恒成立問題的研究方法

1、恒成立問題的研究方法思想與方法“恒成立”問題是數(shù)學中常見的問題，經(jīng)常與參數(shù)的范圍聯(lián)系在一起，在高考中頻頻出現(xiàn)，是高考中的一個難點問題。常用方法：（1）函數(shù)與方程方法。利用不等式與函數(shù)和方程之間的聯(lián)系，將問題轉(zhuǎn)化成二次方程的根的情況的研究。有些問題需要經(jīng)過代換轉(zhuǎn)化才是二次函數(shù)或二次方程。注意代換后的自變量的范圍變化。（2）分離參數(shù)法。將含參數(shù)的恒成立式子中的參數(shù)分離出來，化成形如：或或恒成立的形式。則ó的范圍是的值域。恒成立ó ；恒成立ó 。（3）若已知恒成立，則可充分利用條件（賦值法等）。范例選講例1：已知不等式在區(qū)間2,3上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。【分析】有

2、哪些方法？答案： 例2：已知關于的方程恒有解，求實數(shù)的取值范圍?！痉治觥孔龃鷵Q后變量的范圍發(fā)生了什么變化？例3、（03廣東江蘇）解：(II). 用f(x)、f(x)表示f(x)在0,1上的最大值、最小值，則對任意x0,1,都有|f(x)|1當且僅當 （*） 而 f(x)=-b(x+，（x0,1）當2b時，0<1，f(x)= ，f(x)=f(0)或f(1)；當2b<a時，>1, f(x)= f(1)，f(x)=f(0)，于是(*) 或b-1a2或xb-1a2.例4：是否存在常數(shù)c，使得不等式 對任意正數(shù)x,y恒成立？試證明你的結論。訓練題1(2002年全國高中數(shù)學聯(lián)賽第12題)

3、求使不等式sinxacosx a1cosx對一切xR恒成立的負數(shù)a 的取值范圍。2(1990年全國高考題)設f(x)=lg,aR, nN且n2.若f(x)當x(-,1有意義，求a的取值范圍.3（福建04）已知f(x)=(xR)在區(qū)間1，1上是增函數(shù).（）求實數(shù)a的值組成的集合A；（）設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2.試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|對任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.4設 使得不等式 對一切實數(shù)x都成立，證明你的結論。 習題答案詳解練習1 解：原不等即cosx（1a）cosxa0 (*)令cosx

4、=t，由xR知t-1，1，于是(*)對一切xR恒成立當且僅當f(t)=t（1a）ta0 (*)對一切t-1，1恒成立，其充要條件f(t)在-1，1上的最大值f(t)0,而f(t)= f(1)或 f(-1)，因此(*)對一切t-1，1恒成立當且a-2 故所求的a的范圍為(-,-2.練習2、解：f(x)當x(-,1有意義，當且僅當12(n-1)n>0 對x(-,1恒成立。即g(x)=a>0，對x(-,1恒成立，而g(x)在(-,1上是減函數(shù)，其最小值為g(1)= a=(n1)a.于是g(x) >0對x(-,1恒成立當且僅當a>0，即a>。故所求a的范圍為（，+）。練習

5、3、解：（）f(x)= ，f(x)在1，1上是增函數(shù)，f(x)0對x1，1恒成立，即x2ax20對x1，1恒成立. 設(x)=x2ax2，方法一： 1a1，對x1，1，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當a=1時，f(-1)=0以及當a=1時，f(1)=0A=a|1a1. 方法二：或 0a1 或 1a0 1a1.對x1，1，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當a=1時，f(1)=0以及當a=-1時，f(1)=0A=a|1a1.（）由=，得x2ax2=0， =a2+8>0x1，x2是方程x2ax2=0的兩非零實根，x1+x2=a，x1x2=2，從而|x1x2|=.1a1，|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1x2|對任意aA及t1，1恒成立，當且僅當m2+tm+13對任意t1，1恒成立，即m2+tm20對任意t1，1恒成立. 設g(t)=m2+tm2=mt+(m22)，方法一： g(1)=m2m20，g(1)=m2+m20，m2或m2.所以，存在實數(shù)m，使不等式m2+tm+1|x1x2|對任意aA及t1，1恒成立，其取值范圍是m|m2，或m2.方法二：當m=0時，顯然不成立；當m0時， m>0，g(1)=m2m20 或 m<0，g(1)=m2+m20 m2或m2.所以，存在實數(shù)m，使不等式m2+tm+1|x1x2