遞推數(shù)列分類 (2)

1、遞推數(shù)列分類類型1：滲透三角函數(shù)周期性數(shù)列與三角函數(shù)的結合是一類創(chuàng)新試題，利用三角函數(shù)的周期性體現(xiàn)數(shù)列的變化，利用三角不等式進行放縮是證明數(shù)列不等式的常見方法。例1（2008年湖南卷，18，滿分12分）數(shù)列an滿足a1=1，a2=2，求a3，a4,并求數(shù)列an的通項公式；本題分為兩種情況，采取非常規(guī)的遞推數(shù)列求通項的方法，利用三角函數(shù)的誘導公式尋找遞推關系，體現(xiàn)三角函數(shù)的周期性，進而求出該數(shù)列的通項為一分段數(shù)列。例2（2009年江西，文，21，滿分12分）數(shù)列an的通項，其前n項和為（1）求sn；（2）令，求數(shù)列bn的前n項和Tn例3（2009年江西，理8，5分）數(shù)列an的通項，其前n項和為s

2、n，則sn為（ ）A470B490C495D510類型2：an+1=an+f(n)解法思路：把原遞推公式轉化為an+1-an=f(n)，利用累加法（逐差相加法）求解例4（2008，江西，理5）在數(shù)列an中，a1=2,an+1=an+ln,則an=A2+lnnB2+(n-1) lnnC2+nlnnD1+n+lnn例5（2009，全國I，理22）在數(shù)列an中，a1=1,an+1=（1）設，求數(shù)列an的通項公式；（2）求數(shù)列an的前n項和。 類型3：an+1=f(n)an解法思路：把原遞推公式轉化為，利用累乘法（逐商相乘法）求解例6（2004，全國I，理15）已知數(shù)列an，滿足a1=1,an=a1+

3、2a2+3a3+(n1)an1(n2)，則an的通項an=_解：由已知，得an+1=a1+2a2+3a3+(n1)an1+nan，用此式減去已知式，得當n2時，an+1an=nan，即an+1=（n+1）an，又a2=a1類型4：an+1=pan+q（其中p、q均為常數(shù)，且pq(p1)0）解法思路：待定系數(shù)法，把原遞推公式轉化為an+1t=p(ant)，其中，再利用換元法轉化為等比數(shù)列求解，或轉化為二隊循環(huán)數(shù)列來解（見后文），或直接用逐項迭代法求解。例7（2008年，安徽，文21）設數(shù)列an滿足a1 =a,an +1=c an +1c,nN*，其中a、c為實數(shù)，且c0求數(shù)列an的通項公式；解：

4、方法一：因為an+11=c(an1)所以當a1時，an1是首項為a1，公比為c的等比數(shù)列所以an1=( an1)cn1即an=( an1)cn1+1當n=1時，an=1仍滿足上式數(shù)列an的通項公式為an=( a1)cn1+1 (nN*)方法二：由題設得：n2時, an1=c( an11)=c2 (an21)= cn1(an1)= (a1)c n1所以an=( a1)=c n1+1n=1時，a1=a也滿足上式所以an的通項公式為an=( a1)cn1+1 (nN*)類型4的變式：an+1=pan+f(n)解法思路：通過構造新數(shù)列bn，消去f(n)帶來的差異，例如下面的類型5 ：an+1=pan+

5、qn（其中p、q均為常數(shù)，pq(p1)(q1)0）（或an+1=pan+rqn，其中p、q、r均為常數(shù)）解法思路：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以qn+1，得，引入輔助數(shù)列bn（其中），得即可轉化為類型3?；蛑苯訉⒃f推式變形為），（其中），則直接轉化為等比數(shù)列例8（2006，全國I22，12分）設數(shù)列an的前n項的和求首項a1與通項an。例9（2009，全國II，理19）設數(shù)列an的前n項的和（1）設，證明數(shù)列bn是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列an的通項公式。類型6：（其中p，q均為常熟）。解法一（待定系數(shù)法）：先把原遞推公式轉化為，其中s, t滿足解法二（特征根法）：對于由遞推公式,=,=給出

6、的數(shù)列an，方程,叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數(shù)列an的通項為，其中A、B由=,=決定（即把和n=1,2,代入，得到關于A、B的方程組）；當時，數(shù)列的通項為，其中A、B由=,=決定（即把和n=1,2，代入，得到關于A、B的方程組）。例10（2006，福建，文22）已知數(shù)列an滿足=1,=3，（）。（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列an的通項公式；（3）若數(shù)列bn滿足（），證明bn是等差數(shù)列。解：（1），=1,=3，（），是以=2為首項，2為公比的等比數(shù)列。（2）（），an =+ + + += + +2+1=-1（）類型7 遞推公式為Sn與的關系式（或Sn）解法思路：這

7、種類型一般利用=或=消去進行求解。例11.（2009，湖北19）已知數(shù)列an的前項和Sn= -+2（為正整數(shù)），令=，求證數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式解：在Sn= +2中，令n=1，可得S1 = -+1=，當時，Sn-1= +2，=SnSn-1=+2=+，即=+1又=，=+1，即當時，-=1又=2=1數(shù)列bn是首項和公差均為1的等差數(shù)列，于是=n=,=.例12 （2008，全國II20）設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知=,=Sn+（）,（）設=-，求數(shù)列bn的通項公式；（）若（），求的取值范圍。解（）依題意-=+，即=2+，由此得-=2（-），因此，所求通項公式為=-=（-3），

8、（）。（）由（）知=+（-3），（），于是當時，=-=+（a-3）-（a-3）=2×+(a-3) =4×+(a-3) =,當時,09。又=+3綜上，所求的的取值范圍是。類型8 an+1=pan+an+b(p1,a0)解法思路：這種類型一般利用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列， 即令，與已知遞推式比較，解出，從而轉化為是公比p為的等比數(shù)列。例13.（2006山東，文，22）已知數(shù)列an中，=，點在直線上，其中（）令，求證數(shù)列bn是等比數(shù)列；（）求數(shù)列an的通項。所以bn是以為首項，以為公比的等比數(shù)列類型9 （p0, 0）解法思路：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉化為，再利用待定系數(shù)法求

9、解。例14（2005，江西，理，21）已知數(shù)列an的各項都是正數(shù)，且滿足：求數(shù)列的an通項公式例15（2006，山東22）已知，點在函數(shù)的圖像上，其中證明數(shù)列是等比數(shù)列類型10 解法思路：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉化為。例17（2006，江西，理，22，本大題滿分14分）已知數(shù)列滿足： 求數(shù)列的通項公式；解：將條件變?yōu)椋簽橐粋€等比例數(shù)，其首項為從而據(jù)此得類型11 解法思路：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且phqr,r0, ），那么，可作特征方程，當特征方程有且僅有一根時，則是等差數(shù)列；當特征議程有兩價目相異的根x1、x2時，則是等比數(shù)列。例19(2009年,江西,理,22)各項均為正數(shù)的數(shù)列,且對滿足