必修一函數(shù)講義

1、第一次課函數(shù)一、知識(shí)要點(diǎn)1. 函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作yf(x)，xA，其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域. 2. 兩個(gè)函數(shù)相等：函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則，當(dāng)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則確定后，函數(shù)的值域也隨之確定. 因此，函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則為函數(shù)的兩個(gè)基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，稱這兩個(gè)函數(shù)相

2、等. 3. 求函數(shù)的定義域要從以下幾個(gè)方面考慮：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；(4)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；(5)函數(shù)yx0的定義域是x|xR且x0. 4. 函數(shù)的表示法：函數(shù)的表示方法有三種：解析法、圖象法、列表法. 5. 映射的定義：設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按照某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射. 二、典例精析題型一：求函數(shù)的解析式【例1】 (1)已知f(x)2x3，求f(x1)的表達(dá)式；(2)已知

3、f(x1)x2x1，求f(x)的表達(dá)式；(3)已知f(x)2f(x)3x25x3，求f(x)的表達(dá)式. 【解析】(1)把f(x)中的x換成x1，得f(x1)2(x1)32x1. (2)設(shè)x1t，則xt1，代入得f(t)(t1)2(t1)1t2t1，所以f(x)x2x1. (3)由f(x)2f(x)3x25x3，x換成x，得f(x)2f(x)3x25x3，解得f(x)x25x1. 【點(diǎn)撥】已知f(x)，g(x)，求復(fù)合函數(shù)fg(x)的解析式，直接把f(x)中的x換成g(x)即可，已知fg(x)，求f(x)的解析式，常常是設(shè)g(x)t，或者在fg(x)中湊出g(x)，再把g(x)換成x. 【變式訓(xùn)

4、練1】已知f()，求f(x). 【解析】設(shè)u，則u1 (u1). 由f(u)11(u1)(u1)2u2u1. 所以f(x)x2x1 (x1). 題型二：求函數(shù)的定義域【例2】(1)求函數(shù)y的定義域；(2)已知f(x)的定義域?yàn)?，4，求f(x23x)的定義域. 【解析】(1)要使函數(shù)有意義，則只要即解得3x0或2x3. 故所求的定義域?yàn)?3，0)(2，3). (2)依題意，只需2x23x4，解得1x1或2x4. 故f(x23x)的定義域?yàn)?，12，4. 【點(diǎn)撥】有解析式的函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍，往往列不等式組求解. 對(duì)于抽象函數(shù)fg(x)的定義域要把g(x)當(dāng)作f(x)

5、中的x來對(duì)待. 【變式訓(xùn)練2】已知f(x)的定義域?yàn)?1，1)，求函數(shù)F(x)f(1x)f()的定義域. 【解析】由得1x2，所以F(x)的定義域?yàn)?1，2).題型三：由實(shí)際問題給出的函數(shù)【例3】 用長(zhǎng)為l的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架(如圖)，若矩形底部長(zhǎng)為2x，求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域. 【解析】由題意知，此框架圍成的面積是由一個(gè)矩形和一個(gè)半圓組成的圖形的面積，而矩形的長(zhǎng)AB2x，設(shè)寬為a，則有2x2axl，即axx，半圓的半徑為x，所以y+(xx)·2x(2)x2lx. 由實(shí)際意義知xx0，因?yàn)閤0，解得0x. 即函數(shù)y(2)x2lx的定義

6、域是x|0x. 【點(diǎn)撥】求由實(shí)際問題確定的定義域時(shí)，除考慮函數(shù)的解析式有意義外，還要考慮使實(shí)際問題有意義. 如本題使函數(shù)解析式有意義的x的取值范圍是xR，但實(shí)際問題的意義是矩形的邊長(zhǎng)為正數(shù)，而邊長(zhǎng)是用變量x表示的，這就是實(shí)際問題對(duì)變量的制約. 題型四：分段函數(shù)【例4】 已知函數(shù)求(1) f(1)f(1)的值；(2)若f(a)1，求a的值；(3)若f(x)2，求x的取值范圍. 【解析】(1)由題意，得f(1)2，f(1)2，所以f(1)f(1)4. (2)當(dāng)a0時(shí)，f(a)a31，解得a2；當(dāng)a0時(shí)，f(a)a211，解得a0. 所以a2或a0. (3)當(dāng)x0時(shí)，f(x)x32，解得1x0；當(dāng)x

