儀，其中其中AB=AD,BC=DC。將點將點A放在角的頂點放在角的頂點,AB和和AD沿著角的兩邊放下沿著角的兩邊放下,沿沿AC畫一畫一條

2、射線條射線AE,AE就是角平分線，就是角平分線，你能說明它的道理嗎你能說明它的道理嗎?活活 動動2ADBCE 如果前面活動中的紙片換成木板、如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？p2、證明： 在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知） DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共邊）（公共邊） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 對應邊相等）對應邊相等） AC平分平分DAB（角平分線的定義）（角平分線的定義）ADBCE 根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用

3、角平分儀或一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）量角器）OABCE活活 動動3NOMCENM已知已知： (如圖)求作求作： 的角平分線OC.在OMC和ONC中OM=ONMC=NCOC=OCOMC ONC(SSS)AOC=BOC即:OC 是的角平分線. 1、以O為圓心，適當長為半徑作弧，交OA于M，交OB于N。2、分別以M、N為圓心，大于 的長為半徑作弧，兩弧在AOB內(nèi)部交于點C。MN213、作射線OC，射線OC即為所求。作法作法：ABOCNM證明證明:連結(jié)MC,NC由作法知:1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通過上面的步驟，得到射線通過上面的步驟，得到射線OCOC以后，以后，把它反向延

4、長得到直線把它反向延長得到直線CDCD，直線，直線CDCD與直線與直線ABAB是什么關系？是什么關系？ 3 3結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點作這條直線的垂由此也得到過直線上一點作這條直線的垂線的方法。線的方法?；罨?動動4ABOCD (1)實驗實驗：將：將AOB對折，再折出一個直角對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？活活 動動5 (2)(2)猜想猜想: :角的平分線上的點到角的角的

5、平分線上的點到角的兩邊的距離相等兩邊的距離相等. .證明：證明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分線的定義）（角平分線的定義） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO（垂直的定義）（垂直的定義） 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已證）（已證） 1= 2 （已證）（已證） OP=OP （公共邊）（公共邊） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的對應邊相等）（全等三角形的對應邊相等） P PA AOOB BC CE EDD12已知：如圖，已知：如圖，OCOC平分平分AOBAOB，點，點P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于點于點

6、DD，PEOBPEOB于點于點E E求證求證: PD=PE: PD=PE活活 動動5(3)驗證猜想驗證猜想(4)得到角得到角平分線的平分線的性質(zhì)：性質(zhì)：活活 動動5 利用此性質(zhì)怎利用此性質(zhì)怎樣書寫推理過程樣書寫推理過程?(幾何符號語言）幾何符號語言） 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三（全等三角形的對應邊相等）角形的對應邊相等）P PA AOOB BC CE EDD12定理：在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等定理：在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等用符號語言表示為：用符號語言表示為：AOBPED121= 2,PD OA ，PE OBPD=PE.題設：一個

7、點在一個角的平分線上題設：一個點在一個角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等思考：思考：要在區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路，鐵要在區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處路距離相等且離公路，鐵路的交叉處米，應建在何處？（比例尺米，應建在何處？（比例尺 1：20 000）s公路鐵路DCs公路鐵路 如 圖 ： 在 如 圖 ： 在 A B C 中 ，中 ，C=90 AD是是BAC的平分的平分線，線，DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，上，BD=DF； 求證：求證：CF=EBACDEBF 分析分析:要證要證CF=EB,首先我們想到的是要證它首先我們想到的是

8、要證它們所在的兩個三角形全等們所在的兩個三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 現(xiàn)已有一個條件現(xiàn)已有一個條件BD=DF(斜邊相等斜邊相等),還需還需要我們找什么條件要我們找什么條件DC=DE (因為角的平分線的性質(zhì)因為角的平分線的性質(zhì)) 再用再用HL證明證明.試試自己寫試試自己寫證明。你一證明。你一定行！定行！證明證明: AD平分平分C, D是是AD上一點（已知）上一點（已知） 如圖：在如圖：在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的平分線，的平分線，DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，上，BD=DF； 求證：求證：CF=EBDEAB,DCAC（已知）（已知）在在RTCDF和和RTBDE 中中 B

9、D=DF （已知）（已知） DC=DE（已證）（已證）RT CDF RTFDB (HL)CFB（全等三角形對應邊相等）（全等三角形對應邊相等）ACDEBFDCD(角平分線的性質(zhì)）角平分線的性質(zhì)）BOACDPE1.如圖，如圖，OC是是AOB的平分線，的平分線， PD=PEPDOA，PEOB2.如圖如圖,在在ABC中，中，ACBC，AD為為BAC的平分線，的平分線，DEAB，AB7，AC3，求，求BE= CM.EDCBA43.在在RtABC中，中，BD平分平分ABC， DEAB于于E，則：，則：圖中相等的線段有圖中相等的線段有 ;相等的角有：相等的角有： 。哪條線段與哪條線段與DE相等？為什么？相等？為什么？若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的長和的長和AED的周長。的周長。EDCBABE=BC,DE=DCABD= CBDBED= AED= C68102.2.定理定理 角平分線上的點到這個角角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等的兩邊距離相等. .w OCOC是是AOBAOB的平分線的平分線, ,w P P是是OCOC上任意一點上任意一點PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是D,E(D,E(已知已知) )PD=PE(PD=PE(角平分線上的點到這個角角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等的兩邊距離相等).).小結(jié) 拓展OCB1A2PDE1