高等數(shù)學(xué)-冪級(jí)數(shù)

1、第二十七講第十一章一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法二、求幕級(jí)數(shù)收斂域的方法三.賽級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法一、主要內(nèi)容給為常數(shù)I00D"n=1色為函數(shù)冷（兀）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)匸:般 項(xiàng) 級(jí) 數(shù)任 意 項(xiàng) 級(jí) 數(shù)一幕級(jí)數(shù)泰勒展開(kāi)式傅氏展開(kāi)式1伽兀）T 0lisass=s=»=s=s=iN滿足狄h氏條件泰勒級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)rr在收斂 11級(jí)數(shù)與數(shù)茶件下U相互轉(zhuǎn)化數(shù)1=f數(shù)或函數(shù)寸寸3HHE + +S+3H 扌4«趙系=：+ £ + : + 丫 + Na + £ H zaHX 敘8竇軒畫(huà)二收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), 斂散性不變.性質(zhì)2:收斂

2、級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.性質(zhì)3:在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)4:收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于 原來(lái)的和.級(jí)數(shù)收斂的必要條件：lim = 0.YIS常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法一般項(xiàng)級(jí)數(shù) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)I 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1. 若S“tS,則級(jí)數(shù)收斂；2. 當(dāng)斤T 8 ,冷事0,則級(jí)數(shù)發(fā)散；3. 按基本性質(zhì);4.絕對(duì)收斂4. 充要條件5. 比較法6. 比值法7. 根值法4. 絕對(duì)收斂5. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)（萊布尼茨定理）<H>2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法00定義XX，如n-審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂O部分和所成的數(shù)列為有界(1)比較審斂法00若 為叫 收斂（發(fā)散）且vn <un（un <v

3、w）, n=l00則D 收斂（發(fā)散）.n=l(3) 極限審斂法00設(shè)HUn為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，n=l如栗有p >1,使得limnpun存在，n->oo00則級(jí)數(shù)Y 收斂.n=l如果有"51,使得lim"給存在,n>oo00則級(jí)數(shù) 工給發(fā)散n=l<H>（4）比值審斂法（達(dá)朗貝爾D9Alembert判別法）設(shè) 工巾“是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果lim U，L±k = p （p數(shù)或+ 8） 則pvl時(shí)級(jí)數(shù)收斂;p> 1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；p = l時(shí)失效.（5）扌艮值審斂法（柯西判別法）00設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，71=1/i>oo U則pvl時(shí)級(jí)數(shù)收斂；P>

4、1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;p = 1時(shí)失效.如果lim氣瓦=p （p為數(shù)或+ oo）,113、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義 正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).00(-1)5n=l00或工（一1）% （其中血0）萊布尼茨定理如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:n=l(i) un> un+1 n =);(ii) lim un = 0,則ttoo級(jí)數(shù)收斂,且其和s <ut,其余項(xiàng)的絕對(duì)值4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法定義正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).0000定理若收斂，則工給收斂.71=1/1=100 00定義:若 LKI收斂，則稱 為 為絕對(duì)收斂;71=1/1=00000 00若工就發(fā)散,而工知收斂，則稱工知為條件

5、收斂.n=ln=l7i=l5、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）定義設(shè)妁（兀）川2（兀），如（兀），是定義在7 uR上的00函數(shù)，則 Y=W（«V）+ ”2（兀）+（兀）+/|=1稱為定義在區(qū)間/上的（函數(shù)項(xiàng)）無(wú)窮級(jí)數(shù).（2）收斂點(diǎn)與收斂域00如果xoel,數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 丫如（兀°）收斂，11=100則稱x0為級(jí)數(shù) 工”“（兀）的收斂點(diǎn)，71=1否則稱為發(fā)散點(diǎn).函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)£碼心）的所有收斂點(diǎn)的全體稱為收斂域,11=1所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域.（3）和函數(shù)在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是X的函數(shù)5（x）,稱5（x）為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù).6、幕級(jí)數(shù)(1) 定義00形如«M(x-xo