7、0時(shí)，f(x)x212，解得x1. 所以x的取值范圍是1x0或x1. 【點(diǎn)撥】分段函數(shù)中，x在不同的范圍內(nèi)取值時(shí)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式不同. 因此，分段函數(shù)往往需要分段處理. 第二次課函數(shù)的單調(diào)性一、知識(shí)要點(diǎn)1. 增函數(shù)(減函數(shù))的定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，則說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù). 當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，則說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù). 如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做yf(

8、x)的單調(diào)區(qū)間. 2. 判定函數(shù)為單調(diào)函數(shù)的常用方法：(1)圖象法：函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象呈上升趨勢(shì)時(shí)為增函數(shù)，呈下降趨勢(shì)時(shí)為減函數(shù)；(2)利用函數(shù)單調(diào)性定義判斷函數(shù)的單調(diào)性：在給定的區(qū)間上任取兩個(gè)自變量的值x1、x2，作差比較f(x1)與f(x2)的大小，從而得出函數(shù)的單調(diào)性；(3)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷：設(shè)yf(u)，ug(x)(xa，b)都是單調(diào)函數(shù)，則yfg(x)的單調(diào)性由“同增異減”來確定；二、典例精析題型一：函數(shù)單調(diào)性的判斷或證明【例1】討論函數(shù)f(x)(a)在(2，)上的單調(diào)性. 【解析】設(shè)x1，x2為區(qū)間(2，)上的任意兩個(gè)數(shù)且x1x2，則f(x1)f(x2)，因?yàn)閤1(2

9、，)，x2(2，)，且x1x2，所以x1x20，x120，x220，所以當(dāng)a時(shí)，12a0，f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(2，)上為減函數(shù)；當(dāng)a時(shí)，12a0，f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(2，)上是增函數(shù). 【點(diǎn)撥】運(yùn)用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，必須注意x1，x2在給定區(qū)間內(nèi)的任意性. 另外，本題可以利用導(dǎo)數(shù)來判斷. 【變式訓(xùn)練1】討論函數(shù)f(x)ax2+bx+c的單調(diào)性. 題型二：函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法【例2】試求出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (1)y|x1|；(2)yx22|x1|；(3)y2. 【解析】(1)y|x1|所以此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，1). (2)y

10、x22|x1|所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，1). (3)由于tx24x3的單調(diào)遞增區(qū)間是(，2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2，)，又底數(shù)大于1，所以此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2，). 【點(diǎn)撥】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，往往需要借助函數(shù)圖象和有關(guān)結(jié)論，才能求解出. 題型三：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，1，且對(duì)于任意的x1，x21，1，當(dāng)x1x2時(shí)，都有0. (1)試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間1，1上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；(2)解不等式f(5x1)f(6x2). 【解析】(1)當(dāng)x1，x21，1，且x1x2時(shí)，得f(x1)f(x2)，

11、所以函數(shù)f(x)在區(qū)間1，1上是增函數(shù). (2)因?yàn)閒(x)在1，1上是增函數(shù). 所以，由f(5x1)f(6x2)知，所以0x，所求不等式的解集為x|0x. 【點(diǎn)撥】抽象函數(shù)的單調(diào)性往往是根據(jù)定義去判斷，利用函數(shù)的單調(diào)性解題時(shí)，容易犯的錯(cuò)誤是忽略函數(shù)的定義域. 【例4】若f(x)x22ax3與g(x)在區(qū)間1，2上都是減函數(shù)，求a的取值范圍. 【解析】若f(x)x22ax3在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，則a1；若g(x)在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，則a0. 所以，a的取值范圍為0a1. 【點(diǎn)撥】二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間主要依據(jù)其開口方向和對(duì)稱軸的位置來確定. 第三次課函數(shù)的奇偶性一、知識(shí)要點(diǎn)1. 函數(shù)的奇偶性

12、：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)；如果對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù). 2. 奇(偶)函數(shù)的圖象特征：(1)奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱. 3. 函數(shù)的周期性：(1)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(xT)f(x)成立，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期；(2)對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最

13、小正周期. 二、典例精析題型一：函數(shù)奇偶性的判斷【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性. (1)f(x)(x1)；(2)f(x)；(3)f(x) (4)f(x)+. 【解析】(1)由0，得定義域?yàn)?，1)，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù). (2)由得定義域?yàn)?1，0)(0，1)，因?yàn)閒(x)=，f(x)f(x)，所以f(x)為偶函數(shù). (3)當(dāng)x0時(shí)，x0，f(x)(x)2x(x2x)f(x)；當(dāng)x0時(shí)，x0，f(x)(x)2xx2xf(x). 所以對(duì)任意x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，故f(x)為奇函數(shù). (4)由得x 或x，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，又因?yàn)閷?duì)任意的x，x，且f(

