高等數(shù)學(xué)教案ch定積分的應(yīng)用

1、高等數(shù)學(xué)教案§6定積分的應(yīng)用第六章定積分的應(yīng)用教學(xué)目的1、理解元素法的基本思想；2、 掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積)。3、 掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些物理量(變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等)。 教學(xué)重點(diǎn)：1、計(jì)算平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知 的立體體積。2、計(jì)算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學(xué)難點(diǎn)：1、截面面積為已知的立體體積。2、引力。§6, 1定積分的元素法回憶曲邊梯形的面積：設(shè)y=f (x) _0 (x a b).如果

2、說(shuō)積分.A = ：f (x)dx是以a b為底的曲邊梯形的面積.則積分上限函數(shù)A(x)二：f(t)dt就是以a x為底的曲邊梯形的面積而微分dA(x) f (x)dx表示點(diǎn)x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值.：A f (x)dx f (x)dx稱(chēng)為曲邊梯形的面積元素以a b為底的曲邊梯形的面積 a b為積分區(qū)間的定積分：A就是以面積兀素f(x)dx為被積表達(dá)式.以A = ：f(x)dx ,一般情況下.為求某一量 U .先將此量分布在某一區(qū)間a . b上.分布在a . x上的量用函數(shù)U(x)表示.再求這一量的元素 dU(x) 設(shè)dU(x) =u(x)dx .然后以u(píng)(x)dx為被積表達(dá)式.以

3、a . b為積分區(qū)間求定積分即得U = f f (x)dx ,用這一方法求一量的值的方法稱(chēng)為微元法(或元素法).§6,2定積分在幾何上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1 直角坐標(biāo)情形設(shè)平面圖形由上下兩條曲線y=f上(x)與y斗下(x)及左右兩條直線x=a與x龍所圍成.則面積元素為f上(x) f下(x)dx .于是平面圖形的面積為S=f上(x)f下(x)dx ,類(lèi)似地.由左右兩條曲線 x二左(y)與x二右(y)及上下兩條直線y=d與y=c所圍成設(shè)平面圖形的 面積為dS = c右(y)-左(y)dy .例1計(jì)算拋物線y2=x、y承2所圍成的圖形的面積，解畫(huà)圖(2) 確定在x軸上的投影區(qū)間:0 .

4、1,確定上下曲線:f上 (X)=iX, f下(x) =x2 ,(4)計(jì)算積分例2計(jì)算拋物線y2=2x與直線y=xV所圍成的圖形的面積.解畫(huà)圖.(2) 確定在y軸上的投影區(qū)間：2. 4,(3) 確定左右曲線:左(y)=*y2, '右(y)二y 4 ,(4) 計(jì)算積分S 二；(y 4-*y2)dy =2y2 4y -訂3巳=18 .例3求橢圓電址=1所圍成的圖形的面積.a2 b2解 設(shè)整個(gè)橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍.橢圓在第一象限部分在x軸上的投影區(qū)間為0 a.因?yàn)槊娣e元素為ydx .所以S =4 ；ydx .橢圓的參數(shù)方程為：x -a cos t y b sin t .sint

5、d (acost)0 = /ab -sin2tdt =2ab ；(1 _cos2t)dt =2ab 2 =ab 二,2 極坐標(biāo)情形曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素：由曲線二')及射線v - U - -圍成的圖形稱(chēng)為曲邊扇形，曲邊扇形的面積元素為dS=2【Ol2d 寸.曲邊扇形的面積為S 二 g仁)處.例4計(jì)算阿基米德螺線(a >0)上相應(yīng)于二從0變到2二的一段弧與極軸所圍成的圖形的 面積，解：s胡但子心*2尹2二寺2二3 ,例5.計(jì)算心形線T(1 8SR (a>0)所圍成的圖形的面積.解：S=20 "2a(1 cos v2d v -a2 0(2 2cos j 2cos

6、2v)d j=a2p| 2s i n *s i 吐0 =詐2二，二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)體：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體，旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y# (x)、直線x=a、a=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，設(shè)過(guò)區(qū)間a b內(nèi)點(diǎn)x且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V (x).當(dāng)平面左右平移 dx后.體積的增量近似為 *vf (x)2dx .于是體積元素為2dV 八f (x) dx .旋轉(zhuǎn)體的體積為V =Rf(x)2dx .例1連接坐標(biāo)原點(diǎn) 0及點(diǎn)P(h r)的直線、直線x=h及x軸圍成一

7、個(gè)直角三角形將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體.計(jì)算這圓錐體的體積，解：直角三角形斜邊的直線方程為y二丄x .h所求圓錐體的體積為=：二(hx)2dx 二菲畀 3_,h 1.2空 X o =3 二hr例2 .計(jì)算由橢圓 寫(xiě)寫(xiě)=1所成的圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積 a2 b2解：這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個(gè)橢圓y 3 .a2 -x2a及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體，體積元素為2dV 二二 y dx .于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為2 2ab/22b213,42V = a 2(a -x )dx 2a x x ab .aa33例3計(jì)算由擺線x=a(t-sin t

