實(shí)變函數(shù)復(fù)習(xí)提綱

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 實(shí) 變 函 數(shù) 復(fù) 習(xí) 提 綱2006-7-14第一章 集合一、基本概念：集合、并集、交集、差集、余集；可數(shù)集合、不可數(shù)集合；映射、一一映射（對(duì)應(yīng)）；集合的對(duì)等，基合的基數(shù)（勢(shì)、濃度）二、基本理論：1、集合的運(yùn)算性質(zhì)：并、交差、余集的運(yùn)算性質(zhì)；德一摩根公式；2、集合對(duì)等的性質(zhì)；3、可數(shù)集合的性質(zhì)、基數(shù)：、（0）；4、不可數(shù)數(shù)集合的基數(shù)：（>a>0）三、基本題目1、集合對(duì)等的判定、求基合的基數(shù)例 證明=（1，1）和=（，+）是對(duì)等的，并求.證：作映射：，（1，1），其值域?yàn)?（，+）、因，在（1，1）是嚴(yán)格單調(diào)增的，：是（1，1）到上的一一對(duì)應(yīng), 即 I=

2、 (-1,1)(=R由對(duì)等的定義知：.，又，.2 集合的運(yùn)算，德。摩根律的應(yīng)用3 可數(shù)數(shù)集合的判定 第二章 點(diǎn)集一、基本概念：距離、度量空間、維歐氏空間；聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn),開核、導(dǎo)集、閉包；開集、閉集、完備集；構(gòu)成區(qū)間二、基本理論1、開集的運(yùn)算性質(zhì) ； 2、閉集的運(yùn)算性質(zhì)3、直線上開集的構(gòu)造； 4、直線上閉集的構(gòu)造三、基本題目1 求集合的開核、導(dǎo)集、閉包，判定開集、閉集例 設(shè)E為0，1上的有理數(shù)點(diǎn)的全體組成的集1）求，；2）判定E是開集還是閉集，為什么？解：1）對(duì)于，的任意鄰域內(nèi)有無數(shù)個(gè)無理點(diǎn),，不是E的內(nèi)點(diǎn)，由的任意性，知E無內(nèi)點(diǎn),.對(duì)于，內(nèi)都有無數(shù)多個(gè)有理點(diǎn)，即有無數(shù)多個(gè)E的點(diǎn),為E的聚點(diǎn)

3、.又在0，1外的任一點(diǎn)都不是E的聚點(diǎn). . ， .2）E不是開集，也不是閉集.因?yàn)?，而E是非空的，E不是開集.因?yàn)?，?，1中的無理點(diǎn)不在E內(nèi)，即，由定義知，E不是閉集. 2 直線上開集、閉集的構(gòu)造第三章 測(cè)度論引入：把區(qū)間的長(zhǎng)度、平面圖形的面積、空間立體圖形的體積推廣到點(diǎn)集的度量測(cè)度 一、基本概念：勒貝格外測(cè)度，L測(cè)度，可測(cè)集，可測(cè)集類1勒貝格外測(cè)度的定義：設(shè)E為中任一點(diǎn)集，對(duì)于每一列覆蓋E的開區(qū)間，作出它的體積和（可以等于+，不同的區(qū)間列一般有不同的），所有這一切的組成一個(gè)下方有界的數(shù)集，它的下確量（由E完全確定）稱為E的勒貝格外測(cè)度，簡(jiǎn)稱外測(cè)度或外測(cè)度，記為，即： 注：由定義1知：中的任