6、r的級(jí)數(shù)稱為賽級(jí)數(shù).71=000當(dāng)%0 = 0時(shí)， 工兀7«=0其中為賽級(jí)數(shù)系數(shù).17收斂性定理1 (Abel定理)00如果級(jí)數(shù) anxn在x = x0(x0 0)處收斂，則/1=0它在滿足不等式X < x0的一切X處絕對(duì)收斂;00如果級(jí)數(shù) anxn在x = Xq處發(fā)散，則它在滿n=0足不等式|x| > |x0|的一切X處發(fā)散.1600推論00如果幕級(jí)數(shù) anxn不是僅在x = 0 一點(diǎn)收斂n=0也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)R存在，它具有下列性質(zhì):當(dāng)x <R時(shí)，幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)x >R時(shí)，幕級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)x = Rx = R時(shí)，舉級(jí)數(shù)可能

7、收斂也可能發(fā)散.定義：正數(shù)R稱為幕級(jí)數(shù)的收斂半徑.賽級(jí)數(shù)的收斂域稱為賽級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.00定理2 如果舉級(jí)數(shù) anxn的所有系數(shù)。“工0,n=0設(shè) lim 如1 =p (或 limJ = p)"TOO HW>00(1)(2)則當(dāng)pO時(shí)，/? = x；P當(dāng)p = 0時(shí),人= +oo；glim 25色+1(3)p = +oo時(shí)，R = 0.19賽級(jí)數(shù)的運(yùn)算a代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：0000設(shè)工勺兀"和工乞兀"的收斂半徑各為&和R2,n=0n=0R = min/f1,l?2加減法°°°°00©兀"±

8、;工乞兀"=xg（-r，r）72=071=0/|=0（其中 c“=a“ 土®）乘法000000（£©兀"）（£乞兀"）=兀"jcgJr,r）n=0n=0=°#n=0= tenxw=000除法（收斂域內(nèi)工億兀"北0）00IX兀w=000£乞兀/i=0b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)：麻級(jí)數(shù)£兔兀"的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間.7/=0(一R,R)內(nèi)連續(xù)，在端點(diǎn)收斂，則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù).賽級(jí)數(shù) 兀"的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間n=0(R,R)內(nèi)可積，且對(duì)Xfxw(R,R)可

9、逐項(xiàng)積分.00舉級(jí)數(shù) 工的和函數(shù)S(X)在收斂區(qū)/i=0間(R,R)內(nèi)可導(dǎo)，并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次.7、幕級(jí)瑟開(kāi)式(1) 定義如果/(x)在點(diǎn)x0處任意階可導(dǎo)，則幕級(jí)數(shù)n=0(x-XqY稱為/(X)在點(diǎn)Xo的泰勒級(jí)數(shù).8y xn稱為/(X)在點(diǎn)x0的麥克勞林級(jí)數(shù). Zo加23(2) 充要條件定理 /(x)在點(diǎn)x0的泰勒級(jí)數(shù)，在Us(xQ)內(nèi) 收斂于 /*(兀)o 在 Us(x0)內(nèi) liml?M(x) = 0.n-»oo(3) 唯一性定理 如果函數(shù)/*(兀)在Us(xQ)內(nèi)能展開(kāi)成(兀-兀0)00的罷級(jí)數(shù)，即/(兀)=工心(兀一兀0)",72=0則其系數(shù)=：/(")(

10、必)5 = 0,1,2,)TV.且展開(kāi)式是唯一的(3)展開(kāi)方法a.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟：(1)求(2)討論lim = 6 或YISfnx) <M.則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于/b間接法根據(jù)惟一性，利用常見(jiàn)展開(kāi)式，通過(guò)變量代換, 四則運(yùn)算，恒等變形，逐項(xiàng)求導(dǎo)，逐項(xiàng)積分等方法，求展開(kāi)式.(4) 常見(jiàn)函數(shù)展開(kāi)式x121 n2/1+1C = 1 + X dX +X +(2n + l)!In2!nsin x = x5+(1)Vcosxl 礦 2+討麗+ .m(i+x)=x_|x2+|x3一+£_nx e (-141(1 + xfn“+©+咚豈亍+.+止如匕二屮屮+. 2!X G

