空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算PPT課件

1、2021/3/912021/3/921空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)2021/3/932空間兩點(diǎn)間的距離公式空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則，則AB ，|AB|(x2x1，y2y1，z2z1)2021/3/943.若若A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2cos，2sin，1)， B(3cos，3sin，1)，則，則| |的取值范圍是的取值范圍是 () A.0,5 B.1,5 C.(1,5) D.1,25解析：解析： (3cos2cos，3sin2sin，0)，1cos()1，| |1,5

2、.答案：答案：B2021/3/95A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向線段所在的有向線段所在直線垂直于平面直線垂直于平面 ，則稱這個(gè)向量，則稱這個(gè)向量垂直于垂直于平平面面 ,記作記作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n n n n 給定一點(diǎn)給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量和一個(gè)向量 ,那么那么過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A,以向量以向量 為法向量的平面是為法向量的平面是完全確定的完全確定的.n n 幾點(diǎn)注意：幾點(diǎn)注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一個(gè)平面的所有法向量都一個(gè)平面的所有法向量都互相平行互相平行;3.向量向量 是平面的法

3、向量，向是平面的法向量，向量量 是與平面平行或在平面是與平面平行或在平面內(nèi)，則有內(nèi)，則有0n m n m n l2021/3/96垂直關(guān)系：垂直關(guān)系：2021/3/97例例2 已知平面已知平面 經(jīng)過(guò)三點(diǎn)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),試求平面試求平面 的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量. 解解: A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0)設(shè)平面設(shè)平面 的法向量是的法向量是依題意依題意,有有 ,即即 解得解得z=0且且x=2y,令令y=1,則則x=2平面平面 的一個(gè)法向量是的一個(gè)法向量是 (1, 2, 4),(2, 4, 3)ABAC ( , , )

4、nx y z 00n ABn AC 且且2402430 xyzxyz (2,1,0)n 2021/3/98問(wèn)題：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 設(shè)出平面的法向量為),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐標(biāo)兩個(gè)不共線的找出（求出）平面內(nèi)的00,) 3(bnanzyx方程組的關(guān)于根據(jù)法向量的定義建立個(gè)解，即得法向量。解方程組，取其中的一)4(2021/3/992021/3/910問(wèn)題：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 設(shè)出平面的法向量為),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐標(biāo)兩個(gè)不共線的找出（求出）平面內(nèi)的00,) 3(bnanzyx方程組的

5、關(guān)于根據(jù)法向量的定義建立個(gè)解，即得法向量。解方程組，取其中的一)4(2021/3/911(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 單位法向量。nxyz解：設(shè)平面的法向量為（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz 則，（ ， ， ），（ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33 3ABC求平面的單位法向量為， ，）2021/3/9122021/3/913直直線線l與與平平面面 所所成成的的角角為為( (02 ) ), ,sina ua u ； 六、夾角：六、夾角

6、：2021/3/914例2:(1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1 解： (1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，則：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1),0 , 1 , 0(11CB)0 , 1 , 1 (),1 , 0 , 1 (1ACAB設(shè)平面AB1C的法向量為n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)33C001 ACnABn,則故所求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值為3331010111111,cosCBnCBnCBn2

7、021/3/915 如圖，已知：直角梯形如圖，已知：直角梯形OABC中，中，OABC，AOC=90，SO平面平面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2.求求: :異面直線異面直線SA和和OB所成的角的余弦值；所成的角的余弦值； OS與平面與平面SAB所成角所成角的正弦值；的正弦值；A（2，0，0）；于是我們有OABCS=（2，0，-1）；SA=（-1，1，0）；AB=（1，1，0）；OB=（0，0，1）；OSB（1，1，0）；S（0，0，1），則O（0，0，0）；解：以o為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示xyzC（0，1，0）；510252OBSAOBSAOBSA,cos).1 (所

8、以異面直線SA與OB所成的角的余弦值為5102021/3/916020zxyx取x=1，則y=1，z=2；故)2 , 1 , 1 (n（2）設(shè)平面SAB的法向量),(zyxn 顯然有0, 0SAnABn36612,cossinnOSnOSnOS2021/3/917ABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN|sin|nADnAD解：如圖建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則(0,0,0),A)6 , 2 , 6(M可得由, 51NA)3 , 4 , 0(N).3 , 4 , 0(),6 , 2 , 6(NAMA由的法向量設(shè)平面),(zyxn 00nNAnMA0340626zyzyx即在長(zhǎng)方體在