14、x)f(x)f(x)0，所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). 【點(diǎn)撥】判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再分析f(x)與f(x)的關(guān)系，必要時(shí)可對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形. 題型二：由奇偶性的條件，求函數(shù)的解析式【例2】若函數(shù)f(x)是定義在(1，1)上的奇函數(shù)，求f(x)的解析式. 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在(1，1)上的奇函數(shù)，所以f(0)0，從而得m0；又f()f()0，得n0. 所以f(x) (1x1). 【變式訓(xùn)練1】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)是奇函數(shù). 求a，b的值. 【解析】因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(0)0，即0，得b1，所以f(x). 又由f(

15、1)f(1)，知，得a2. 故a2，b1. 題型三：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【例3】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有f(xy)f(x)f(y)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0且f(2)6. (1)求證：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；(2)求證：函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)；(3)在區(qū)間4，4上，求f(x)的最值. 【解析】(1)證明：令xy0，得f(0)f(0)f(0)，所以f(0)0；令yx有f(0)f(x)f(x)，所以f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù). (2)證明：設(shè)x1，x2R，且x1x2，則f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)，又x0時(shí)，f(x)0，所以f(x2)f

16、(x1)f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)，所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù). (3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間4，4上也是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的最大值為f(4)，最小值為f(4). 因?yàn)閒(2)6，所以f(4)f(2)f(2)12，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(4)f(4)12，故函數(shù)f(x)在區(qū)間4，4上的最大值為12，最小值為12. 【點(diǎn)撥】函數(shù)的最值問題，可先通過判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，再求區(qū)間上的最值. 【變式訓(xùn)練2】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈x|x0，且滿足對(duì)任意x1、x2D，有f(x1·x2)f(x1)f(x2). (1)求f(1)的值；(

17、2)判斷f(x)的奇偶性并證明；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函數(shù)，求x的取值范圍. 【解析】(1)令x1x21，有f(1×1)f(1)f(1)，解得f(1)0. (2)令x1x21，得f(1)0，令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)為偶函數(shù). (3)f(4×4)f(4)f(4)2，f(16×4)f(16)f(4)3. 所以f(3x1)f(2x6)3，即f(3x1)(2x6)f(64). 因?yàn)閒(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以或或所以3x5或x或x3. 故x的取值范圍為x|3

18、x5或x或x3. 第四次課二次函數(shù)一、知識(shí)要點(diǎn)1. 二次函數(shù)的解析式：(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)頂點(diǎn)式：f(x)a(xh)2k(a0)；(3)零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0，x1，x2是方程f(x)0的兩個(gè)根). 2. 二次函數(shù)的圖象特征：a0時(shí)，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象是開口向上的拋物線；a0時(shí)，二次函數(shù)f(x) ax2bxc的圖象是開口向下的拋物線. 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線. 3. 二次函數(shù)的定義域和值域：二次函數(shù)f(x)ax2bxc (a0)的定義域?yàn)镽，當(dāng)a0時(shí)，其值域?yàn)?；當(dāng)a0時(shí)，其值域?yàn)?. 4. 二次函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)二次函數(shù)f

19、(x)ax2bxc (a0)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù). 二、典例精析題型一：求二次函數(shù)的解析式【例1】已知二次函數(shù)yf(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x2，在y軸上的截距為1，在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，求f(x)的解析式. 【解析】設(shè)f(x)ax2bxc (a0)，由已知有解得a，b=2，c1，所以f(x)x22x1. 【點(diǎn)撥】求二次函數(shù)的解析式，要根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)男问?，三種形式可以相互轉(zhuǎn)化，若二次函數(shù)圖象與x軸相交，則兩點(diǎn)間的距離為|x1x2|. 【變式訓(xùn)練1】若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，1)，對(duì)稱軸為x2，最小值是1，則它

20、的解析式為？ . 【解析】此題可選用一般式解決，但計(jì)算復(fù)雜. 對(duì)稱軸為x2，最小值是1，可知其頂點(diǎn)為(2，1)，從而，可選用頂點(diǎn)式求解. 設(shè)二次函數(shù)的解析式為ya(x2)21，將(0，1)代入得14a1，所以a，所以所求的函數(shù)解析式為y(x2)21. 題型二：求二次函數(shù)的值域或最值【例2】某商品進(jìn)貨單價(jià)為40元，若銷售價(jià)為50元，可賣出50個(gè)，如果銷售單價(jià)每漲1元，銷售量就減少1個(gè)，為了獲得最大利潤(rùn)，則此商品的最佳銷售價(jià)應(yīng)為多少？【解析】設(shè)最佳售價(jià)為(50x)元，最大利潤(rùn)為y元，則y(50x)(50x)(50x)×40x240x500(x20)2900，當(dāng)x20時(shí)，y取得最大值，所以