11、 (-14)27<H>8、傅里葉級(jí)數(shù)(1) 三角函數(shù)系三角函數(shù)系1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, cos nx, sin nx, 正交性任意兩個(gè)不同函數(shù)在-龍,龍上的積分等于零.sin nxdx =J 一兀mnm=nJ： sin 加兀 cos nxdx = 0cos nxdx = 0，o,0,宀(其中加,“1,2，)_兀JF sin mx sin nxdx =-nr冗I cos mx cos nxdx =J 一兀(2) 傅里葉級(jí)數(shù)a°°定義他+工a1 f兀f (x) cos nxdx, (n = 02 )-ncos nx + bn

12、 sin nx)三角級(jí)數(shù) 2 n=l廠abn/(x) sin nxdx, (n = 12 )-71稱為傅里葉級(jí)數(shù).#<H>（3）狄利克雷（Dirichlet）充分條件（收斂定理）設(shè)/（兀）是以2冗為周期的周期函數(shù)如果它滿 足條件:在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),并且至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則/（兀）的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且當(dāng)兀是/（x）的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于/（兀）;/（兀一）+ /（疋）（2）當(dāng)兀是于（兀）的間斷點(diǎn)時(shí)，收斂于 2心+）+時(shí)）當(dāng)兀為端點(diǎn)X =±7T時(shí)，收斂于（4）正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)00如果/（兀）為奇函數(shù)，傅氏級(jí)數(shù)W=1稱為正弦級(jí)數(shù).當(dāng)周期為2冗的奇

13、函數(shù)/（兀）展開(kāi)成傅里葉 級(jí)數(shù)時(shí)，它的傅里葉系數(shù)為色=0（二0丄2,）(>i = 12 )2乃.bn = /(%) sin nxdx7TJo如果/(x)為偶函數(shù)，傅氏級(jí)數(shù) 經(jīng)+ Z«nCOSHX 稱為余弦級(jí)數(shù).n=l當(dāng)周期為2兀的偶函數(shù)/(兀)展開(kāi)成傅里葉級(jí) 數(shù)時(shí)，它的傅里葉系數(shù)為2嚴(yán)an= cos nxdx (n = 0J2 )71 Jobn=0= 1,2,)(5)期的延拓奇延拓：令F(x)= 00 <X<7TX = 0/（兀）的傅氏正弦級(jí)數(shù)。-/(-x)-71 <X <0f(x) = 弘Sin叱(0<X<7T)n=l偶延拓：令f（x）二0

14、<X<7T-7T <X<031于的傅氏余弦級(jí)數(shù)。/(x) = y + cos nx2 n=l(0 < X < 7C)(6)周期為2/的周期函數(shù)的傅氏展開(kāi)式設(shè)周期為2/的周期函/(%)滿足收斂定理 的條件,則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為/(x) =mix cosQQ5X(兀)w=0求和wS（兀）（在收斂域內(nèi)進(jìn)行）當(dāng)兀=呵時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);00工從兀)w=0當(dāng)un(x) = anxn時(shí)為幕級(jí)數(shù); 當(dāng) un (x) = an cosnx + bn sinnx為傅氏系數(shù)）時(shí)，為傅立葉級(jí)數(shù).基本問(wèn)題：判別斂散；求收斂域;求和函數(shù)；級(jí)數(shù)展開(kāi).35一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1 利用部分和

15、數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性必要條件lim un = 0ns滿足發(fā)散2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法比值審斂法lim Un+i = njns1一不定根值審斂法lim= p用它法判別卅一00不滿足發(fā)散部分和極限 比較審斂法 積分判別法收斂01»-1#3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法n=lun為收斂級(jí)數(shù)若Ell收斂，稱工絕對(duì)收斂 n=l斤=1oo00若£必1發(fā)散，稱條件收斂n=l«=1Leibniz判別法：若知un+x >0,且 1 imun=0.力TOO0則交錯(cuò)級(jí)數(shù)工（-1）=收斂，且余項(xiàng)M £新+1 n=l例1若級(jí)數(shù)工勺與工血均收斂，且an<cn<bnYl Yl

