高中排列組合問題的解答技巧和記憶方法

1、選校網(wǎng)專業(yè)大全歷年分?jǐn)?shù)線上萬張大學(xué)圖片大學(xué)視頻院校庫排列組合問題的解題策略關(guān)鍵詞：排列組合,解題策略、相臨問題捆綁法例1 . 7名學(xué)生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？解：兩個(gè)元素排在一起的問題可用捆綁”法解決，先將甲乙二人看作一個(gè)元素與其他五人進(jìn)行排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共有種。評注：一般地：個(gè)人站成一排，其中某 個(gè)人相鄰，可用捆綁”法解決，共有 種排法。二、不相臨問題選空插入法例2 .7名學(xué)生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用插空”法，所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為：種.評注：若 個(gè)人站成一排，其中個(gè)人不相鄰，可用 插空”法解決，

2、共有 種排法。三、復(fù)雜問題一一總體排除法在直接法考慮比較難，或分類不清或多種時(shí)，可考慮用排除法”解決幾何問題必須注意幾何圖形本身對其構(gòu)成元素的 限制。例3.（1996年全國高考題）正六邊形的中心和頂點(diǎn)共 7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有多少個(gè)解：從7個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)的取法有 種，但其中正六邊形的對角線所含的中心和頂點(diǎn)三點(diǎn)共線不能組成三角形，有3條,所以滿足條件的三角形共有3 = 32個(gè).四、特殊元素一一優(yōu)先考慮法對于含有限定條件的排列組合應(yīng)用題，可以考慮優(yōu)先安排特殊位置，然后再考慮其他位置的安排。例4 .（1995年上海高考題）1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共

3、有不同的排法種.解：先考慮特殊元素（老師）的排法，因老師不排在兩端，故可在中間三個(gè)位置上任選一個(gè)位置，有種，而其余學(xué)生的排法有 種，所以共有 =72種不同的排法.例5.（ 2000年全國高考題）乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派5名隊(duì)員參加比賽，3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有種.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力隊(duì)員，有種排法，而其余7名隊(duì)員選出2名安排在第二、四位置，有種排法，所以不同的出場安排共有=252種.五、多元問題分類討論法對于元素多，選取情況多，可按要求進(jìn)行分類討論，最后總計(jì)。例6 . （2003年北

4、京春招）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（A ）A. 42B. 30C. 20D. 12解：增加的兩個(gè)新節(jié)目，可分為相臨與不相臨兩種情況：1.不相臨：共有 A62種；2.相臨：共有A22A61種。故不同插法的種數(shù)為：A62 +A22A6仁42，故選A。例7 . （ 2003年全國高考試題）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？（以數(shù)字作答）解：區(qū)域1與其他四個(gè)區(qū)域相鄰，而其他每個(gè)區(qū)域都與三個(gè)區(qū)域相鄰，因此，可以涂三種或四

5、種顏色.用三種顏色著色有=24種方法，用四種顏色著色有 =48種方法，從而共有24+48=72種方法，應(yīng)填72.六、混合問題一一先選后排法對于排列組合的混合應(yīng)用題，可采取先選取元素，后進(jìn)行排列的策略.例8.（ 2002年北京高考）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有（）A.種B.種C .種D.種解：本試題屬于均分組問題。則12名同學(xué)均分成3組共有 種方法，分配到三個(gè)不同的路口的不同的分配方案共有：種,故選A。例9 .( 2003年北京高考試題)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種

6、植方法共有()A. 24 種B. 18 種C . 12 種D . 6 種解:先選后排,分步實(shí)施.由題意，不同的選法有：C32種,不同的排法有：A31 A22,故不同的種植方法共有A31 -C32-A22=12，故應(yīng)選 C.七相同元素分配一一檔板分隔法例10 把10本相同的書發(fā)給編號為 1、2、3的三個(gè)學(xué)生閱覽室，每個(gè)閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。請用盡可能多的方法求解，并思考這些方法是否適合更一般的情況？本題考查組合問題。解：先讓2、3號閱覽室依次分得1本書、2本書；再對余下的7本書進(jìn)行分配，保證每個(gè)閱覽室至少得一本書，這相 當(dāng)于在7本相同書之間的6個(gè)空檔”內(nèi)插入兩個(gè)

7、相同 “I”一般可視為 隔板”)共有 種插法，即有15種分法。總之，排列、組合應(yīng)用題的解題思路可總結(jié)為：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類為加，分步為乘。具體說，解排列組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：(1) 以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素。(2) 以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置。(3) 先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列組合數(shù)。排列組合問題的解題方略湖北省安陸市第二高級中學(xué)張征洪排列組合知識，廣泛應(yīng)用于實(shí)際，掌握好排列組合知識，能幫助我們在生產(chǎn)生活中，解決許多實(shí)際應(yīng)用問題。同時(shí)排列組合問題歷來就是一個(gè)老大難的問題。因此