4、一點(diǎn)集都有外測(cè)度（一個(gè)非負(fù)數(shù)）.2勒貝格測(cè)度、可測(cè)集的定義：設(shè)E為中點(diǎn)集，若對(duì)任一點(diǎn)集T都有（1）則稱E為L(zhǎng)可測(cè)的，這時(shí)E的L外測(cè)度就稱為E的L測(cè)度，記為，條件（1）稱為卡拉泰奧多里條件，也簡(jiǎn)稱卡氏條件.L可測(cè)集的全體記為.3可測(cè)集類1）零測(cè)度集類：2）一切區(qū)間I（開、閉、半開半閉）都是可測(cè)集合，且3）凡開集、閉集皆可測(cè)4）凡博雷爾集都是可測(cè)的 二、基本理論1勒貝格外測(cè)度的性質(zhì)（1）0，當(dāng)E為空集時(shí)=0（即）；（非負(fù)性）；（2）設(shè)AB，則；（單調(diào)性）（3）；（次可數(shù)可加性）2 勒貝格測(cè)度、可測(cè)集的性質(zhì)及可測(cè)性1）（定理1）集合E可測(cè)對(duì)任意的AE，BCE，總有2）余集的可測(cè)性：S可測(cè)CS可測(cè)3）

5、并集的可測(cè)性：若S1，S2都可測(cè)，則S1S2也可測(cè)；4）交集的可測(cè)性：若S1，S2都可測(cè)，則S1S2也可測(cè)；5）差集的可測(cè)性：若S1，S2都可測(cè)，則S1S2也可測(cè)；6）可列可加性：設(shè)是一列互不相交的可測(cè)集，則也是可測(cè)的，且7）可列交的可測(cè)性：設(shè)是一列可測(cè)集合，則也是可測(cè)集合；8）遞增的可測(cè)集列的極限的測(cè)度：設(shè)是一列遞增的可測(cè)集合：，令S= 則9）遞減的可測(cè)集列的極限的測(cè)度：設(shè)是一列遞減的，可測(cè)集合：S1S2Sn令，則當(dāng)它時(shí)，.三 基本題目1、試述L外測(cè)度的定義.（答案見第三章§1定義1）2、試給L測(cè)度的定義（答案見第三章§2定義1）3、設(shè)點(diǎn)集，證明E是可測(cè)集，并求.證：只須

6、證明卡氏條件成立，即對(duì)，有 （外測(cè)度的次可數(shù)可加性）另一方面：，（單調(diào)性）已知，0，00，必有=0又： （單調(diào)性） + 由、可知：=+，此即卡氏條件成立； E是可測(cè)的， .4、證明可數(shù)點(diǎn)集的外測(cè)度證明：E為可數(shù)點(diǎn)集，其中，對(duì)于任意給定的0，不妨設(shè)1，作開區(qū)間因 ，由外測(cè)度的單調(diào)性及次可列可加性得：又由的任意性及0得：=0，得證.注：本題可當(dāng)作定理.5、設(shè)Q為有理數(shù)集合，求，.解：Q為一可數(shù)集合，=0. 對(duì)于， （外測(cè)度的次可列可加性）另一方面，（單調(diào)性），。又，（單調(diào)性） 由、知： 即卡氏條件成立， Q為可測(cè)集， .第四章 可測(cè)函數(shù)一、基本概念：可測(cè)函數(shù).， 重要的可測(cè)函數(shù)：簡(jiǎn)單函數(shù)，連續(xù)函數(shù)

7、；依測(cè)度收欽，命題幾乎處處成立1、可測(cè)函數(shù)的定義：設(shè)是定義在可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)，若對(duì)于任何有限實(shí)數(shù)，點(diǎn)集Ef=都是可測(cè)集，則稱為定義在E上的可測(cè)函數(shù). 2簡(jiǎn)單函數(shù)定義：設(shè)，把E分為有限個(gè)互不相交的可測(cè)集，使（常數(shù)），時(shí)，則稱為定義在E上的簡(jiǎn)單函數(shù).例如在區(qū)間0，1上的狄利克雷函數(shù)便是一簡(jiǎn)單函數(shù) 3 連續(xù)函數(shù)的定義（用鄰域定義）：設(shè)，對(duì)于，若：1）有限；2）對(duì)于的任一鄰域都存在的某鄰域，使得；則稱在點(diǎn)連續(xù)，若在E中每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱 在E上連續(xù).4、命題幾乎處處成立：設(shè)命題是一個(gè)與點(diǎn)集E有關(guān)的命題，若存在E的子集ME，mM=0，使在EM上恒成立，即EE成立為零測(cè)度集，則稱在E上幾乎處處成立，簡(jiǎn)記為