9、長(zhǎng)方體 中，中，ADANM求與平面所成的角的正弦值.例例1：1111ABCDABC D1112,MBCB M 為上的一點(diǎn),且1NAD點(diǎn) 在線段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADAB2021/3/918ABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34, 1 , 1 (n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),AD 又又ADANM與平面所成角的正弦值是34343|sin|nDAnDA在長(zhǎng)方體在長(zhǎng)方體 中，中，ADANM求與平面所成的角的正弦值.例例1：1111ABCDABC D1112,MBCB M 為上的一點(diǎn),且1NAD點(diǎn) 在線段上，15,AN

10、, 61AA, 8, 6ADAB2021/3/919例二：題型二：線面角題型二：線面角在長(zhǎng)方體 中，1111ABCDABC D58,ABAD= ，14,AA112,為上的一點(diǎn),且MBCB M1點(diǎn) 在線段上，NAD1.ADAN1.(1)求證：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD1(0,8, 4), AD（2）求與平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos, AD AD2 55與平面所成角的正弦值是ADANM2 552021/3/920例例2090 ,Rt ABCBCAABC中，現(xiàn)將沿著111ABCABC平面的法向量平移到位置

11、，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中點(diǎn)、 ，11BDAF求與所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F2021/3/921xyz解：以點(diǎn)解：以點(diǎn)C C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示，設(shè)如圖所示，設(shè) 則：則： Cxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：所以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD A1AB1BC1C1D1F11304.105342所以 與 所成角的余弦值為1BD1AF30102021/3

12、/9225.正方體正方體ABCDA1B1C1D1中，直線中，直線BC1與平面與平面A1BD所成所成角的余弦值為角的余弦值為.解析：解析：如圖，建立直角坐如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)， (1,0,1)， (1,1,0)， (1,0,1).設(shè)設(shè)n(x，y，z)為平面為平面A1BD的法向量的法向量2021/3/923則則 取取n(1，1，1)，設(shè)直線設(shè)直線BC1與平面與平面A1BD所成角為所成角為，則則sin|cosn， | .cos .答案：答案：2021/3/924【鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)】

13、1 三棱錐三棱錐P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E為為PC中點(diǎn)中點(diǎn) ,則則PA與與BE所成角所成角的余弦值為的余弦值為_(kāi) . 2 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中, A1A=2, AB=AC=1, 則則AC1與截面與截面BB1CC1所成所成角的余弦值為角的余弦值為_(kāi) . 090BAC090BAC6631 01 02021/3/9252021/3/926 如圖所示，在四棱錐如圖所示，在四棱錐PABCD中，中，PC平面平面ABCD，PC2，在四邊，在四邊形形ABCD中，中，BC90，AB4，CD1，點(diǎn)，點(diǎn)M在在PB上，上，PB4PM，PB與平面與平面ABCD成成30的角的角.

14、(1)求證：求證：CM平面平面PAD；(2)求證：平面求證：平面PAB平面平面PAD.2021/3/927思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥2021/3/928課堂筆記課堂筆記以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為為x軸，軸，CD為為y軸，軸，CP為為z軸建立如圖所示軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.PC平面平面ABCD，PBC為為PB與平面與平面ABCD所成的角，所成的角，PBC30.PC2，BC2 ，PB4.2021/3/929D(0,1,0)，B(2 ，0,0)，A(2 ，4,0)，P(0,0,2)，M( ，0， )， (0，1,2)， (2 ，3,0)， ( ，0， )，2021/3

15、/930(1)令令n(x，y，z)為平面為平面PAD的一個(gè)法向量，則的一個(gè)法向量，則令令y2，得，得n( ，2,1).n 201 0，n ，又，又CM 平面平面PAD，CM平面平面PAD.2021/3/931(2)取取AP的中點(diǎn)的中點(diǎn)E，則則E( ，2,1)， ( ，2,1).PBAB，BEPA.又又 ( ，2,1)(2 ，3,0)0，2021/3/932 ，BEDA，又，又PADAA.BE平面平面PAD，又又BE平面平面PAB，平面平面PAB平面平面PAD.2021/3/933小結(jié)：小結(jié)：1.異面直線所成角： coscos, CD AB|2.直線與平面所成角： sincos, n AB|AB