16、oo3 = 1,2,），證明級(jí)數(shù)工勺收斂.n-證：vO<cn -an <bn -an （比=1,2,）,則由題設(shè)0000工仇-aj收斂 =C>工（5-an）收斂 n=ln-1OOoo=> 工5二工（s-an） + ann=lyi-oooo乙厲收斂=工（5 一）+工5收斂 n-n-P322題2判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:（2）工利用比值判別法，可知原級(jí)數(shù)發(fā)散. »=i 2n00工n=ln cos2nnjr00用比值法,可判斷級(jí)數(shù)工收斂,n-2再由比較法可知原級(jí)數(shù)收斂.co 111 XT"' 1因n充分大時(shí)-< 7T5，乙；發(fā)散，n In z:

17、n=2n»-137P322題2.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性oo n(5) 工1 («>0,5>0):用比值判別法可知: 21+i=limn->ooa < 1時(shí)收斂;a>時(shí)發(fā)散.r 5 >1時(shí)收斂;=1時(shí)，與p級(jí)數(shù)比較可知 注1時(shí)發(fā)散.ooooP322題3.設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)程和工D都收斂，證明級(jí)數(shù)0J7=lW=1工(知+%)2也收斂.M=1提示：因lim un = lim乙=0, 存在N> 0,當(dāng) >N時(shí)ns ms知,v<v2空必僉；+記又因十jM2(“；+”QI2(ll+i| s>n)利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確

18、.P322題5.討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:(1)提示:(2)提示：oo工(T)叫；心呼P>1時(shí)，絕對(duì)收斂；0<p<l時(shí),條件收斂;p<0時(shí),發(fā)散.二2iSin 千工(-1) V;n-兀oo 1因各項(xiàng)取絕對(duì)值后所得強(qiáng)級(jí)數(shù) 工爲(wèi) 收斂,n=0故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂41i n + 1 =ln= ln(l +丄)丄n n鮭% =1P322題5討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:00(3) 工(-1)"1n=l解 un即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.又因= ta (1 + )單調(diào)遞減，且 £lim £ = 0moo由Leibniz判別法知級(jí)數(shù)收斂；所以原

19、級(jí)數(shù)僅條件收斂.42P322題5討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:oo(n + 1)!n+工(-1)" n=l43#n + 2 nn+n + 21n >oon + l (h + 1)h+1n + 1(i+-r+i因知+i =毎知（也+ 1嚴(yán)0 + 1)1n所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂#的和P323 題9（2）.求級(jí)數(shù) q（T）（2 + ）! 解：原式二 If（一1）叫（2 + 1）+ 12 幺（2 + 1）!CO z 1 I2CO (1 72幺而幺0 + 1)!二 |cos 1+sinl45#cosx =Y (-1)Z12sin x =Y（T）"嚴(yán) 召（2 + l）!#47

20、例2設(shè)/（兀）在兀=0的某個(gè)鄰域內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)oo證1 /（）絕對(duì)收斂。 n=“=>/（0） = 0 廣（0） = 0/(-)=營(yíng)）（與n2! n數(shù)，且lim但二0,r /（X）八證：/ lim = 05 %利用麥克勞林公式：/=y（0） +廣（0）兀+X2丄（下證收斂，略） _ n2二、求幕級(jí)數(shù)收斂域的方法標(biāo)準(zhǔn)形式賽級(jí)數(shù):先求收斂半徑R ,再討論x = ±R 處的斂散性.、通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式非標(biāo)準(zhǔn)形式幕級(jí)數(shù)直接用比值法或根值法練習(xí)：P323題7.求下列級(jí)數(shù)的斂散區(qū)間:00(4)EM=1001 2(2)工(1 +匕?！保籋=1用49GO1(2)工(1 + 二) n=l解/w

