動點到兩定點的距離最值

1、.淺析動點到兩個定點的距離之和（差）的最值一、直線上的動點到直線外兩個定點的距離之和（差）的最值例1（1）已知點A(1，1)，點B(3，-2)，P是x軸上任意一點，則PA+PB的最小值為，此時點P的坐標為；（2）已知點A(1，1)，點B(3，2)，P是x軸上任意一點，則PB-PA的最大值為，此時點P的坐標為解析：（1）如圖1，當點P在x軸上運動時，PA+PB?AB(當且僅當A，P，B三點共線時等號成立) (PA+PB)min=AB=此時，點P的坐標為（2）如圖2，當點P在x軸上運動時，PB- PA=AB(當且僅當A，P，B三點共線時等號成立)(PB-PA)max=AB=此時，點P的坐標為變題：

2、（1）已知點A(1，1)，點B(3，2)，P是x軸上任意一點，則PA+PB的最小值為，此時點P的坐標為；解析：（1）如圖3，作點B關(guān)于x軸的對稱點B（3，-2），則有PB=PB當點P在x軸上運動時，PA+PB=PA+PB=AB(當且僅當A，P，B三點共線時等號成立)(PA+PB)min=AB?=此時，點P的坐標為（2）已知點A(1，1)，點B(3，-2)，P是x軸上任意一點，則PB-PA的最大值為，此時點P的坐標為解析：（2）如圖4，作點B關(guān)于x軸的對稱點B，則有PB=PB當點P在x軸上運動時，PB- PA= PB-PAAB(當且僅當A，P，B三點共線時等號成立)(PB-PA)max=AB=此

3、時，點P的坐標為歸納：當兩定點位于直線的異側(cè)時可求得動點到兩定點的距離之和的最小值；當兩定點位于直線的同側(cè)時可求得動點到兩定點的距離之和的絕對值的最大值若不滿足時，可利用對稱性將兩定點變換到直線的同（異）側(cè)，再進行求解如變題的方法例2函數(shù)的值域為解析：將函數(shù)進行化簡得：即為動點P（x，0）到兩定點A(1，1)、B（3，-2）的距離之和由例1可知：該值域為二、圓錐曲線上的動點到兩個定點的距離之和（差）的最值（一）直接求解或利用橢圓（或雙曲線）的定義進行適當轉(zhuǎn)化后求解例3（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是橢圓上的動點，則MA-MB的范圍是；解析：(1)如圖5，在DMAB中有MA-MB<

4、;AB，當M，A，B三點共線且MB>MA即點M位于M2處時，有MA-MB=AB，所以MA-MB=AB；同理在DMAB中有MB-MA=AB，即MB-MA=-AB(當點M位于M1處時等號成立)綜上所述：-ABMA-MBAB （2）已知A(4，0)和B(2，2)，M是橢圓上的動點，則MA+MB的最大值是解析：(2)如圖6，因為點A恰為橢圓的右焦點，所以由橢圓的定義可得MA+MB=10-MF+MB（F為橢圓的左焦點），同（1）可得MB-MFBF(當且僅當點M位于點M4處時，等號成立)所以(MA+MB)max=(10-MF+MB)max=10+BF=10+點評：因為點A，B都在橢圓的內(nèi)部（即兩定點

5、都在曲線的同側(cè)），故可直接求出動點M到兩定點A，B的距離之差的最值；若要求動點M到兩定點A，B的距離之和的最值（其中A恰為焦點），需要利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為動點M到兩定點F，B的距離之差的最值（點F為另一焦點）例4(1)已知F是雙曲線的左焦點，A(4，1)，P是雙曲線右支上的動點，則PA+PF的最小值為；解析：(1)如圖7，在DPAB中有PA+PF>AB，當P，A，F(xiàn)三點共線即點P位于P1處時，有PA+PF=AF，所以(PA+PF)min=AF=(2)已知F是雙曲線的左焦點，A(1，4)，P是雙曲線右支上的動點，則PA+PF的最小值為解析：(2)如圖8，設(shè)F2是雙曲線的右焦點，由雙曲線的定

6、義可得PA+PF=PA+2a+PF2=8+ PA+PF2=8+AF2(當P，A，F(xiàn)2三點共線即點P位于P2處時等號成立)，所以(PA+PF)min=8+AF2=13點評：本題需要特別關(guān)注點與雙曲線的位置關(guān)系，兩定點一定要在動點的軌跡（曲線）的異側(cè)（二）利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義將圓錐曲線上的動點到焦點的距離與到相應(yīng)準線的距離進行互化后進行求解例5（1）已知點A(2，2)，F(xiàn)是橢圓的右焦點，P是橢圓上的動點，則PF+PA的最小值是，此時，點的坐標為；解析：如圖9，設(shè)點P到右準線的距離為PP?，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，即(當且僅當A，P，P三點共線，即點P位于點P1處時取等號)此時點P的坐標為P(，

7、2).（2）已知點A(5，2)，F(xiàn)是雙曲線的右焦點，P是雙曲線上的動點，則PF+PA的最小值是，此時點的坐標為解析：如圖10，設(shè)點P到右準線的距離為PP?，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，即(當且僅當A，P，P三點共線，即點P位于點P1處時取等號)此時點P的坐標為P(，2)點評：此類最顯著的特征是動點與焦點距離前有系數(shù)，可以利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義將動點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到相應(yīng)準線的距離例6（1）拋物線的焦點為F，A(4，-2)為一定點，在拋物線上找一點M，當MA+MF為最小值時，點M的坐標為；解析：如圖11，為拋物線的準線，MM為點M到準線的距離利用拋物線的定義：MF=MM，可得MA+MF= MA+MMAM（當且僅當A，M，M三點共線時等號成立，即當點M在M處時等號成立）此時點M的坐標為M(，-2)（2）P為拋物線上任一點，A(3，4)為一定點，過P作PP垂直y軸于點P，則AP+ PP的最小值為解析：如圖12，延長PP交拋物線的準線于點P´´，由拋物線的定義：PP´=PF，所以AP+ PP´= AP+ PP´&#