16、CD1DABOn2021/3/9341.若異面直線若異面直線l1和和l2的方向向量分別為的方向向量分別為v1和和v2，它們所，它們所 成的角為成的角為，則，則cos|cosv1，v2|.2.利用空間向量方法求直線與平面所成的角，可以有利用空間向量方法求直線與平面所成的角，可以有 兩種辦法：兩種辦法：2021/3/935分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量， 轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角或其補(bǔ)角)；通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與 平面的法向量所夾的銳角

17、，取其余角就是斜線和平平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平 面所成的角面所成的角.2021/3/936lamb，的夾角為的夾角為 ml,|cosbaba lamb 2021/3/937 ula，的的夾夾角角為為 , l|)2cos(uaua ula sina ua u 2021/3/9385.如圖，在棱長(zhǎng)為如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體的正方體ABCD A1B1C1D1中，中，M和和N分別是分別是A1B1和和BB1 的中點(diǎn)，那么直線的中點(diǎn)，那么直線AM與與CN所成角的所成角的 余弦值為余弦值為.2021/3/939解析：解析：建立如圖所示的坐標(biāo)系，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則則A(1,0,0)，

18、M(1， ，1)，C(0,1,0)，N(1,1， ，)則則 (0， ，1)， (1,0， ).cos . 直線直線AM與與CN所成角的余弦值為所成角的余弦值為 .答案：答案：2021/3/940 (2009全國(guó)卷全國(guó)卷)如圖，如圖，直三棱柱直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABAC，D、E分別為分別為AA1、B1C的中的中點(diǎn)，點(diǎn)，DE平面平面BCC1.(1)證明：證明：ABAC；(2)設(shè)二面角設(shè)二面角ABDC為為60，求，求B1C與平面與平面BCD所成的角所成的角的大小的大小.2021/3/941思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥2021/3/942課堂筆記課堂筆記(1)證明：以證明：以A為坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，原點(diǎn)

19、，AB為為x軸，軸，AC為為y軸，軸，AA1為為z軸軸.建立如圖所示的直角坐標(biāo)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系系A(chǔ)xyz.2021/3/943設(shè)設(shè)B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，則，則B1(1,0,2c)，E( ， ，c).于是于是 ( ， ，0)， (1，b,0).由由DE平面平面BCC1知知DEBC， 0，求得求得b1，所以所以ABAC.2021/3/944(2)設(shè)平面設(shè)平面BCD的法向量的法向量 (x，y，z)，則則 0， 0.又又 (1,1,0)， (1,0，c)，故，故令令x1，則，則y1，z ， (1,1， ).又平面又平面ABD的法向量的法向量 (0,1,0).20

20、21/3/945由二面角由二面角ABDC為為60知，知， 60，故故 cos60，求得，求得c .于是于是 (1,1， )， (1，1， )，Cos ， 60.所以所以B1C與平面與平面BCD所成的角為所成的角為30.2021/3/946解：解：由本例由本例(2)知，知， (1,1， )，又又B(1,0,0)，A1(0,0， )， (1,0， ). 1 1，又又| |2，| | ，cos 異面直線異面直線B1C與與BA1所成角的余弦值為所成角的余弦值為 .在本例在本例(2)的條件下，能否求出異面直線的條件下，能否求出異面直線B1C與與BA1所成角的余弦值所成角的余弦值.2021/3/94720

21、21/3/948A. B. C. D.練習(xí)在棱長(zhǎng)為練習(xí)在棱長(zhǎng)為a的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1中，中，M是是AA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)的中點(diǎn)，則點(diǎn)A1到平面到平面MBD的距離是的距離是 ()2021/3/949解析：解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，B(a，a,0)，M(a,0， a)，A1(a，0，a)DB(a，a,0)，DM(a,0， a)，A1M(0,0， a)設(shè)平面設(shè)平面MBD的法向量的法向量n(x，y，z)，則，則2021/3/950 令令x1，得，得n(1，1，2)，A1到平面到平面MBD的距離的距離答案：答案： A2021/