21、T /? =eX 時(shí),e1 < w2 nI X n/? = lim iyF> V1= lim(l + l)"二幺Yl即_ 1 < X < 1 時(shí)原級(jí)數(shù)*攵斂. e e1 2 1n->ooan00原式二工(1+)"(-)" n=1 n err Z1 I" 1lim un =hm(l + -)(-)=應(yīng)宀wn->oo/?->ooYl£令 丄二 flim n2(l + -)-nn isnlim un = lim (1 +-)H2 (-f,28eln( 1 + f) 1=hm= -r t22= e_2原級(jí)數(shù)發(fā)散

22、470 1 2(2) §(1+/#解：當(dāng)-V =-時(shí)e ，同理級(jí)數(shù)發(fā)散.Q011原式二工(1+丄心“e#因此級(jí)數(shù)在端點(diǎn)發(fā)散，故收斂區(qū)間為(-1,1).e e#P323題7求下列級(jí)數(shù)的斂散區(qū)間:解法1：原式令歹=7M-1 也厶£原 Aj =另 wyMR lim = 1tf °f+ 1=乳不趨于0,g當(dāng)尸±1時(shí)，中一般項(xiàng)Z 2 y < 1，貝U < 1,艮卩一a/ 2 < x < a/ 2 日寸，2 _ _原級(jí)數(shù)收斂，故收斂區(qū)間為(-72, J2).#解法2:因limns#=limn»oo22mH 當(dāng)V、即- 當(dāng)JT二

23、77;、丿2時(shí)，一月殳項(xiàng)1疋1 «2k 2< X < A./2時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；=不趨于0,級(jí)數(shù)發(fā)散;Un故收斂區(qū)間為（©, V2）.51例I.求賽級(jí)數(shù)丈。的收斂半徑.n-"解法2 利用根值判別法p = Em 打 k1衛(wèi) T9 w 13+(-1)#=4其收斂半徑 R二;400例2、設(shè)工（兀-1）"在兀=-1處的收斂，試求在n=x = 2處的斂散性。解：|x-l| <|-1-1| =2-l<x<3由阿貝爾定理，在如上范圍內(nèi)絕對(duì)收斂，故兀=2時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。53(a >b > 0)例3.求的收斂域.二收斂半徑為 a,

24、在兀二土丄處：£4+£）GTG+寫(xiě)）發(fā)散。cos(円=1）收斂。/原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?5數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)J直接求和：直接變換，求部分和等 求和 i間接求和:轉(zhuǎn)化成幕級(jí)數(shù)求和,再代值5455求級(jí)數(shù) 工（M+1）（兀-1）收斂域及和函數(shù).H=000工+ 1）（兀一1）”的H攵斂半徑為7? = 1,n-0”攵斂域?yàn)橐籰ex 11即 0兀2,設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S（x）,則有s00S二工+1）（兀-1）"二工（兀1）塚'比=0n=ox-11(兀一1)2 兀1(2-x)2#oo例2求 工(卅+ 2)兀"的和函數(shù)n=l解顯然,幕級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(-1,1)0000coS

25、(兀)二工(力 + 2)xn 二工訕+ »"+工卅=1n=ln=l0000SSn(n + !)xn + £ nxx =班£(兀"")"+ 乞(兀")'H=1/1=1心n=1=M(X2ff)'2(1-x)3x(3 - x)(1-x)31H(1-x)200(_1 M+1例3求X(卜151)的和函數(shù)心 (2-1)解:00s(x) = 2 工/1=1(一1 嚴(yán)2X2n(2n-l)00=2丄(-1)"+1 J。必二 x2n2dxn=lCO=(工(1)"/“)必必rx=2n=0I I ；dx

26、dx = 1 arctan xdxJo Jo l + x2Jo(Ml)/ s(x) = 2xarctanx-ln(l + x2)S (_1V2+1例3求VF ( x <1)的和函數(shù)。幺心-1)S /_1 71+1解：逐項(xiàng)求導(dǎo)得s'(x) = 2Vx2,7_1n=i (2n-l)co再逐項(xiàng)求導(dǎo)，得 s"(x) = 2(-iy+lx2n2n=l2l + x2co2(1)化2n-0s'(x) = 2arctan x分部積分,得(Ml)5(x) =2xarctanx-ln(l + x2)59oo例4.求幕級(jí)數(shù)工(-1)"H = 0刃+ 1 兀2并+1 (2w