8、 于E成立.5 依測(cè)度收斂的定義：設(shè)是上一列有限的可測(cè)函數(shù)列，若有E上有限的可測(cè)函數(shù)滿足下列關(guān)系：對(duì)任意的0，有,則稱函數(shù)列依測(cè)度收斂于，記為：.注意：依測(cè)度收斂與收斂的不同，兩者不能彼此包含.二、基本理論1可測(cè)函數(shù)的充要條件定理1、設(shè)是定義在可測(cè)集E上的實(shí)函數(shù)，下列任一條件都是在E上可測(cè)的充要條件：1）對(duì)任何有限實(shí)數(shù)，E都可測(cè)；2）對(duì)任何有限實(shí)數(shù)，E都可測(cè)；3）對(duì)任何有限實(shí)數(shù)，E都可測(cè)；4）對(duì)任何有限實(shí)數(shù)a ，b（ab），E afb 都可測(cè)（充分性要假定是有限函數(shù)）2可測(cè)函數(shù)的運(yùn)算1）設(shè)都在E上可測(cè)，則下列函數(shù)（假定它們?cè)贓上有意義）都在E上可測(cè)： ； ； ， .2）可測(cè)函數(shù)列的確界函數(shù)仍可

9、測(cè)，設(shè)是在E上可測(cè)函數(shù)列，則下確界函數(shù)和上確界函數(shù)都在E上可測(cè)3）可測(cè)函數(shù)列的上、下極限函數(shù)以及極限函數(shù)都是可測(cè)函數(shù).3、可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系任何一個(gè)可測(cè)函數(shù)都可表示成一簡(jiǎn)單函數(shù)列的極限函數(shù).4、連續(xù)函數(shù)與可測(cè)函數(shù)的關(guān)系（定理2）連續(xù)函數(shù)一定是可測(cè)函數(shù)，但反之，不真.5 葉果洛夫定理（見書P87）定理告訴我們：滿足定理假設(shè)的a.e.收斂的可測(cè)函數(shù)列，即使不一致收斂，也是“基本上”一致收斂的.6可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造定理1（魯津）（見書P88）定理說明：一般的可測(cè)函數(shù)是“基本上連續(xù)”的函數(shù).7、依測(cè)度收斂與收斂的關(guān)系.定理1（黎斯）設(shè)在E上測(cè)度收斂于，則存在子列，在E上收斂于.三 基本題目1、證明：

10、在E上為可測(cè)函數(shù)的充要條件是對(duì)任一有理數(shù)r，集Ef r是可測(cè)的.證: 必要性：在E上可測(cè),由定義對(duì)任意有限實(shí)數(shù)a, 點(diǎn)集Ef a是可測(cè)的，特別地當(dāng)為任一有理數(shù)時(shí)，Ef r也可測(cè).充分性：已知對(duì)任一有理數(shù)可測(cè)，下面只須證明對(duì)任一無理數(shù)，點(diǎn)集Ef 可測(cè). 取一遞增的有理數(shù)列：且，已知 可測(cè)，. 可測(cè)（可測(cè)個(gè)可測(cè)集的交集仍可測(cè)）, 即可測(cè), 由可測(cè)函數(shù)的等價(jià)條件知點(diǎn)集Ef 也可測(cè).所以，對(duì)任意有限實(shí)數(shù)，點(diǎn)集都可測(cè)，由定義知在E上可測(cè).充分性成立.綜合兩方面的證明知，命題得證.2、試述可測(cè)函數(shù)的定義，答案見§1定義1.第五章 積分論引入：為克服R-積分的不足，引入L-積分.一、基本概念：黎曼