22、3/951 利用向量法求點(diǎn)面距，其步驟如下：利用向量法求點(diǎn)面距，其步驟如下：1求出該平面的一個(gè)法向量；求出該平面的一個(gè)法向量；2找出過(guò)該點(diǎn)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；找出過(guò)該點(diǎn)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；3求出法向量與斜線段所對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除求出法向量與斜線段所對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除 以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離，如圖以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離，如圖2021/3/952點(diǎn)點(diǎn)P到平面到平面的距離的距離2021/3/953 (2009茂名模擬茂名模擬)如圖所示，在四面體如圖所示，在四面體ABCD中，中，O、E分別是分別是BD、BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CACB

23、CDBD2，ABAD (1)求證：求證：AO平面平面BCD；(2)求異面直線求異面直線AB與與CD所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)求點(diǎn)E到平面到平面ACD的距離的距離2021/3/954思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥2021/3/955課堂筆記課堂筆記(1)證明：連結(jié)證明：連結(jié)OC，BODO，ABAD，AOBD.BODO，BCCD，COBD.在在AOC中，由已知可得中，由已知可得AO1，CO而而AC2，AO2CO2AC2.AOC90，即，即AOOC.BDOCO，AO平面平面BCD.2021/3/956(2)以以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，

24、D(1,0,0)，C(0， ，0)，A(0,0,1)，E( ， ，0)，異面直線異面直線AB與與CD所成角的所成角的余弦值為余弦值為=(-1，0，1)2021/3/957(3)設(shè)平面設(shè)平面ACD的法向量為的法向量為n(x，y，z)，則，則令令y1，得，得n( ，1， )是平面是平面ACD的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量又又EC( ，0)，點(diǎn)點(diǎn)E到平面到平面ACD的距離的距離h2021/3/9582021/3/959 利用空間向量解決空間中線面位置關(guān)系的論利用空間向量解決空間中線面位置關(guān)系的論證、空間中各種角的求解問(wèn)題，以代數(shù)運(yùn)算代替復(fù)證、空間中各種角的求解問(wèn)題，以代數(shù)運(yùn)算代替復(fù)雜的空間的想象，給解決立

25、體幾何問(wèn)題帶來(lái)了鮮活雜的空間的想象，給解決立體幾何問(wèn)題帶來(lái)了鮮活的方法另外，空間向量還可以用來(lái)解決許多探索的方法另外，空間向量還可以用來(lái)解決許多探索性問(wèn)題，這類問(wèn)題具有一定的思維深度，更能考查性問(wèn)題，這類問(wèn)題具有一定的思維深度，更能考查學(xué)生的能力，因此其已成為高考命題的熱點(diǎn)題型學(xué)生的能力，因此其已成為高考命題的熱點(diǎn)題型2021/3/960 考題印證考題印證 (2009福建高考福建高考)如圖，四邊形如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為1的正方形，的正方形，MD平平面面ABCD，NB平面平面ABCD，且，且MDNB1，E為為BC的中點(diǎn)的中點(diǎn) (1)求異面直線求異面直線NE與與AM所成角的余弦值；所

26、成角的余弦值； (2)在線段在線段AN上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)S，使得，使得ES平面平面AMN？若存？若存在，求線段在，求線段AS的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由2021/3/961【解解】(1)如圖，以如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系系Dxyz.依題意，易得依題意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E( ，1,0)(2分分)2021/3/962所以異面直線所以異面直線NE與與AM所成角的余弦值為所成角的余弦值為 (6分分)=(-1,0,1) (3分分)(5分分)2021/3/963(2)假設(shè)在線段假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)上存在點(diǎn)S，使得，使得ES平面平面AMN.AN(0,1,1)，可設(shè)，可設(shè)ASAN(0，)，又又EA( ，1,0)， ，1，)(8分分)2021/3/964由由ES平面平面AMN，得，得即即 (9分分)故故 ，此時(shí)，此時(shí)AS(0， )，|AS| (10分分)經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)AS 時(shí)，時(shí)，ES平面平面AMN.(11分分)故線段故線段AN上存在點(diǎn)上存在點(diǎn)S，使得，使得