圓錐曲線的切點弦方程在高考中的應(yīng)用

1、切點弦方程圓錐曲線的切點弦方程在高考中的應(yīng)用作者:吳時清 薛青麗 聯(lián)系方式時間:2013.6.17切點弦方程是解析幾何中的熱點問題,也是高考命題熱點之一.隨著導(dǎo)數(shù)的介入,它的內(nèi)涵更加豐富,本文從圓錐曲線的切點弦定義入手,對圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）中常見的曲線的切點弦方程進行證明,再到一般的圓錐曲線的切點弦方程的結(jié)論,以及切點弦方程在近年來高考中的應(yīng)用.一、切點弦方程的概念平面內(nèi)一點引曲線的兩條切線,兩切點所在直線的方程叫做曲線的切點弦方程.二、圓的切點弦方程證明:設(shè)圓外一點,過點作圓的的兩條切線,切點是,則直線的方程是:.證明:由平面幾何知識易知,弦是圓與以為

2、直徑端點的圓的相交弦.以為直徑端點的圓的方程是:,即又-得: .三、橢圓、雙曲線、拋物線的切點弦方程設(shè)是圓錐曲線不含焦點部分外的一點,過點作曲線的兩條切線,切點,則切點弦所在直線方程如下表:方程曲線標準方程切點弦方程橢圓雙曲線拋物線四、二次曲線的切點弦方程設(shè)從點引曲線的兩條切線,切點為,則過的且線方程分別是:,因為點在上述兩條切線上,所以滿足方程（*）所以經(jīng)過的直線方程是（*）五、利用切點弦方程解高考題【例1】2008年山東理科數(shù)學(xué)22題如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p0),M為 直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.（）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數(shù)列；（

3、）已知當M點的坐標為（2，-2p）時，求此時拋物線的方程；（）是否存在點M，使得點C關(guān)于直線AB的對稱點D在拋物線上，其中，點C滿足（O為坐標原點）.若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由. （）證明：由題意設(shè)由得，則所以因此直線MA的方程為直線MB的方程為所以由、得因此，即所以A、M、B三點的橫坐標成等差數(shù)列.（）解：由（）知，當x0=2時， 將其代入、并整理得：所以x1、x2是方程的兩根，因此又所以由弦長公式得又，所以p=1或p=2，因此所求拋物線方程為或（）解：設(shè)D(x3,y3)，由題意得C(x1+ x2, y1+ y2), 則CD的中點坐標為設(shè)直線AB的方程為由點Q

4、在直線AB上，并注意到點也在直線AB上，代入得若D（x3,y3）在拋物線上，則因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或（1）當x0=0時，則，此時，點M(0,-2p)適合題意.（2）當，對于D(0，0)，此時又ABCD，所以即矛盾.對于因為此時直線CD平行于y軸，又所以直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，所以時，不存在符合題意的M點.綜上所述，僅存在一點M(0，-2p)適合題意.【例2】2008年江西高考數(shù)學(xué)理設(shè)點在直線上,過點作雙曲線的兩條切線,切點為,定點.過點作直線的垂線,垂足為,試求的重心所在曲線的方程;求證:三點共線.解: 設(shè),垂直于直線,則, 點坐標為設(shè)的重心為,則代入雙曲

5、線方程并整理得:, 重心的軌跡方程為設(shè)點,方程對求導(dǎo)得: 切線的斜率為,方程為,又 切線的方程為同理: 切線的方程為,又在,上, 即點都在直線上,又也在直線上 三點共線.【例2】2013年廣東高考理20題已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線：的距離為設(shè)為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點（）求拋物線的方程；（）當點為直線上的定點時，求直線的方程；（）當點在直線上移動時，求的最小值解:（）依題意，設(shè)拋物線的方程為，由結(jié)合，解得所以拋物線的方程為（）拋物線的方程為，即，求導(dǎo)得設(shè)，（其中），則切線的斜率分別為，所以切線的方程為，即，即同理可得切線的方程為因為切線均過點，所以，所以為方程的兩組解所以直線的方程為（）由