11、積分（R積分），勒貝格積分（L積分），函數(shù)的下方圖形.1黎曼積分的（確界式）定義黎曼積分、簡(jiǎn)記為R積分，即數(shù)學(xué)分析中的定積分.回顧R積分的確界式定義見書P100定義1.2勒貝格積分的定義(1）設(shè)是E上的有界函數(shù)，mE1）對(duì)E的任一可測(cè)分化，為互不相交的可測(cè)集2）令 作乘積 求和： 大和小和3）求L上、下積分令： L上積分L下積分4）若，則稱在E上L可積，且稱此共同值為 在E上的L積分，記為：.2） 一般可積函數(shù)的勒貝格積分的定義把L積分從mE有限,f(x)在E上有界,推廣到mE沒有限制, f(x)在E上是否有界不要求的情形,推廣步驟分為: 第一步 非負(fù)函數(shù)情形 見書P115 第二步 一般函數(shù)(

12、不限于非負(fù))的情形 見書P116 推廣后的L積分的性質(zhì) 見書P1173 函數(shù)的下方圖形二、基本理論1 L可積的充要條件1）設(shè)在可測(cè)集上有界，在E上L可積對(duì)，存在E的可測(cè)分劃D，使 ，這里.2)設(shè)f(x)在可測(cè)集E(mE)上有界,則f(x)在E上L可積 f(x)在E上可測(cè).2 L積分的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)f(x)、 g(x)可測(cè)集E(mE)上有界且L可積,則f(x)g(x) 、 f(x)g(x) 、 f(x) /g(x) (但)及 在E上都是可積的.3 L積分與R積分的關(guān)系 設(shè)f(x)在a,b上R可積,則f(x)在a,b上L可積,且有相同的積分值, 即 4 L積分的性質(zhì)（1） 若 f(x)在E上L可積,則

13、 f(x) 在E的任何子集上也可積（2）對(duì)積分區(qū)域的可加性: 若f(x)在E=AB上有定義,AB=,且在A,B上分別可積,則 =+（3） 線性運(yùn)算性質(zhì) 1) 設(shè)f(x) 、 g(x) 在E上L可積,則=+ 2) 設(shè)f(x)在E上L可積,C為常數(shù),則=C（4） 不等式性質(zhì): 設(shè)f(x) g(x) 在E上L可積,且f(x) g(x),則 特別地 當(dāng)bf(x)B是有bmE BmE（5） 絕對(duì)值可積性: 設(shè)f(x)在E上L可積,則在E上L可積,且 （6） 設(shè)f(x)在E上L可積,f(x)0,且 =0,則f(x)=0, a . e與E;（7） 絕對(duì)連續(xù)性: 設(shè)f(x)在E上L可積,則對(duì)于任何可測(cè)集AE,

14、有 =05 積分的極限定理1 ） 勒貝格控制收斂定理(定理1) 設(shè) (1)是可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)列; (2)F(x) a e與E,n=1,2,且F(x) 在E上可積分 (3) f(x) 則f(x) 在E上可積分,且=即極限運(yùn)算與積分的運(yùn)算可交換順序2） 列維定理 (定理2) 見書P1263） L逐項(xiàng)積分: =4）L積分的可數(shù)可加性 設(shè)f(x) 在E上積分確定,E=,為互不相交的可測(cè)集,則=5） 法都引理 見書P1286 勒貝格積分的幾何意義設(shè)f(x)為可測(cè)集E上的非負(fù)可測(cè)函數(shù),則=mG(E,f),其中G(E,f)為f(x)在E上的下方圖形.三 基本題目1, 設(shè)f(x)在可測(cè)集E(mE)上有界,試給出f(x) 在E上L積分的定義 答案見§2 定義12 設(shè)D(x)= x0,1， 1)證明D(x)在0,1上L可積， 2)求 1) 證D(x)為0,1上簡(jiǎn)單函數(shù) D(x)在0,1上可測(cè) 又