21、最佳銷售價(jià)應(yīng)為70元. 題型三：二次函數(shù)在方程、不等式中的綜合應(yīng)用【例3】設(shè)函數(shù) f(x)ax2bxc (a0)，x1x2，f(x1)f(x2)，對(duì)于方程f(x) f(x1)f(x2)，證明：(1)方程在區(qū)間(x1，x2)內(nèi)必有一解；(2)設(shè)方程在區(qū)間(x1，x2)內(nèi)的根為m. 若x1，m，x2成等差數(shù)列，則m2. 【證明】(1)令g(x)f(x) f(x1)f(x2)，則g(x1)g(x2) f(x1)f(x2)· f(x2)f(x1) f(x1)f(x2)20，所以方程g(x)0在區(qū)間(x1，x2)內(nèi)必有一解. (2)依題意2m1x1x2，即2mx1x21，又f(m) f(x1)

22、f(x2)，即2(am2bmc)abx1cabx2c，整理得a(2m2)b(2mx1x2)0，a(2m2)b0，m2. 【點(diǎn)撥】二次方程ax2bxc0的根的分布問題，一般情況下，需要從三個(gè)方面考慮：(1)判別式；(2)區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的函數(shù)值的正負(fù)；(3)相應(yīng)二次函數(shù)的對(duì)稱軸x與區(qū)間的位置關(guān)系. 【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)ax2bx (a0)滿足條件f(x5)f(x3)，且方程f(x)x有等根. (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在實(shí)數(shù)m、n (mn)，使f(x)的定義域和值域分別是m，n和3m，3n？若存在，求出m、n的值；若不存在，說明理由. 【解析】(1)函數(shù)f(x)滿足f

23、(x5)f(x3)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，故1，即b2a. 又方程f(x)x有等根，即ax2(b1)x0有等根，所以b1，a，所以f(x)x2x. (2)因?yàn)閒(x)x2x(x1)2在區(qū)間m， n上的值域?yàn)?m， 3n，則3n，n，故mn，所以f(x)在m，n上是增函數(shù)，所以f(m)3m，且f(n)3n，所以m、n是方程f(x)3x的兩個(gè)不等實(shí)根，所以x2x3x，即x24x0，解得x0或4，又mn，所以m4，n0. 第五次課指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一、知識(shí)要點(diǎn)1. n次方根的定義：若xna，則稱x為a的n次方根. 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)；當(dāng)n是偶

24、數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，負(fù)數(shù)沒有偶次方根. 2. 方根的性質(zhì)：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 3. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：若a0，m，n都是正整數(shù)，n1，則，；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義. 4. 有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：ar·asar+s (a0)；ar÷asars (a0)；(ar)sars (a0)；(ab)rarbr (a，b0). 5. 指數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)yax (a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量. 6. 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a10a1圖象定義域RR值域(0， )(0， )函數(shù)值分布當(dāng)x0時(shí)y1，當(dāng)x0時(shí)y1，當(dāng)

25、x0時(shí)0y1當(dāng)x0 時(shí)0y1，當(dāng)x0 時(shí)y1，當(dāng)x0時(shí)y1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)二、典例精析題型一：指數(shù)和其運(yùn)算【例1】計(jì)算：(1) ·；(2)(0. 027)()【解析】(1)原式. (2)原式45. 【點(diǎn)撥】進(jìn)行指數(shù)的乘除運(yùn)算時(shí)，一般先將底數(shù)化成相同. 題型二：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【例2】已知函數(shù)f(x)，其中xR，(1)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)證明：f(x)是區(qū)間(，)上的增函數(shù). 【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閤R，且f(x)f(x)，所以f(x)為(，)上的奇函數(shù). (2)證明：設(shè)x1，x2R，且x1x2，f(x1)f(x2)0，所以f(x)