8、有必要對排列組合問題的解題規(guī)律和解題方法作一點(diǎn)歸納和總結(jié)，以期 充分掌握排列組合知識。首先，談?wù)勁帕薪M合綜合問題的一般解題規(guī)律：1）使用分類計(jì)數(shù)原理”還是分步計(jì)數(shù)原理”要根據(jù)我們完成某件事時(shí)采取的方式而定，可以分類來完成這件事時(shí)用分類計(jì)數(shù)原理”需要分步來完成這件事時(shí)就用分步計(jì)數(shù)原理”；那么，怎樣確定是分類，還是分步驟？分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨(dú)立完成所給的事件，而 分步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，相互獨(dú)立，彼此間交集為空集，并集為全集，不論哪類辦法都能將事情單獨(dú)完成，分 步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能

9、完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法 不影響后面的步驟采用的方法。2）排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)。3） 復(fù)雜的排列問題常常通過試驗(yàn)、畫樹圖”、框圖”等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結(jié)果的正確性 難于檢驗(yàn)，因此常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗(yàn)。4） 按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)性進(jìn)行分步是處理排列組合問題的基本思想方法，要注意至少、至多” 等限制詞的意義。5）處理排列、組合綜合問題，一般思想是先選元素 （組合），后排列，按元素的性質(zhì)進(jìn)行 分類”和按事件的過程 分步” 始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法，通過解題訓(xùn)練要注意積累和掌握分類

10、和分步的基本技能，保證每步獨(dú)立，達(dá)到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。6）在解決排列組合綜合問題時(shí)，必須深刻理解排列組合的概念，能熟練地對問題進(jìn)行分類，牢記排列數(shù)與組合數(shù)公式 與組合數(shù)性質(zhì)，容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是重復(fù)和遺漏計(jì)數(shù)?？傊?，解決排列組合問題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；正難 則反，間接排除等。其次，我們在抓住問題的本質(zhì)特征和規(guī)律，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解答的同時(shí)，還要注意講究一些解題策 略和方法技巧，使一些看似復(fù)雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。一.特殊元素（位置）的 優(yōu)先安排法”：對于特殊元素（位置）的排列組合問

11、題，一般先考慮特殊，再考慮其他。例1、用0 , 2, 3 , 4 , 5，五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）。24個(gè)B.30 個(gè) C.40 個(gè)D.60 個(gè)分析由于該三位數(shù)為偶數(shù)， 故末尾數(shù)字必為偶數(shù)， 又因?yàn)?按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1） 0排末尾時(shí)，有0不能排首位，故0就是其中的 特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，A42個(gè)，2） 0不排在末尾時(shí)，則有 C21 A31A31 個(gè)，由分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù)A42 + C21 A31A31=30 個(gè)，選B。.總體淘汰法：對于含否定的問題，還可以從總體中把不合要求的除去。如例1中，也可用此法解答：五個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有A53

12、個(gè)，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而且數(shù)字3,5也不能排末位,這兩種排法要排除,故有 A53-3A42+選校網(wǎng) 專業(yè)大全歷年分?jǐn)?shù)線上萬張大學(xué)圖片大學(xué)視頻院校庫選校網(wǎng)專業(yè)大全歷年分?jǐn)?shù)線上萬張大學(xué)圖片大學(xué)視頻院校庫選校網(wǎng) 專業(yè)大全歷年分?jǐn)?shù)線上萬張大學(xué)圖片大學(xué)視頻院校庫選校網(wǎng)專業(yè)大全歷年分?jǐn)?shù)線上萬張大學(xué)圖片大學(xué)視頻院校庫C21A31=30 個(gè)偶數(shù)。選校網(wǎng) 專業(yè)大全歷年分?jǐn)?shù)線上萬張大學(xué)圖片大學(xué)視頻院校庫選校網(wǎng)專業(yè)大全歷年分?jǐn)?shù)線上萬張大學(xué)圖片大學(xué)視頻院校庫三合理分類與準(zhǔn)確分步含有約束條件的排列組合問題，按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到 分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。四.相鄰問題用捆