27、+ l)!的和函數(shù).解先求出收斂區(qū)間(00?+00)?設(shè)和函數(shù)為S(兀)n則w 了遲(T)乙H-0+ 2 /趕+1 (加+ 1)廣r_ £ r y1 I -1 丿 t-2»+22 幺 0 + 1)!=丄疙上丈芒+i丄丄gin Q才幺0+1)12S(x) = -sinx + -cosx, z、22xe(-oo?+oo)例5解:00求工n=l力+1 425!(X < +00)的和函數(shù)。00coS(x)二工77=10T (n-1)!coX2"_ 82X h+1§F!X2%2x2n00zn=l二 o巾X2/兒 n 丁)261例6 P323題8.求下列幕級(jí)數(shù)

28、的和函數(shù):(兒 y2 +一'2 F 丿-(2-x2)2顯然JT = 0時(shí)上式也正確，而在2 + x2 故和函數(shù)為S(x) =Z- ,(2-x2)22"X2ooXn=l(1)解日100 1原式=£弄(心72=1 /X2(0<y<l) x二+V2級(jí)數(shù)發(fā)散，xg(-72?V2).61O O例6 P323題8.求下列幕級(jí)數(shù)的和函數(shù):例6 P323題8.求下列幕級(jí)數(shù)的和函數(shù):CO(2)工n=lxnn(n + )解：可見(jiàn)收斂半徑7?二1s 1原式二£ (n-“00)xn + 1=(£ 汐皿-乂(D")nico+lX1X乙7TlXn-M

29、+ 1dxn=_ dx 11-x x= (-l)ln(l-x)+l"0.n-x Xdx0 1-x即得qo nX占呦+1)= 1 + ( l)ln(l-x),%63顯然兀=0時(shí)，和為0 ;兀二±1時(shí)，級(jí)數(shù)也收斂. 根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性，有廠1l + (-l)ln(l-x)?0<|兀 <1 及兀=1xS(兀)=v °,x = 01 5X = 1co2 _| 1求級(jí)數(shù) 工(-1)" 的和.H=0d設(shè)幕級(jí)數(shù)0077=0-n + l)xn其收斂域?yàn)椋?1, 1）,和函數(shù)為5（X）0000s(x)二工訕-1)兀"+工n=2n=000"工

30、（y）n二 2x22/ 八ff ,二兀(-)+1 X2兀 2|1（1_兀尸+匚二11 X,I xl<l00工(-1)”n-0n2 -n + 13n273265函數(shù)的賽級(jí)數(shù)和付式級(jí)數(shù)展開(kāi)法1.函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)法直接展開(kāi)法一利用泰勒公式間接展開(kāi)法一利用已知展式的函數(shù)及幕級(jí)數(shù)性質(zhì) 練習(xí)：1將函數(shù)占展開(kāi)成訶幕級(jí)數(shù).解:1(2F=(27)=弓）00n-nxnxxe(-2?2)xg-50)xg09)2. 函數(shù)的付式級(jí)數(shù)展開(kāi)法系數(shù)公式及計(jì)算技巧；收斂定理；延拓方法P323題11.設(shè)/（兀）是周期為2兀的函數(shù)，它在-龍，龍）上的表達(dá)式為/（X）= | % 將其展為傅氏級(jí)數(shù).解粋示1 f X1an = e cosnxax 療jo171(n sin nx + cos nx)1 + n271i r(_ir _i7i 1 + n2（二0丄 2,）P323題11 設(shè)于(兀)是周期為2兀的函數(shù),它在-tt.tt)上的表達(dá)式為/（x） =0,xg-,O)ex , xeO,) 將其展為傅氏級(jí)數(shù).r7r x .(1 r A(sinnx-ncosnx) 17rJo e述翻兀蔦G。'0A -n o n x1 + n2b =-絵 71(“ = 12 )nl-(-l)n9氣_1)刃_ 1(coswx-wsinwx)7i 1 + n（ 、 / 1 W 二于（兀）=丐+_工.2 2療