26、是區(qū)間(，)上的增函數(shù). 【點(diǎn)撥】在討論指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)或利用其性質(zhì)解題時(shí)，要特別注意底數(shù)是大于1還是小于1，如果不能確定底數(shù)的范圍，應(yīng)分類討論. 【變式訓(xùn)練1】已知a0，且a1，函數(shù)f(x)axax，其中xR.。(1)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)試判斷f(x)在區(qū)間(，)上的單調(diào)性. 【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閤R，且f(x)axaxf(x)，所以f(x)為(，)上的奇函數(shù). (2)當(dāng)a1時(shí)，設(shè)x1，x2R，且x1x2，f(x1)f(x2)()()()()，其中，當(dāng)a1，x1x2時(shí)，從而有f(x1)f(x2)0，所以當(dāng)a1時(shí)，f(x)是區(qū)間(，)上的單調(diào)遞增函數(shù)；同理，當(dāng)0

27、a1時(shí)，f(x)是區(qū)間(，)上的單調(diào)遞減函數(shù). 題型三：指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用【例3】(1)求函數(shù)f(x)()x()x，x0，1的最小值與最大值；(2)求函數(shù)f(x)4x2x13，x1，1的最小值與最大值. 【解析】(1)因?yàn)?1，01，所以函數(shù)f(x)()x()x，x0，1是單調(diào)遞減函數(shù). 所以，函數(shù)f(x)()x()x，x0，1的最小值為，最大值為2. (2)令t2x，則f(x)4x2x13t22t3，其中x1，1，即t，2，所以，函數(shù)f(x)4x2x13，x1，1的最小值為，最大值為11. 【點(diǎn)撥】對(duì)于形如f(x)a2xb·axc的函數(shù)求最值，要注意換元，令tax，化成二次函數(shù)后再

28、在某區(qū)間上求最值. 【例4】(1)求函數(shù)y()的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)0a1，解關(guān)于x的不等式：aa. 【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)yx22x5在區(qū)間(，1上單調(diào)遞減，在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增，又底數(shù)01，所以函數(shù)y()在區(qū)間(，1上為增函數(shù)，在區(qū)間1，)上為減函數(shù). (2)因?yàn)?a1，所以yax在區(qū)間(，)上為減函數(shù)，由，得2x23x1x22x5，解得2x3，所以原不等式的解集為x|2x3. 【點(diǎn)撥】求函數(shù)yaf(x)的單調(diào)區(qū)間，只需先求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得知函數(shù)yaf(x)的單調(diào)區(qū)間. 作業(yè)一（函數(shù)和表示）一、選擇題（共6小題；共30分）1. 已知集合 M=0,1,2,

29、3,4，N=1,3,5，P=MN，則 P 的子集共有 · A. 2 個(gè)B. 4 個(gè)C. 6 個(gè)D. 8 個(gè)2. 有下列說法： 0 與 0 表示同一個(gè)集合；由 1，2，3 組成的集合可表示為 1,2,3 或 3,2,1；方程 x-12x-2=0 的所有解的集合可表示為 1,1,2；集合 x 4<x<5 是有限集其中正確的說法是 · A. 只有和B. 只有和· C. 只有D. 以上四種說法都不對(duì)3. 集合 A=-4,2a-1,a2，B=a-5,1-a,9，且 A 與 B 的公共元素是 9，則 a 的值是 ( )· A. a=3B. a=

30、-3· C. a=±3D. a=5 或 a=±34. 設(shè) f:xx2 是集合 A 到集合 B 的映射，如果 B=1,2，那么 AB 可能是 · A. B. 或 1C. 1D. 或 25. 已知 fx 是一次函數(shù)，且滿足 3fx+1=2x+17，則 fx 等于 · A. 23x+5B. 23x+1C. 2x-3D. 2x+16. 已知 fx+y=fx+fy 且 f1=2，則 f1+f2+fn 不能等于 ( )· A. f1+2f1+nf1 B. fnn+12 · C. nn+1 D. nn+1f1 二、填空題（共2小

31、題；共10分）7. 已知函數(shù) y=fx 的定義域是 0,2，且 f110=-1，那么函數(shù) gx=fx21+fx+1 的定義域是  8. An=x 2n<x<2n+1,x=3m,mN，若 An 表示集合 An 中元素的個(gè)數(shù)，則 A5=  ，A1+A2+A3+A10=  三、解答題（共3小題；共39分）9. 已知全集 U=不大于20的質(zhì)數(shù)，M，N 為 U 的兩個(gè)子集，且滿足 MUN=3,5，UMN=7,19，UMUN=2,17，求 M，N10. 已知函數(shù) fx=2x-1，gx=x2,x0,-1,x<0, 求 fgx 與 gfx 的解析式11. 已知