13、綁法：在解決對于某幾個(gè)元素要求相鄰的問題時(shí)，先整體考慮，將相鄰的元素 捆綁”起來，看作一 大”元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法.例2、有8本不同的書；其中數(shù)學(xué)書 3本，外語書2本，其它學(xué)科書3本.若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué) 書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有（）種.（結(jié)果用數(shù)值表示）解：把3本數(shù)學(xué)書 捆綁"在一起看成一本大書，2本外語書也 捆綁"在一起看成一本大書，與其它 3本書一起看作5 個(gè)元素，共有A55種排法；又3本數(shù)學(xué)書有A33種排法，2本外語書有A22種排法；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有排法A55A33 A22=1

14、440（種）.注：運(yùn)用捆綁法解決排列組合問題時(shí)，一定要注意捆綁”起來的大元素內(nèi)部的順序問題.五不相鄰問題用 插空法”：不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開解決此類問題可以先將 其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法.例3、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有 （）個(gè).（用數(shù)字作答）解：由于要求1與2相鄰，2與4相鄰，可將1、2、4這三個(gè)數(shù)字捆綁在一起形成一個(gè)大元素，這個(gè)大元素的內(nèi)部中間只能排2，兩邊排1和4，因此大元素內(nèi)部共有 A22種排法，再

15、把5與6也捆綁成一個(gè)大元素，其內(nèi)部也有A22種排法，與數(shù)字3共計(jì)三個(gè)元素，先將這三個(gè)元素排好，共有A33種排法，再從前面排好的三個(gè)元素形成的間隙及兩端共四個(gè)位置中任選兩個(gè)，把要求不相鄰的數(shù)字 7和8插入即可，共有A42種插法，所以符合條件的八位數(shù)共有A22 A22A33 A42 = 288（種）.注：運(yùn)用 插空法”解決不相鄰問題時(shí)，要注意欲插入的位置是否包含兩端位置.六順序固定用 除法”：對于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后 用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。例4、6個(gè)人排隊(duì)，甲、乙、丙三人按甲-乙-丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種？分析：不考慮附

16、加條件，排隊(duì)方法有A66種，而其中甲、乙、丙的 A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有 A66 -A33 =120 種。（或 A63 種）例5、4個(gè)男生和3個(gè)女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。解：先在7個(gè)位置中任取4個(gè)給男生，有A74種排法，余下的3個(gè)位置給女生，只有一種排法，故有A74種排法。（也 可以是 A77 -A33種）七分排問題用 直排法”：把幾個(gè)元素排成若干排的問題，可采用統(tǒng)一排成一排的排法來處理。例6、7個(gè)人坐兩排座位，第一排 3個(gè)人，第二排坐4個(gè)人，則不同的坐法有多少種?分析：7個(gè)人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件，

17、故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有A77種。八逐個(gè)試驗(yàn)法：題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用試驗(yàn)逐步尋找規(guī)律。例7.將數(shù)字1, 2, 有（ ）A. 6B.9C.11D.233 , 4填入標(biāo)號為1 , 2, 3 , 4的方格中，每方格填1個(gè)，方格標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)選校網(wǎng) 專業(yè)大全歷年分?jǐn)?shù)線上萬張大學(xué)圖片大學(xué)視頻院校庫選校網(wǎng)專業(yè)大全歷年分?jǐn)?shù)線上萬張大學(xué)圖片大學(xué)視頻院校庫選校網(wǎng) 專業(yè)大全歷年分?jǐn)?shù)線上萬張大學(xué)圖片大學(xué)視頻院校庫選校網(wǎng)專業(yè)大全歷年分?jǐn)?shù)線上萬張大學(xué)圖片大學(xué)視頻院校庫解：第一方格內(nèi)可填 方法；若第二方格填2或3或4，如第一填2，則第二方格可填1或3或4，若第二方格內(nèi)填1,

18、則后兩方格只有一種 3或4，后兩方格也只有一種填法。一共有9種填法，故選B九、構(gòu)造模型隔板法” 對于較復(fù)雜的排列問題，可通過設(shè)計(jì)另一情景，構(gòu)造一個(gè)隔板模型來解決問題。例8、方程a+b+c+d=12 有多少組正整數(shù)解？分析：建立隔板模型：將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個(gè)間隙中任意插入 3塊隔板，把球分成4堆，每一種分法所得 4堆球的各堆球的數(shù)目，對應(yīng)為 a、b、c、d的一組正整解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有 C113 .又如方程a+b+c+d=12非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，可用此法解。十正難則反一一排除法對于含至多”或至少”的排列組合問題，若直接解答多需進(jìn)行復(fù)雜討論，可以考慮總體去雜”，即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉，從而計(jì)算出符合條件的排列組合數(shù)的方法.例9、從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有（）種.A. 140 種B . 80 種C . 70 種D . 35 種解：在被取出的3臺(tái)中，不含甲型或不合乙型的