8、) .y=a(1-cos t)的一拱.直線y=0所圍成的圖形分別繞 x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積，解所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為Vx = ： a:y2dx =二:a2 (1cost)2 a(1 cost)dt=a3 0 (1 3cost 3cos21 cos3t)dt=5r : 2a.設(shè)曲線左半邊為x=x1(y)、右半所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積的差 邊為X=X2(y).則2a 2Qa2Vy 二 0 % (y)dy - 0 n (y)dy二二 2_a2(t -sin t)2 asintdt j恵 o a2(t sint)2 asin tdt_ 3 i2応“

9、丄2 丄亠3 3=-a (t sint) sintdt =6 . a2 平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為a .b.過(guò)點(diǎn)x且垂直于x軸的平面與立體相截.截面面積為A(x). 則體積元素為A(x)dx .立體的體積為V = fA(x)dx ,例4 一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心并與底面交成角計(jì)算這平面截圓柱所得立體的體積解：取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸.底面上過(guò)圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸那么底圓的方程為x 2 y 2=R 2 .立體中過(guò)點(diǎn)x且垂直于x軸的截面是一個(gè)直角三角形兩個(gè)直角邊分別為R2 -x2及、. R2 -x2 tan ,因而截面積為A(x) =；

10、(R2 -x2)tan:，于是所求的立體體積為V =；丄(只2x2)ta n : dx =1- ta n : R2x-x3 ,R3 ta n:,2233例5 .求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積解：取底圓所在的平面為 xOy平面.圓心為原點(diǎn).并使x軸與正劈錐的頂平行,底圓的方程 為x 2 y 2采2,過(guò)x軸上的點(diǎn)x (-R<x<R)作垂直于x軸的平面.截正劈錐體得等腰三角形 .這截面 的面積為A(x)二 h y 二 hi R2x2 .于是所求正劈錐體的體積為Vh、. R2 -x2dx =2R2h 02coSjdv“：R2h .三、平面曲線的弧

11、長(zhǎng)設(shè)A B是曲線弧上的兩個(gè)端點(diǎn).在弧AB上任取分點(diǎn) A=Mo ,M1.Mij .Mi . Mnd .Mn田.并依次連接相鄰的分點(diǎn)得一內(nèi)接折線.當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無(wú)限增加且每個(gè)小段 Mi/Mi都縮向n一點(diǎn)時(shí).如果此折線的長(zhǎng)'JMi4Mi|的極限存在.則稱(chēng)此極限為曲線弧AB的弧長(zhǎng).并稱(chēng)此曲線id：弧AB是可求長(zhǎng)的，定理光滑曲線弧是可求長(zhǎng)的.1 直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程y#(x) (a»_b)給出.其中f(x)在區(qū)間a b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在來(lái)計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度，取橫坐標(biāo)x為積分變量.它的變化區(qū)間為a . b,曲線y=f(x)上相應(yīng)于a . b上任一小區(qū)間xx dx的一段弧

12、的長(zhǎng)度.可以用該曲線在點(diǎn)(x . f(x)處的切線上相應(yīng)的一小段的長(zhǎng)度來(lái)近似代替.而切線上這相應(yīng)的小段的長(zhǎng)度為(dx)2 (dy)2 = .1 y 2dx .從而得弧長(zhǎng)元素(即弧微分)ds = 1 y 2dx .以.1 y 2 dx為被積表達(dá)式.在閉區(qū)間a b上作定積分.便得所求的弧長(zhǎng)為在曲率一節(jié)中.我們已經(jīng)知道弧微分的表達(dá)式為ds = Ji + y "2 dx .這也就是弧長(zhǎng)元素，因此3例1 .計(jì)算曲線y =| x至上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長(zhǎng)度.1解：y丄x2 .從而弧長(zhǎng)元素ds = $1 十 y "2 dx = Ji +xdx ,因此.所求弧長(zhǎng)為b|J|S 二昇 1

13、 Xdx 二|(1 X)2：話(1 b)2 一(1 a)2.例2 計(jì)算懸鏈線y二CChf上介于Xi與X"之間一段弧的長(zhǎng)度解：y'shx .從而弧長(zhǎng)元素為cds = 1 sh2 xdx 二ch x dx .Vcc因此.所求弧長(zhǎng)為s =；chgdx =2 0ch c dx =2cshg dxb =2csh"b ,2.參數(shù)方程情形設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x二、yi(t) (T匸)給出.其中:(t)、匸(t)在r 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)因?yàn)?史二.dx*(t)dt .所以弧長(zhǎng)元素為dx 申(t)d?Vr(t)dr；CP'(t'(t)dt，If ® 2 (t)所求