32、fx=x2-1，gx=x-1,x>02-x,x<0. 求 fg2 和 gf2 的值； 求 fgx 和 gfx 的解析式答案第一部分1. B2. C3. B4. B5. A6. D第二部分7. -1,-910-910,18. 11；682第三部分9. 如圖所示，由 UMUN=2,17 可知，M，N 中沒有元素 2，17；由 UMN=7,19 可知，M 中沒有元素 7，19；N 中有元素 7，19；由 MUN=3,5 可知，M 中有元素，3，5，N 中沒有元素 3，5剩下的元素 11，13，不在 UMUN，UMN,MUN 三部分中，則 11MN，13MN所以 M=3,5,11,13，N

33、=7,11,13,1910. 當(dāng) x0 時(shí)，gx=x2，fgx=2x2-1；當(dāng) x<0 時(shí)，gx=-1，fgx=-2-1=-3，所以 fgx=2x2-1,x0,-3,x<0. 當(dāng) 2x-10，即 x12 時(shí)，gfx=2x-12；當(dāng) 2x-1<0，即 x<12 時(shí)，gfx=-1所以 gfx=2x-12,x12,-1,x<12.11. （1） 由已知，g2=1，f2=3，所以 fg2=f1=0，gf2=g3=2      （2） 當(dāng) x>0 時(shí)，gx=x-1，故 fgx=x-12-1=x2-2x；當(dāng) x

34、<0 時(shí)，gx=2-x，故 fgx=2-x2-1=x2-4x+3；所以 fgx=x2-2x,x>0x2-4x+3,x<0, 當(dāng) x>1 或 x<-1 時(shí)，fx>0，故 gfx=fx-1=x2-2；當(dāng) -1<x<1 時(shí)，fx<0，故 gfx=2-fx=3-x2，所以 gfx=x2-2,x>1或x<-13-x2,-1<x<1.作業(yè)二（函數(shù)的性質(zhì)）一、選擇題（共6小題；共30分）1. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間 -,0 上單調(diào)遞增的是 ( )· A. fx=1x2B. fx=x2+1C. fx=x3

35、D. fx=2-x2. 已知 fx,gx 分別是定義在 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且 fx-gx=x3+x2+1，則 f1+g1= ( )· A. -3B. -1C. 1D. 33. 若函數(shù) fx 和 gx 都是奇函數(shù)，且 Fx=afx+bgx+2 在區(qū)間 0,+ 上有最大值 5，則 Fx 在 -,0 上 · A. 有最小值 -5B. 有最大值 -5C. 有最小值 -1D. 有最大值 -34. 若 fx=-x2+2ax 與 gx=ax+1 在區(qū)間 1,2 上都是減函數(shù)，則 a 的值范圍是 ( )· A. -1,00,1B. -1,00,1

36、3; C. 0,1D. 0,15. 已知函數(shù) fx 是 R 上的偶函數(shù)，gx 是 R 上的奇函數(shù)，且 gx=fx-1，若 f2=2，則 f2006 的值為 ( )· A. 2B. 0C. -2D. ±26. 用 mina,b 表示 a,b 兩數(shù)中的最小值若函數(shù) fx=min x , x+t 的圖象關(guān)于直線 x=-12 對(duì)稱，則 t 的值為 ( )· A. -2B. 2C. -1D. 1二、填空題（共2小題；共10分）7. 已知 x，y 均為正數(shù)，且 xy=2x+y-1，則 x+y 的最小值為  8. 已知 fx 是定義在 R 上的函數(shù)

37、，f1=1，且對(duì)于任意的 xR 都有 fx+5fx+5，fx+1fx+1，若 gx=fx+1-x，則 g2014 的值為  三、解答題（共3小題；共39分）9. （1）求函數(shù) fx=2x+3,x0x+3,0<x1-x+5,x>1 的最大值； 求函數(shù) fx=xx-1 在區(qū)間 2,5 上的最大值與最小值10. 已知函數(shù) fx 的定義域?yàn)?R，且滿足 fx+2=-fx 求證：fx 是周期函數(shù)； 若 fx 為奇函數(shù)，且當(dāng) 0x1 時(shí)，fx=12x，求在 0,2014 上使 fx=-12 的所有 x 的個(gè)數(shù)11. fx 是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x0,1 時(shí)，fx=2x4x+1 求 fx 在 -1,0 上的解析式； 證明 fx 在 0,1 上是減函數(shù)答案第一部分1. A2. C3. C4. D5