14、弧長(zhǎng)為s扌絆2(t) =2(t)dt .例 3 計(jì)算擺線 xa(vsinf y -a(1 -cosf 的一拱(0 - -2 -)的長(zhǎng)度解：弧長(zhǎng)元素為j ； 日ds = a2(1 -cos)2a2 sin2- a . 2(1 -cos)d- 2asin d-.2所求弧長(zhǎng)為s=o 2as in 號(hào) d v -2a-2cos|2 =8a3 極坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程U(v) (nW )給出.其中r(7)在:：上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得xJGcos ：1. y = J(7)sin 丸:_二_：), 于是得弧長(zhǎng)元素為ds£x 2(r) y¥)d F2(r)2e)

15、dd .從而所求弧長(zhǎng)為s“2少dr .例14 ,求阿基米德螺線 =av (a>0)相應(yīng)于v從0到2二一段的弧長(zhǎng)， 解：弧長(zhǎng)元素為ds = a2 / a2 dr - a . 1 j2 dr .于是所求弧長(zhǎng)為s = JaJl +02d日=號(hào)2兀Ji +4兀2 +ln(2兀 +、“ + 4兀2 )重慶三峽學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案§6定積分的應(yīng)用§6.3功水壓力和引力、變力沿直線所作的功例1把一個(gè)帶q電量的點(diǎn)電荷放在r軸上坐標(biāo)原點(diǎn) 0處.它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)，這個(gè)電場(chǎng)對(duì)周 圍的電荷有作用力，由物理學(xué)知道.如果有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場(chǎng)中距離原點(diǎn)0為r的地方.那么電場(chǎng)對(duì)它

16、的作用力的大小為F（k是常數(shù)）r當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場(chǎng)中從r =a處沿r軸移動(dòng)到r=b（a<b）處時(shí).計(jì)算電場(chǎng)力F對(duì)它所作的功例電量為+q的點(diǎn)電荷位于r軸的坐標(biāo)原點(diǎn)0處它所產(chǎn)生的電場(chǎng)力使r軸上的一個(gè)單位正電荷從r=a處移動(dòng)到r=b（a<b）處求電場(chǎng)力對(duì)單位正電荷所作的功，提示：由物理學(xué)知道.在電量為+q的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)中.距離點(diǎn)電荷r處的單位正電荷 所受到的電場(chǎng)力的大小為F（k是常數(shù)）.r解：在r軸上.當(dāng)單位正電荷從r移動(dòng)到r+dr時(shí)電場(chǎng)力對(duì)它所作的功近似為r即功元素為dW=k鳥(niǎo)dr .于是所求的功為W = 72dr 二kq-；】a =kq（； _）例2.在底面積為S的圓柱形容

17、器中盛有一定量的氣體.在等溫條件下.由于氣體的膨脹.把容器中的一個(gè)活塞（面積為S）從點(diǎn)a處推移到點(diǎn)b處.計(jì)算在移動(dòng)過(guò)程中.氣體壓力所作的功.解：取坐標(biāo)系如圖.活塞的位置可以用坐標(biāo)x來(lái)表示.由物理學(xué)知道.一定量的氣體在等溫條件下.壓強(qiáng)p與體積V的乘積是常數(shù)k .即pV =k 或 p 解：在點(diǎn)x處.因?yàn)閂=xS.所以作在活塞上的力為kkF p S S .xSx當(dāng)活塞從x移動(dòng)到x dx時(shí).變力所作的功近似為 kdx .x 即功元素為dW =kdx .x于是所求的功為W =fkdx 球In x? =klnb ,a xa高等數(shù)學(xué)教案§6定積分的應(yīng)用例3 . 一圓柱形的貯水桶高為5m底圓半徑為3

18、m .桶內(nèi)盛滿了水，試問(wèn)要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？解：作x軸如圖，取深度x為積分變量，它的變化區(qū)間為0.5.相應(yīng)于0 . 5上任小區(qū)間xx dx的一薄層水的高度為dx，水的比重為 9 8kN/m3.因此如x的單位為 m.這薄層水的重力為29 8二3 dx .這薄層水吸出桶外需作的功近似地為dW=88 2 二 xdx此即功元素，于是所求的功為W = ：88.2xdx =88.2二寫(xiě)0 =88.2二竽(kj).二、水壓力從物理學(xué)知道.在水深為h處的壓強(qiáng)為ph .這里是水的比重.如果有一面積為 A的平板水平地放置在水深為 h處.那么.平板一側(cè)所受的水壓力為P中A如果這個(gè)平板鉛直放置在水中.那么.由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)p不相等.所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計(jì)算，例4 .一個(gè)橫放著的圓柱形水桶.桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為 R.水的比重為.計(jì)算桶的一個(gè)端面上所受的壓力.解：桶的一個(gè)端面是圓片.與水接觸的是下半圓，取坐標(biāo)系如圖，在水深x處于圓片上取一窄條.其寬為dx .得壓力元素為dP =2 x R2 -x2dx .所求壓